淺析如何在解題教學中發展學生的數學學科核心素養

［摘" 要］ 發展學生的數學學科核心素養是解題教學的一項基本任務. 教師要改變“例題講解+模擬練習”的舊模式，帶領學生在問題解決和拓展過程中進行表述、操作、推理等，以此提高學生分析和解決問題的能力，落實學生的數學學科核心素養.

［關鍵詞］ 數學學科核心素養；解題教學；過程；能力

當下，培養學生數學學科核心素養已成為時代所趨，而解題是發展學生數學學科核心素養的必經之路. 不過，在解題教學中，教師要控制好“量”，把握好“度”，貫徹“以生為本”的教學理念，通過適度、適量的練習來提高學生解決問題的能力，發展學生的數學學科核心素養. 為了落實學生的數學學科核心素養，教師在講解習題時，應發揮學生的主體性，引導學生自主探索已知和未知之間的關系，根據已有知識、經驗、方法架構由已知通往未知的橋梁，提高解題效率. 不過，在實際教學中，部分教師為了追求訓練速度，習慣應用“以師為主”的教學方式，直接告訴學生“因為……所以……”，表面上幫助學生解決了問題，實際上由于缺少思考與探究的過程，不利于學生獲得深度理解，難以實現知識的融會貫通. 另外，若在二輪復習中，教師僅以“例題講解+模擬練習”的方式開展解題教學，容易固化學生的思維，使學生失去學習的興趣和信心，影響學生可持續學習能力的提升. 在實際教學中，教師應帶領學生經歷表述、操作、推理、驗證等過程，深化學生對知識、方法的理解，并通過有效反思幫助學生將其內化為能力，促進學生數學學科核心素養的落實.

筆者以高三二輪復習中的一道圓錐曲線綜合題為例，談談解題中發展學生數學學科核心素養的幾點認識，若有不足，請指正.

（1）求橢圓C的方程；

（2）E，F是橢圓C上的兩個動點，連接AE，AF，若兩直線的斜率互為相反數，證明：直線EF的斜率為定值.

第（1）問的難度不大，由題意輕松求得橢圓C的方程為+=1. 在求解過程中，教師先讓學生獨立思考、自主探究，鼓勵學生應用不同的方法解決問題，然后組織交流，充分展示學生多樣的解題過程，以此激活學生的思維，幫助學生積累經驗，拓寬學生的視野，提高學生解決問題的能力.

第（2）問有一定難度. 從學生反饋來看，部分學生因無從入手而陷入困境. 為了幫助學生擺脫困境，教師選擇問題串的方式進行逐層引導，問題串如下：

①待求的是什么？你想到了什么？

預設：待求的是直線斜率，易于聯想斜率公式，由此自然求點E和點F的坐標. 這樣從結果出發，明晰研究方向.

②點E和點F的坐標是否可求？結合已知條件，你有什么發現？

預設：由已知條件可知kAE=-kAF，又A為定點，不妨設直線AE的斜率為k，則直線AE的方程為y=k（x-1）+，將其與橢圓方程聯立，可求出點E的坐標（用參數k表示）. 同時，還可求出點F的坐標（也用參數k表示）. 由此根據斜率公式，問題獲解.

這樣在教師的引導下，學生逐漸形成正確的解題思路. 形成解題思路后，教師鼓勵學生將解題進行到底，以此訓練學生的運算能力，提升學生的解題信心. 以上方法是學生易于理解和接受的，是大多數學生樂于選擇的方法. 學生利用該方法求解后，教師還可以引導學生換個角度思考，以此來激發學生的探究熱情，培養學生的創造能力. 例如，教師可以讓學生思考這樣一個問題：這里要證明直線EF的斜率為定值，根據這一信息你能知曉什么？這樣在問題的引領下，學生發現直線EF的斜率存在，于是直接設直線EF的方程為y=kx+m，然后聯立橢圓的方程，消除x后可得關于y的方程，根據韋達定理及已知條件，也可以解決問題.

分析至此，解題思路形成，接下來教師預留充足的時間讓學生擇取方法去解答，以此培養學生的數學運算與邏輯推理等數學素養.

學生順利求解后，教師呈現學生的解題過程，并引導學生進行對比分析，以此在強化通性通法的同時，讓學生發現不同方法的優缺點，進一步發展學生的邏輯推理和數學運算素養，提高學生分析和解決問題的能力.

多方位拓展，發展數學素養

高三二輪復習不僅要強化一輪復習的效果，還要引導學生靈活應用知識解決問題. 因此，二輪復習不僅要滿足基礎知識和基本技能的訓練，還要通過有效拓展和延伸來提高學生的數學應用水平，培養學生合情推理和數學抽象的能力，發展學生的數學學科核心素養.

1. 縱向延伸，深化理解

上述例題順利求解后，教師啟發學生繼續思考，將問題一般化. 例如教師這樣引導：若橢圓中心為原點，焦點在x軸上上，A為橢圓上任意一定點，E，F為橢圓上的兩個動點，設直線AE的斜率為kAE，直線AF的斜率為kAF，若kAE+kAF=0，那么直線EF的斜率是否為定值呢？問題給出后，教師沒有讓學生直接求解，而是先引導學生用數學語言進行表述，以此提高學生的數學表達能力. 學生通過思考與交流，給出如下延伸問題.

延伸 已知橢圓C：+=1（agt;bgt;0）上有一定點A（acosθ，bsinθ），E，F為橢圓C上的兩個動點，設直線AE的斜率為kAE，直線AF的斜率為kAF，若kAE+kAF=0，則直線EF的斜率是否為定值？若是，定值如何表示？

教師放手讓學生以小組合作的方式解題，學生通過解法類比，選擇最優的解決思路，求得直線EF的斜率為定值，表示為. 在此基礎上，教師引導學生總結歸納，得到結論1.

結論1 已知橢圓C：+=1（agt;bgt;0）上有一定點A（acosθ，bsinθ），E，F為橢圓C上的兩個動點，若直線AE和直線AF的斜率滿足kAE+kAF=0，則直線EF的斜率為定值.

設計意圖 引導學生經歷特殊與一般的轉化，培養學生直觀想象、合情推理、邏輯推理等素養. 同時通過對一般問題的探索，進一步強化學生對通性通法的理解，提高學生的運算素養和推理能力. 在解決問題的過程中，教師讓學生以小組合作的方式解題，讓學生在互動交流中相互啟發、相互補充，以此提高學生的解題信心，培養學生的合作意識. 問題解決后，教師引導學生總結歸納，以此培養學生思維的深刻性，提高學生的歸納概括能力.

2. 橫向拓展，提升能力

橢圓與拋物線、雙曲線密切相關，在完成橢圓相關內容的探究后，教師引導學生進行拓展，進一步深化學生對知識的理解，幫助學生建構完善的認知體系，提高學生的邏輯推理、類比聯想等能力和素養.

拓展 已知拋物線y2=2px（pgt;0），A（x0，y0）是拋物線上一點，若任意兩條弦AE，AF的斜率滿足kAE+kAF=0，則直線EF的斜率是否為定值？如果是，請求出定值.

在教師的啟發和引導下，學生通過合作探究，證明直線EF的斜率是定值，為k=-. 問題解答完成后，教師預留時間讓學生總結歸納，從而得到結論2.

結論2 已知拋物線y2=2px（pgt;0），A（x0，y0）是拋物線上一點，若任意兩條弦AE，AF的斜率滿足kAE+kAF=0，則直線EF的斜率為定值-.

設計意圖 通過橫向拓展進一步加強學生數學表述、合作探究和歸納概括等能力，讓學生感悟數學與知識之間的內在聯系，提高學生參與數學探究的積極性，培養學生的數學學科核心素養.

教學思考

圓錐曲線是高考的一個重要考點（對動點問題的考查更是重中之重），也是教學難點. 在二輪復習中，教師可以將這些熱點或難點問題編制成專題，引導學生探索問題的性質與求解思路，以此消除學生的畏難情緒，提高學生的解題信心.

在本課教學中，教師從一道典型例題出發，通過多角度分析，拓寬學生的視野，讓學生掌握通性通法，提高學生的解題能力. 在此基礎上，教師繼續啟發和引導學生進行橫、縱的拓展延伸，進一步強化學生對數學知識的理解，提高學生的數學運算素養和歸納概括能力. 這樣通過多角度、全方位的探究，幫助學生跳出機械式解題訓練的束縛，讓學生體會類比推理在數學探究中的價值，領悟和把握問題的本質，有效提高學生解決問題的能力，促進學生數學學科核心素養的落實.

總之，解題時要跳出機械式訓練，多提供一些時間讓學生在問題解決和拓展延伸的過程中進行表述、操作、推理等，以此提高學生分析和解決問題的能力，落實學生的數學學科核心素養.

作者簡介：王小冬（1979—），本科學歷，從事高中數學教學工作.