經(jīng)歷概念形成過程 提升數(shù)學抽象素養(yǎng)

［摘" 要］ 數(shù)學概念是構(gòu)建數(shù)學知識體系的核心，其在數(shù)學學習中的價值是不言而喻的. 在概念教學中，教師要摒棄“講授+記憶”的單一教學模式，重視引導學生經(jīng)歷概念形成過程，讓學生通過觀察、思考、交流等活動逐漸明晰概念的本質(zhì)，達成知識內(nèi)化的目的. 同時，引導學生通過經(jīng)歷由具體到抽象、由抽象到概括等過程提升數(shù)學抽象素養(yǎng)，發(fā)展關(guān)鍵能力.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學概念；形成過程；抽象素養(yǎng)

函數(shù)是一個重要概念，其具有高度的抽象性和概括性，若教學中僅僅給出函數(shù)概念讓學生記憶，學生對函數(shù)概念的理解只可能是一知半解的，不利于概念本質(zhì)的掌握，影響學習能力的提升和思維能力的發(fā)展. 因此，在函數(shù)概念的教學中，教師應重視引導學生經(jīng)歷概念形成的過程，通過親身經(jīng)歷讓學生深刻理解概念，明晰概念的本質(zhì)，掌握概念的研究方法，提高數(shù)學學習能力，落實數(shù)學學科核心素養(yǎng).

教學過程

1. 創(chuàng)設(shè)認知沖突，激發(fā)學習探究欲

問題1 對于函數(shù)大家并不陌生，在初中已經(jīng)學習過，你們能列舉出幾個函數(shù)嗎？

生1：y=x，y=，y=x2.

師：很好，結(jié)合以上實例，請敘述一下函數(shù)的概念. （教師點名讓學生敘述）

生2：有兩個變量x和y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與之對應，則稱y是x的函數(shù).

師：很好，也就是說一個變量隨著另一個變量變化而變化，兩個變量之間是一種依賴關(guān)系.

設(shè)計意圖 從學生已有的知識和經(jīng)驗出發(fā)，引導學生回顧兩個變量之間的依賴關(guān)系，為接下來新概念的學習做鋪墊.

問題2 y=1是函數(shù)嗎？說說你的理由.

生齊聲答：不是，這個式子只有一個變量，不符合函數(shù)的定義.

問題3 y=x和y=是函數(shù)嗎？它們是同一個函數(shù)嗎？

問題給出后，教師讓學生思考、交流. 根據(jù)函數(shù)的概念，一致認為它們是函數(shù)，不過對于是否為同一個函數(shù)卻產(chǎn)生了分歧：有的學生認為y=化簡后就是y=x，所以兩個函數(shù)為同一個函數(shù)；有的學生認為不是同一個函數(shù)，但不能給出合適的理由.

師：對于問題2和問題3，其結(jié)果到底如何呢？等我們學習了今天的內(nèi)容再來回答.

設(shè)計意圖 上述兩個問題（問題2和問題3）利用初中的函數(shù)定義很難回答，由此引發(fā)了學生的認知沖突，激發(fā)了學生的探究欲. 在此過程中，教師沒有直接對學生給出的結(jié)果進行正面的評價，而是制造懸念，從而有效吸引了學生的注意力，把課堂推向了高潮.

2. 從具體到抽象，積累活動經(jīng)驗

情境1 估計人口數(shù)量變化趨勢是制定人口政策和經(jīng)濟社會發(fā)展規(guī)劃的重要依據(jù). 表1顯示的是我國1949年至1989年的人口數(shù)變化情況.

問題4 它是函數(shù)嗎？

生3：不是函數(shù)，函數(shù)都是有解析式的，根據(jù)以上數(shù)據(jù)應該很難找到具體的解析式.

師：表1中有幾個變量？

生齊聲答：兩個.

師：分別是什么呢？

生4：年份和人口數(shù).

師：對于確定的年份，是否有唯一確定的人口數(shù)與之相對應呢？

生齊聲答：是.

師：那么根據(jù)初中的函數(shù)定義，這兩個變量的關(guān)系是否符合函數(shù)關(guān)系呢？

生齊聲答：符合.

問題5 你能用集合來表示年份和人口數(shù)的變化范圍嗎？

生5：年份的變化范圍是數(shù)集｛1949， 1954，…，1989｝，人口數(shù)的變化范圍是數(shù)集｛542，602，…，1127｝.

問題6 若將年份的變化范圍記作A，人口數(shù)的變化范圍記作B，能否用集合的觀點來描述這兩個變量的依賴關(guān)系？

生6：集合A中的每一個元素，在集合B中都有唯一確定的元素與之對應.

情境2 一個物體從某高處自由下落，下落的距離y（單位：m）與時間x（單位：s）近似地滿足關(guān)系式y(tǒng)=4.9x2.

問題7 這是函數(shù)嗎？說說你的理由.

生7：是函數(shù)，有兩個變量，分別為下落的距離y（單位：m）與時間x（單位：s），當時間x確定后，都有唯一確定的距離y與之對應.

師：仿照情境1，先給出下落的距離y（單位：m）與時間x（單位：s）的變化范圍，然后用集合的觀點來描述情境2中這兩個變量的對應關(guān)系.

生8：時間x（單位：s）的變化范圍為數(shù)集A=［0，+∞），下落的距離y（單位：m）的變化范圍為數(shù)集B=［0，+∞），則集合A中的每一個元素，在集合B中都有唯一確定的元素與之對應.

情境3 圖1是某市某天的氣溫變化圖，你能仿照情境1和情境2的研究方法來描述氣溫隨著時間變化而變化的過程嗎？

問題給出后，教師預留充足的時間讓學生去感受、去表述，然后點名讓學生回答.

生9：在這個變化過程中有兩個變量，分別是時間和氣溫，時間的變化范圍是數(shù)集A=［0，24］，氣溫的變化范圍是數(shù)集B=［-2，10］，則集合A中的每一個元素，在集合B中都有唯一確定的元素與之對應.

設(shè)計意圖 結(jié)合函數(shù)的具體特點引入情境，讓學生在具體的情境中思考、感悟、提煉，繼而將感性認識上升至理性認識，順利地由初中的“變量說”過渡到高中的“對應說”，幫助學生積累豐富的活動經(jīng)驗，提升學生自主探究的能力.

3. 從抽象到概括，形成理性認識

問題8 回顧上述三個情境，它們具有怎樣的共同本質(zhì)屬性？請用集合的觀點進行總結(jié)歸納.

教師讓學生以小組為單位進行歸納概括：上述三個情境都有兩個集合A和B，且集合A中的每一個元素，在集合B中都有唯一確定的元素與之對應.

問題9 請分別說一說，各個情境的集合A中的數(shù)是按照什么法則與集合B中的數(shù)對應的呢？

生10：對于情境1，按照的是表格給出的對應關(guān)系.

生11：對于情意2，按照的是y=4.9x2這一解析式給出的對應關(guān)系.

生12：情境3按照的是曲線圖給出的對應關(guān)系.

師：非常好，通常我們將對應關(guān)系用字母f表示.

問題10 情境1和情境3是否也可以像情境2那樣，利用解析式建立其對應關(guān)系呢？（學生紛紛搖頭）

生13：這兩個情境很難找到具體的解析式.

師：確實如此. 結(jié)合以上情境我們可以看見，函數(shù)的表示形式有很多，其不局限于解析式，還可以是表格、圖象等.

師：結(jié)合以上分析，能否用集合與對應的數(shù)學語言為函數(shù)下定義呢？

教師預留時間讓學生討論交流、歸納總結(jié). 在此基礎(chǔ)上，教師讓學生思考集合A和集合B具有怎樣的特征，它們是否可以為空集，等等. 這樣在教師的啟發(fā)和指導下，學生逐漸掌握了函數(shù)的概念.

設(shè)計意圖 通過對情境的深入探究讓學生體會函數(shù)表示形式的多樣性，跳出僅有具體解析式為對應關(guān)系的局限，幫助學生獲得全面的、深刻的理解. 在此過程中，教師引導學生將初中的函數(shù)概念與高中的函數(shù)概念相結(jié)合，用“集合觀”來理解函數(shù)的概念，學會用發(fā)展的眼光來看待問題. 另外，教師預留時間讓學生觀察、交流、歸納，培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng).

師：現(xiàn)在我們根據(jù)函數(shù)新概念來解決前面提出的兩個舊問題：y=1是函數(shù)嗎？y=x和y=是同一個函數(shù)嗎？

教師預留時間讓學生思考、交流.

師：誰來說一說y=1是否為函數(shù)，你的理由是什么？

生14：y=1是函數(shù)，集合A是R，集合B是｛1｝，對于集合A中的每一個元素，集合B中都有唯一的元素1與之對應，符合函數(shù)新概念，所以它是函數(shù).

師：很好. y=x和y=是同一個函數(shù)嗎？誰來說一說.

生15：對于y=x，其定義域為R，而對于y=，顯然x≠0，它們的定義域不同，所以它們不是同一個函數(shù).

設(shè)計意圖 讓學生重新思考課初提出的問題，使學生感受函數(shù)新概念的一般性和準確性，進而理解探索函數(shù)新概念的必要性. 同時，與初中的函數(shù)概念相比較，讓學生體會函數(shù)新舊概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，深化學生對函數(shù)概念的理解.

4. 從概念到應用，促進概念深化

問題11 判斷下列對應關(guān)系是否為函數(shù)，并給出理由.

問題給出后，教師讓學生獨立思考，然后分別呈現(xiàn)學生的思考過程.

師：對于問題（1），你是怎么想的呢？

生16：任意非零實數(shù)x，被唯一確定，由此判斷該對應關(guān)系是函數(shù)，可以表示為f（x）=（x≠0）.

師：問題（1）中的集合B是什么？

生17：｛f（x）x≠0，x∈R ｝.

師：它可以是R嗎？（學生陷入沉思）

生18：可以，當集合B為R時，集合A中每一個元素x，在R中都有唯一確定的元素與之對應，符合函數(shù)的定義.

師：集合B還可以是其他集合嗎？如果可以，這些集合具有怎樣的共同特征呢？

經(jīng)過深入思考與交流，學生一致認為集合B還可以是其他集合，但這些集合必須包含集合｛f（x）x≠0，x∈R ｝.

師：該函數(shù)的值域是什么呢？

生齊聲答：｛f（x）x≠0，x∈R ｝.

師：如果將｛f（x）x≠0，x∈R ｝看成集合C，那么其與集合B是什么關(guān)系呢？

生19：集合C是集合B的子集.

師：非常好！問題（2）中的對應關(guān)系是函數(shù)嗎？

生20：它不是函數(shù)，因為當x唯一確定時，有兩個y值與之對應，不符合函數(shù)的定義.

師：下一個.

生21：問題（3）中的對應關(guān)系是函數(shù)，可以表示為f（1）=2，f（2）=4，f（3）=9. 它們雖然沒有具體的函數(shù)關(guān)系式，但是符合函數(shù)的定義.

生22：問題（4）中的對應關(guān)系是函數(shù)，可以將集合A和集合B都看成R，根據(jù)曲線圖可知，對于集合A中的每一個元素，在集合B中都有唯一確定的元素與之對應，符合函數(shù)的定義.

設(shè)計意圖 函數(shù)的概念是抽象的，學生雖然親身經(jīng)歷了函數(shù)概念形成的過程，但是學生對函數(shù)概念的理解還是比較淺顯的，因此教學中有必要給出一些具體練習讓學生進行思考辨析，以此促進對函數(shù)概念的深化. 在該環(huán)節(jié)的練習設(shè)計中，教師沒有一味地強調(diào)函數(shù)概念滿足的條件和一些注意事項，而是通過一些正反實例讓學生進行思考辨析，以此通過多角度思考和交流達成知識的內(nèi)化，提高概念教學的有效性.

教學思考

培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)是高中數(shù)學教學的重要目標之一，但這很難依賴講授來完成，需要將其融入數(shù)學教學活動中. 以學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)為例，只有讓學生經(jīng)歷數(shù)學抽象的過程，學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)才能潛移默化地得到提升. 數(shù)學概念具有高度的抽象性，其是培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的重要素材. 在概念教學中，教師不要急于將抽象的概念講授給學生，應重視引導學生經(jīng)歷數(shù)學概念的抽象過程，以此落實學生的數(shù)學抽象素養(yǎng). 數(shù)學抽象過程一般需要經(jīng)歷三個階段，分別是簡約階段、符號階段和普適階段，從這三個階段落實學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)是很有必要的.

1. 簡約階段

該階段的主要任務是將事物的本質(zhì)屬性逐漸提煉出來，并用數(shù)學語言清晰地、有條理地進行表述. 在函數(shù)概念教學中，教師先讓學生列舉一些初中所學的函數(shù)實例，然后提出“y=1是函數(shù)嗎”“y=x和y=是同一個函數(shù)嗎”等問題引發(fā)學生認知沖突，讓學生體會研究函數(shù)新概念的必要性. 為了深入探究函數(shù)概念的本質(zhì)屬性，教師又給出了豐富的情境和典型的案例，引導學生通過觀察、比較、分析等過程逐漸體會函數(shù)的本質(zhì)其實就是一種確定的對應關(guān)系. 在以上過程中，學生從具體情境中抽象一般規(guī)律，提煉函數(shù)概念的本質(zhì)屬性，提升了數(shù)學抽象能力.

2. 符號階段

該階段旨在運用數(shù)學語言來表達簡約化的關(guān)系，從而使抽象出來的結(jié)果更加清晰明了. 例如，把函數(shù)記作y=f（x）（x∈A），其中x表示集合A中的元素，y表示集合B中的元素，f為對應關(guān)系. 在本課教學中，教師沒有直接給出函數(shù)的定義，而是提出精心設(shè)計的問題串，讓學生在問題的引領(lǐng)下用數(shù)學語言進行歸納概括，然后是教師的修正. 在教師的啟發(fā)和指導下，學生用精準的符號語言表達出簡約階段得到的對應關(guān)系，提升了數(shù)學表達能力.

3. 普適階段

該階段旨在通過假設(shè)和推理等過程建立數(shù)學法則、數(shù)學模型等，并利用它們解釋具體的事物. 在引入階段，教師讓學生辨析“y=1是否為函數(shù)”和“y=x和y=是否為同一個函數(shù)”. 對于這兩個問題，學生很難用初中的函數(shù)概念加以解釋，但是得到函數(shù)新概念后，問題便迎刃而解. 在應用階段，教師又給出不同的正反實例讓學生思考辨析. 這樣通過以上問題的解決，讓學生充分體驗到函數(shù)新概念的一般性、準確性和簡約性，體會到研究函數(shù)新概念的重要性和必要性.

總之，數(shù)學教學的意義不僅是讓學生掌握知識，更重要的是通過經(jīng)歷知識形成、發(fā)展、應用等過程讓學生掌握數(shù)學核心思想，提升關(guān)鍵能力，養(yǎng)成思考一般性問題的習慣.

作者簡介：劉勃（1982—），本科學歷，中學高級教師，從事高中數(shù)學教學工作.