舉反例在數學教學中的應用研究

［摘" 要］ 證明與反例是構成數學的兩個層面，建構證明與舉反例同樣為數學發現的方向與目的. 反例教學作為正面教學的補充，它能為學習提供區分的重要信息. 文章以舉反例為出發點，認為反例的應用具有強化概念、判斷命題、分析錯因與發展思維等重要作用，對培養學生的創新意識，提升學生的數學核心素養具有重要價值與意義.

［關鍵詞］ 反例；概念；命題；思維

心理學家哈里斯提出，反例攜帶著適用于判別關鍵信息. 在數學教學中，想要證明某個命題的正確性，須將與該命題相關的所有論證依據聯系到一起，借助嚴謹的科學證明才能推理出來；若要證明某個命題并不正確，采用舉反例的方法就能快速、簡潔地獲得結論. 縱觀整個數學發展史，發現有很多著名的猜想和命題都是通過舉反例來驗證其并不正確，可見舉反例對數學的發展起著關鍵作用.

問題的提出

新課標明確提出，面對數學猜想，要進一步探尋證據，要有合理的證明或舉反例. 舉反例是推翻錯誤猜想的重要方法之一. 當前，舉反例的教學成效得到廣大教育工作者的支持，但研究反例作用與構造方法的文獻比較多，而對于反例的教學法以及實際應用的研究則少之又少. 不少教師并沒有從意識層面認識到舉反例的重要價值，不論是在研究領域還是在應用范疇均不多見.

既然新課標對舉反例提出了明確要求，這就需要教師在引導學生提出數學猜想的同時，還要教會學生用反例法推翻錯誤的猜想或者用演繹推理對猜想的正確性實施論證. 筆者就當前的反例法在課堂中的應用做了大量調查研究，發現情況并不樂觀. 部分教師應用反例意識薄弱的主要原因存在兩方面：①教材中的反例不多；②未形成應用反例教學的習慣.

究竟該如何將反例教學功效最大化，怎樣構建反例教學模式？這些都是當下亟須解決的問題.

反例的實際應用

1. 強化概念

概念是數學邏輯的起點，是學習數學的重要工具. 準確把握概念是學習數學的先決條件，缺乏先決條件的教學活動是不完整的，正確應用反例對概念教學具有促進作用. 在課堂中，單方面應用正面的實例授課，學生難以完整地掌握概念本質，而反例的介入，則能從另一個角度提出更合理的解釋，有效彌補傳統錯誤的發生.

遍覽各個版本的數學教材，發現數學概念一般都以表述法呈現，學生通過閱讀難以從真正意義上領悟概念的本質，當遇到與之相似的概念時，則會出現概念模糊、認識混亂的現象. 而在恰當的時機應用反例，不僅能讓學生從不同維度重新認識概念，還能培養學生思維的嚴謹性、周密性，使學生從反例中發現認知漏洞，從而完善認知結構.

例1 判斷下列說法是否正確：若ax2+bx+c=0，則它的兩根之積為c，兩根之和為-b.

這是一道認識韋達定理的問題，受思維定式的影響，不少學生單純地認為兩根之和是一次項系數的相反數，兩根之積是常數項，對韋達定理中的一個非常重要的條件“二次項的系數為1”視而不見.

這個錯誤完全可以避免. 在教學韋達定理時，教師可在課堂上向學生展示這個問題，如果學生表示這個問題沒有毛病，那么可要求學生先算3x2-x-4=0的根（該式的兩根分別是 -1與），然后算這兩根的和與積，發現結論并非1和-4.

如果學生認為“若ax2+bx+c=0的兩根之積為c，兩根之和為-b”的說法是錯誤的，那么教師需追問錯誤的具體原因是什么.

從這個簡單的判斷題來看，反例的構造不僅能完善學生對韋達定理的認識，避免學生出現認識不全的情況，還能為學生后繼應用韋達定理夯牢根基.

高中數學概念一般比較抽象，不少學生學習概念時只會死記硬背，無法對概念的內涵與外延形成深刻理解，導致無法準確、靈活地應用. 若教師在概念的形成階段就引導學生深層次理解、剖析概念，通過辨析從側面或反面揭開概念的本質，往往能完善學生對概念的認識. 尤其是反例的應用，能顯著改善基礎薄弱的學生對概念的模糊認識，起到事半功倍的教學效果.

2. 判斷命題

偽命題是指無法確保其結論是正確的命題. 一般情況下，我們認為一個命題是偽命題，必然想利用實例來證明它，也就是說所舉的實例滿足命題條件，卻無法得到結論或結論不成立. 想要判斷命題是否正確，需要經歷嚴謹的推理論證過程.

事實證明，判斷命題正難反易. 反例的應用，能幫助學生快速發現在符合題設條件的某種特殊情況下，命題的結論并不成立，從而判斷命題為偽命題. 換言之，一個反例可快速準確地發現命題的真偽.

例2 下列命題正確的有____個.

①側棱均相等的棱錐是正棱錐；②底面與側棱構成的角均相等的棱錐是正棱錐；③側面與底面構成的二面角均相等的棱錐是正棱錐；④頂點位于底面的射影為底面多邊形的外接圓圓心的棱錐是正棱錐.

上述四個命題的真偽想要快速準確地得到判斷，可從舉反例的角度進行：

從概念出發，不難發現前兩個命題都是錯誤的，如一個四棱錐的底面為矩形，而其頂點位于底面的射影為矩形對角線的交點，由此可以看出這個四棱錐滿足側棱均相等且側棱與底面構成的角也均相等的條件，但它并不是正棱錐.

第三個命題也是錯誤的，以底面非正三角形的三棱錐為例，若其頂點位于底面上的射影是底面三角形的內心，則這個三棱錐滿足底面與側面構成的二面角均相等的條件，事實上它并不是正三棱錐. 再來觀察第四個命題，底面不是正多邊形時，也存在頂點位于底面的投影為底面多邊形的外接圓圓心的情況，事實上它也不是正棱錐.

綜上分析，本題中的四個命題都是錯誤的，因此沒有正確命題.

上述反例都滿足命題條件，但其結論卻無法滿足正棱錐的要求，這種說理方法充分有力，毫無破綻. 因此，實施課堂教學時，教師可借助反例來剖析任何情形下的命題真偽的判斷，為快速解題服務.

3. 分析錯因

學習過程中出現各種類型的錯誤在所難免，很多時候，學生受思維定式的影響，難以自主發現錯誤. 當學生在錯誤形成后再想辦法糾錯，還不如在授課前就預見到學生可能出現的錯誤類型，通過反例的應用讓學生在試錯中深化對易錯點的認識. 當然，也有很多錯誤是意料之外的，這就需要教師潛心研究學生的錯因，追根溯源，并通過恰當的反例來激發學生的認知沖突，讓學生在矛盾的解決中發現知識本質.

從這個分析過程來看，反例糾錯簡單、實用、效果佳. 學生若對自己的錯誤毫不知情，那就談不上自我糾錯，若是一道相對簡單的題，在高考中出現錯誤則實屬可惜. 為了避免這種令人心痛的失分情況，教師在日常訓練中就要引導學生學會自主發現與糾正錯誤，而舉反例就是解決填空與選擇糾錯的有力手段.

從認知發展理論來看，思維定式是錯誤形成的一大因素，新知學習時，學生常常不由自主地將新知與原有認知結構中有關聯的知識進行類比，導致慣性思維禁錮新知在認知系統中的構造與發展，形成思維定式.

雖說類比新舊知識能夠讓學生快速理解新知，但受原有思維的束縛，在解決方法上難有新的突破，長此以往會遏制學生思維能力、創新意識等的發展. 反例的應用則能成功地凸顯新舊知識間的異同點，完善學生對新知的認識，從根本上揭露知識本質，避免思維定式帶來錯誤.

4. 發展思維

數學是思維的體操，數學學習也是思維發展的過程. 在新課改背景下，一切教學活動以促進教育的高質量發展為目標，以核心素養的培養為宗旨. 思維能力的培養是提升學生智力與非智力水平的關鍵，尤其是思維的深刻性、靈活性、嚴謹性等的培養，能從很大程度上發展學生的創造意識，為社會輸送更多創新人才.

一般情況下，數學教學都是以正例與論證為主，一直使用這種從左到右的教學模式會阻礙學生從右到左反向思維的發展. 反例的構造，可幫助學生突破思維定式、糾正錯誤，探尋出思維新路徑. 尤其是一些看似難以論證的內容，常會因反例的介入而變得簡單.

事實證明，反例的應用不僅能有效強化學生對知識的理解，還能推進學生思維能力的發展，讓學生具備縝密與深刻的思維. 而學生一旦擁有縝密與深刻的思維，解題時就能順利發現題設條件與結論之間的關系，將隱含條件順利揭露出來，實現解題.

例4 函數f（x）=log（2ax-x2）（a≠1，且agt;0）的值域是什么？

常規情況下，一些思維粗糙、不夠縝密的學生會從以下思路實施解題：根據f（x）=log（2ax-x2）=log［a2-（x-a）2］與a2-（x-a）2≤a2，可知f（x）≤logaa2=2，由此確定函數f（x）的值域為（-∞，2］.

顯然，這是一種錯誤解法，從這種解法中也能看出學生并沒有深刻理解本題的解答關鍵. 細細琢磨學生的解題過程，會發現這種解法缺乏對對數底數a的討論.

實際解題時，需要進行如下討論：①當agt;1時，f（x）=logax是增函數，此時（-∞，2］為該函數的值域；②當0lt;alt;1時，f（x）=logax是減函數，則f（x）≥logaa2=2，此時［2，+∞）為該函數的值域. 面對錯解，反例的應用不僅能達到正本清源的效果，還能從不同維度啟發學生的思維，讓學生對與本題相關的概念，如值域、增（減）函數等有了進一步的認識. 若教師經常提供類似的問題讓學生思考，夯實學生的知識與技能基礎的同時，還能幫助學生養成良好的反思、檢驗、驗證的習慣，為數學學科核心素養的形成和發展奠定基礎.

新課程背景下的高中數學除了要發展學生的“四基”與“四能”外，還要培養學生的“三會”，讓學生掙脫傳統教學模式的束縛，促進思維靈活性、嚴謹性、周密性等的發展. 因此，借助反例促進學生思維的發展是值得每一個教師去探索的主題. 反例的介入，可讓學生對一些復雜、抽象的數學事物產生新的認識，不僅如此，還能有效促進學生逆向思維的發展.

總之，反例介入數學教學對提高學生錯誤的識別力，對發展學生的數學思維、邏輯推理以及逆向思維等都有重要影響. 反例是幫助學生形成辯證統一思維品質的良好方式，它能為學生終身可持續發展奠定堅實的基礎.

作者簡介：吳曉嵐（1988—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教育教學工作.