巧妙設計問題 培養數學素養

［摘" 要］ 問題是思維的起點，是引發學生思考的動力源，數學學習過程離不開問題的指引. 在教學中，教師應基于教學實際巧妙地設計問題，提升學生的主體意識，讓學生在問題的解決中深刻地理解知識，打通知識間的內在聯系，提升數學素養.

［關鍵詞］ 問題；主體意識；數學素養

談起數學學習，學生常常用“抽象”“枯燥”“難度大”等詞語來評價，之所以如此，與教師的教和學生的學息息相關. 從教師的角度來看，不少教師在教學中循規蹈矩、按部就班，很少研究新教法，使得數學課堂枯燥乏味，不能有效利用課堂；從學生的角度來看，部分學生的基礎薄弱，沒有形成良好的自主學習習慣，參與課堂的積極性不高. 另外，受傳統教學模式的影響，學生對教師過度依賴，使得教學中常常出現學生“懂而不會”的現象，降低了學生的學習興趣和學習信心. 因此，在教學中，教師有必要更新教學觀念和教學方法，盡最大可能激發學生的學習興趣. 問題驅動是有效的教學方法之一，借助問題可以有效調動學生參與課堂的積極性，在問題解決中觸發學生的靈感，激發學生的熱情，提高學生的數學能力. 筆者在教學“同角三角函數的基本關系式”時，用問題驅動開展課堂教學活動，取得了較好的教學效果，現將課堂教學過程呈現給大家，供參考.

教材分析

本課教學前，學生已經掌握了任意角的三角函數的定義，知曉各象限角的三角函數值的正負號取法等內容，這些舊知為新知的學習奠定了基礎. 本課內容既是前面所學內容的延續，又是后面三角函數研究的基礎，其在三角函數教學中發揮著承上啟下的作用. 通過本課學習，學生可以完成三角函數式的化簡、求值以及三角恒等式的證明，培養邏輯推理能力，提升數學計算能力，發展數學素養.

教學目標

（1）經歷三角函數的基本關系式的推導過程，提升學生的自主探究能力.

（2）利用同角三角函數的基本關系式解決簡單的化簡、求值、證明等問題.

（3）通過問題驅動提高學生分析和解決問題的能力，培養學生的合作探究能力.

教學簡錄

1. 復習舊知，引入新知

問題1 按照要求填寫表1，觀察表1說說你有什么發現.

師生活動：預留時間讓學生獨立完成表1的填寫，并啟發學生思考同一個角α的三個三角函數間存在怎樣的關系.

設計意圖 從特殊值出發，啟發學生在特殊中探尋一般規律，降低思維難度，提高課堂參與度. 通過表1的填寫既幫助學生復習原有的知識，又給予學生直觀感受，有效啟動學生的思維，激發學生的探究興趣.

師生活動：先讓學生獨立思考，然后組織學生討論辨析，幫助學生形成正確的認識.

設計意圖 以上題目看似簡單，但是內容豐富，這樣借助實例引導學生思考辨析，可以深化學生對知識點的理解，培養學生的思辨能力，提升學生的數學素養.

問題5 結合問題4的探究經驗，你們認為在應用同角三角函數的基本關系式時，要注意些什么？

師生活動：通過有效的互動交流，學生得到如下注意點：①角的形式不重要，重要的是同角；②同角三角函數的基本關系式與角的象限無關；③同角三角函數的基本關系式中所指的角是有意義的角.

設計意圖 以小組為單位安排學生進行互動交流，充分發揮學生的主體意識，培養學生的自主學習能力. 在理解同角三角函數的基本關系式的基礎上進一步思考辨析，可以幫助學生形成清晰的認識，提高歸納概括能力.

問題6 若將sin2α+cos2α=1，tanα=進行變形，你能得到什么？

學生活動：學生給出如下變形式，sin2α=1-cos2α，cosα=±，cosα=，sinα=cosα·tanα.

設計意圖 對公式進行等價變形，為公式的靈活應用打下堅實的基礎. 同時，通過變形活躍學生的思維，提高學生的數學應變能力.

3. 例題解析，夯實基礎

例1 已知sinα=，且α是第二象限角，求cosα和tanα.

師生活動：學生獨立求解，教師巡視并展示學生的解題過程.

問題7 結合例1的求解過程，請說一說解決此類問題需要注意什么.

師生活動：學生互動交流，總結歸納如下注意點，①解決此類問題首先要確定角的終邊位置；②在利用平方關系開平方時，要注意各象限角的三角函數值的正、負.

例2 已知sinα=，求cosα，tanα.

師生活動：學生獨立求解，教師巡視學生的解答過程，并展示錯解，讓學生交流與爭辯，摒棄錯誤的認識.

問題8 例2與例1有何不同，在解決此類問題時，又需要注意什么呢？

師生活動：在教師的引導下，學生將例2與例1進行對比，理解確定角的終邊位置的重要性，滲透分類討論意識（根據例2的題設信息判定角α是第一或第二象限角，所以解題時需要分兩種情況進行討論）.

設計意圖 上述兩題（例1和例2）均為基礎題，重點考查學生對同角三角函數的基本關系式的掌握情況. 在此過程中，教師著重讓學生總結歸納解題時注意的要點，這樣不僅可以達到夯實基礎的目的，還可以培養思維的嚴謹性，有效規避盲目套用而出現錯解或漏解的情況.

4. 課堂互動，提升能力

師生活動：教師沒有直接給出相應的練習題鞏固強化學生的認識，而是將出題的主動權交給學生，讓學生根據自己對同角三角函數的基本關系式的理解編寫相應的題目，并邀請同學解答，然后相互評價. 教師巡視，挑選經典題目并投影展示. 例如：

（1）已知cosα=-，且α是第三象限角，求sinα和tanα.

（2）已知sinα=，且α是第四象限角，求cosα和tanα.

（3）已知cosα=-，tanα=，且α是第三象限角，求sinα.

問題9 以上題目是否正確？如果正確，請寫出正確的解答過程；如果不正確，請說一說問題在哪里.

設計意圖 讓學生變換角色，從教師的角度參與編題、解題、評題等過程，幫助學生更好地理解相關的知識點. 在此過程中，教師引導學生對錯誤進行深入剖析，在深化知識理解的同時，培養思維的縝密性和完整性.

5. 課堂小結，升華認知

問題10 通過本課內容的學習，你掌握了哪些知識、方法？本課內容與前面哪些知識有緊密的聯系？

師生活動：教師預留時間讓學生獨立思考、歸納總結，然后組織學生互動交流.

設計意圖 教師預留時間讓學生回頭看，歸納總結本課所學的知識內容、思想方法等，以此促進知識的鞏固和素養的提升. 在此過程中，教師引導學生關注知識間的內在聯系，以便學生將新知納入原有的知識體系中，逐步完善學生的認知體系，提高學生的遷移能力和歸納概括能力，落實學生的數學素養.

教學思考

1. 立足學生，激發興趣

好的教學設計應該是符合學生認知水平、順應學生思維發展的. 在教學中，教師不要貪多、求難，應結合學生自身特點設計難度適中的問題，以此增強學生的學習信心，激發學生的學習興趣. 本課教學設計，以基礎題為主，重點呈現學生的思考過程，讓學生在互動交流中深刻地理解知識，歸納總結應注意的問題，以此增強學生的學習信心，提高學生的解題準確率.

2. 問題驅動，發展素養

本課教學設計，以發展學生的數學素養為目標，結合學生的最近發展區創設環環相扣的問題，引導學生經歷同角三角函數的基本關系式的形成、發展和應用等過程，充分激發學生的主體意識，增強學生的學習信心，促進“減負增效”教學目標的落實. 在教學中，教師應改變“填鴨式”教學模式，將學習主動權交給學生，讓學生成為課堂的主人.

總之，在教學中，教師要站在學生的角度處理問題，重視學生的主體地位，引導學生多角度、多視角思考問題，讓學生站在更高的層面理解知識，以此提高課堂教學魅力，發展學生的數學素養.

作者簡介：蔡旦利（1983—），本科學歷，中學高級教師，從事高中數學教學工作.