解析幾何中非對稱式化歸的探究與思考

［關(guān)鍵詞］ 解析幾何；非對稱式；減元思想；化歸探究；教學(xué)思考

數(shù)學(xué)高考全國卷中的解析幾何解答題往往計(jì)算量比較大，并且有一定的難度. 試題的“難”隱藏在問題結(jié)構(gòu)特征里，隱藏在數(shù)學(xué)思想方法里，隱藏在知識(shí)本質(zhì)里，考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)和能力.解答這類題目往往要“入乎其內(nèi)”，即解析幾何中常出現(xiàn)非對稱式的代數(shù)結(jié)構(gòu)，用減元思想去解決；又要“出乎其外”，即跳出問題看問題，需從題目中追本溯源，發(fā)現(xiàn)一般化拓展，探究問題的本真. 本文以2023年新高考卷Ⅱ第21題為例，用減元思想談?wù)勅绾瓮诰蚍菍ΨQ式的本質(zhì)特性，愿與各位分享，以期拋磚引玉.

初探——思路受阻產(chǎn)生疑惑

題目 已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)F（-2，0），離心率為.

（1）求C的方程；

（2）記C的左、右頂點(diǎn)分別為A，A，過點(diǎn)（-4，0）的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線MA與NA交于P，證明：P在定直線上.

①式為非對稱式，無法直接利用韋達(dá)定理減元，但從目標(biāo)來看，P在定直線x=a上，因此非對稱的代數(shù)結(jié)構(gòu)一定可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 這說明①式的分子、分母有一定的倍數(shù)關(guān)系，由此可以通過整體約分得到常數(shù). 這是將一個(gè)問題由難化易、由繁化簡的轉(zhuǎn)化與化歸過程.

方法1學(xué)生容易想到，思路比較簡單，屬于“硬算”，但學(xué)生常會(huì)望“計(jì)算”而卻步，半途放棄. 其他三種方法的計(jì)算量相對較少，但學(xué)生不容易想到. 當(dāng)出現(xiàn)非對稱的代數(shù)結(jié)構(gòu)無法直接利用韋達(dá)定理簡化運(yùn)算時(shí)，基本求解思路是先減元，然后整體約分，最后得到定值.

細(xì)探——構(gòu)造結(jié)構(gòu)巧解

方法5（利用曲線方程構(gòu)造對稱結(jié)構(gòu)）：由于點(diǎn)M，N在曲線-=1上，因此x-4=，x-4=. 所以，====. 于是將非對稱的代數(shù)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為了對稱的代數(shù)結(jié)構(gòu)，然后用韋達(dá)定理整體代換求值即可. 利用曲線方程進(jìn)行減元處理，對學(xué)生來說，思維量多，計(jì)算量少.

1. 追本溯源

命題背景從極點(diǎn)和極線的定義來分析.

代數(shù)視角：已知圓錐曲線Γ：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，則稱點(diǎn)P（x，y）和直線l：Axx+Cyy+D（x+x）+E（y+y）+F=0是圓錐曲線Γ的一對極點(diǎn)和極線.

幾何視角：如圖2所示，設(shè)點(diǎn)P不在圓錐曲線上，過點(diǎn)P引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，連接EH，F(xiàn)G交于N，連接EG，F(xiàn)H交于M，則MN為點(diǎn)P對應(yīng)的極線，PM為點(diǎn)N對應(yīng)的極線，PN為點(diǎn)M對應(yīng)的極線.

方法8（極點(diǎn)、極線定理的運(yùn)用）：由題意可知，點(diǎn)（-4，0）不在雙曲線C上，過點(diǎn)（-4，0）的直線AA和MN交雙曲線C于點(diǎn)A，A，M，N，直線MA與NA交于P，則點(diǎn)（-4，0）對應(yīng)的極線為過點(diǎn)P的直線，方程為-=1，即x=-1.（NA，MA的交點(diǎn)也在定直線x=-1上）

2. 推廣拓展

思考

從題目的結(jié)構(gòu)、背景、解法等多方面進(jìn)行探究，注重算理、滲透思想. 學(xué)生遇到對稱結(jié)構(gòu)式就習(xí)以為常地利用韋達(dá)定理進(jìn)行整體代換，但一旦問題“略施粉黛”呈現(xiàn)的是非對稱結(jié)構(gòu)式就束手無策了. 數(shù)學(xué)解題并沒有固定不變的套路，只有不變的數(shù)學(xué)本質(zhì)和思想方法. 非對稱式問題的解法多樣，但其本質(zhì)離不開減元. 教學(xué)應(yīng)強(qiáng)化通法、算理的滲透，細(xì)化計(jì)算過程的探究，深化數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，而不是利用套路使學(xué)生成為解題的復(fù)刻者. 正如馬丘斯金所說：“題目解決不是終點(diǎn)，而是思考的起點(diǎn).”解決一個(gè)題目就停止進(jìn)一步的思考，為解題而解題的觀念要不得.應(yīng)該對問題一探到底，揭示問題的本質(zhì)，弄清問題的來龍去脈，真正做到“做一題、學(xué)一法、會(huì)一類、通一片”. 尊重知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程，注重學(xué)生思維內(nèi)化、深化的過程，讓邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)和能力在數(shù)學(xué)教學(xué)中落地生根.

作者簡介：劉榮軍（1974—），本科學(xué)歷，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事數(shù)學(xué)教育工作和研究工作，曾獲浙江省師德楷模、麗水市杰出教師、麗水市高中數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人等榮譽(yù).