加強變式訓練 實現融會貫通

［摘" 要］ 數學教學不可能將所有題都講一遍、做一遍，想要實現知識的融會貫通，最便捷的方式就是從不同的背景、視角來變化問題的呈現形式，但保持問題的本質特征不變. 由此，變式教學應運而生. 研究者從“提煉并應用數學思想方法”與“聚攏相對分散的教學內容”兩方面出發，談談變式教學的現實意義，并以“動態空間幾何中的最值問題”為例，闡述如何應用變式實現知識的融會貫通.

［關鍵詞］ 變式訓練；問題；動態空間；幾何

變式訓練是數學課堂常用的一種教學方式. 在日常教學中，學生自主難以將復雜、零散的知識整理成系統的知識結構，變式則可讓學生更好地了解知識點的諸多變化，幫助學生在解題過程中發現問題的本質，從而快速探尋到解題的突破口. 因此，這是一種教育發展的產物，能有效改進教學上的一些不足，對提高教學實效，發展學生數學學科核心素養具有重要價值與意義.

變式教學的現實意義

1. 提煉并應用數學思想方法

數學學習貫穿學生的整個學習生涯. 多年后，學生有可能忘記當年所學的知識與解題方法，但在學習過程中提煉出來的數學思想方法卻能讓其受益終身. 最常見的數學思想方法有數形結合、轉化與化歸等，變式教學能幫助學生更好地提煉這些思想方法，讓學生利用這些數學思想方法來分析與解決問題. 變式將不同的問題有機地融合在一起，讓學生透過問題的表象發現本質，為后續更好地解題與學習新知夯實方法基礎.

2. 聚攏相對分散的教學內容

從高中知識板塊的劃分來看，它們并沒有直觀的相關性. 變式教學的應用，則可將這些看似毫無關聯的知識點聚攏起來，幫助學生更好地把握其中的規律，完善知識體系，提煉數學思想方法. 解題教學中變式的應用，可促使學生根據問題所提供的條件提取有用的信息進行解題，這對強化學生對知識的了解具有重要意義，能夠幫助學生更好地掌握知識本質，提升學生的數學思維水平.

筆者以“動態空間幾何中的最值問題”為例，探討如何開展變式教學，以實現知識的融會貫通.

教學過程簡錄

1. 展示問題，提煉本質

原題 如圖1所示，正方形ABCD和ABEF的邊長均為1，平面ABCD與平面ABEF垂直，動點M，N分別于所在正方形的對角線AC，BF上移動，始終保持CM=BN，記作CM=BN=a（0lt;alt;）. 當a取值多少時，MN最短？

分析 由題設條件可知，AB與BC，BE垂直，因此AB與平面CBE垂直. 因為MN與平面CBE平行，所以AB⊥MN. 如圖5所示，過點M作MP⊥AB，P為垂足，連接NP，則AB與平面MPN垂直，所以AB⊥NP；過點M作MQ⊥BC，Q為垂足，△MQC與△BPN均為等腰直角三角形，同時MQ=BP，所以△MQC≌△BPN，可得CM=BN. 至此，變式題1就轉化成了原題，此為“化未知為已知”的過程，即將不熟悉的問題轉化成學生熟悉的問題來分析，解題得心應手.

設計意圖 變式題1的得出，意在引導學生感知對于同一個問題可用不同的方式來表述，使學生感悟到數學問題間的聯系. 雖然學生基于直觀視覺會發現本題和原題具有高度相似的地方，抑或具有等價的特點，卻礙于缺乏嚴謹的推理過程無法直接下結論. 借助變式暴露學生的思維，可及時發現學生的優劣點，以此為依據點撥、發展學生思維的嚴謹性. 同時，帶領學生“化未知為已知”，對發展學生的邏輯推理能力、直觀想象能力和轉化與化歸思想等具有重要意義.

2. 變式探究，豐富思維

變式題2 如圖6所示，已知ABEF是邊長為1的正方形，弧APB為以AB為直徑的半圓，AP=BP，平面ABEF與平面ABP垂直，M，N為線段BF上的兩個動點，且∠MAN=30°，則三棱錐P-ANM體積的最小值是多少？

設計意圖 變式題3蘊含“翻折”這個隱含條件，且該條件具備動態特征，也就是將原本單動態的問題轉化成多動態的最值問題，問題變得更加復雜. 基于“化未知為已知”的思想，想要解決此類題型，最好的辦法就是將多變量轉化為單變量，基于以上探索方法從三角函數出發探索結論，一方面幫助學生鞏固三角函數的性質，另一方面發展學生的推理素養. 基于類比思想的輔助，學生很快就從變式題2的解法中得到啟發獲得結論. 因此，變式題3的提出，為發展學生的數學素養搭建好了平臺.

設計意圖 變式題4的應用，意在引導學生在深度理解的基礎上構建函數模型，為解決動態空間幾何中的最值問題奠定基礎. 學生在解題過程中，不僅體驗了結論的形成過程，還深切體會了怎樣擇取最優的解題方法、如何合理引入參數、如何應用最簡運算方法等，這對優化學生的認知結構，發展學生的邏輯推理能力具有重要意義.

變式題5 如圖10所示，在△ABC中，AB=BC=2，∠CBA=120°，如果平面CBA外的點P與線段AC上的點D，滿足DP=DA，BP=BA，那么點P到平面BCD的距離的最大值為______.

設計意圖 變式題5的應用，意在引導學生切身感知數學知識間的關系，從而體會各類問題的源流，消減學生對立體幾何的畏難心理，這對發展學生的融會貫通能力以及“四能”具有重要意義.

4. 梳理總結，提煉升華

帶領學生一起回顧本節課的教學，根據變式探索來總結用函數模型解決動態空間幾何中的最值問題的常規方法，以深化學生對知識間聯系的理解，強化學生對轉化與化歸、類比推理、分類討論等思想方法的應用.

設計意圖 引導學生掌握數學知識與技能，提煉數學思想方法等是數學教學的根本任務. 課堂總結并非單純地將教學流程重新捋一遍，而是歸納本節課的教學手段、數學思想方法等，有效地重組新舊知識，幫助學生構建新的知識結構，為發展學生的數學素養服務.

幾點思考

本節課探索的是動態幾何中的最值問題，此類問題除了考查學生對基礎知識與技能的掌握程度外，更重要的是拔高學生的思維，引導學生在數學思想方法的輔助下，借助類比推理活化思維，發展學力. 此類問題常考常新，雖說學生遇到的問題可能不一樣，但解題的核心理念是相通的——可以用代數法與幾何法來解題. 在此，筆者談幾點思考.

1. 學生是變式訓練的主體

知識的“再創造”是數學教學的核心，即讓學生親歷實踐、探索與思考，去創造并獲取知識，而非被動接受. 變式教學的目的在于提升學生的解題能力，發展學生的數學學科核心素養，這需要將學生放在首位.

在教學中，教師可創設一些豐富的問題情境引發學生對變式進行合作交流、反思評價，從真正意義上完成知識的“再創造”，使教學成為一個思維遞增的過程. 學生自主將獲得的知識與能力有機地融合起來，從真正意義上實現知識與能力的正遷移. 如本節課，多個變式題相連，逐層遞進，有效拓展了學生的思維，使得每一個學生都從中構建了屬于自己的解題思路.

2. 問題是變式的表達方式

問題是數學的心臟，是思維的源泉. 變式題在解題教學中的應用，就是用問題鏈組織教學的過程，學生通過對問題的了解與突破可有效激發學習內驅力，對教學重點與難點產生探索欲，這對發展數學思維、促進知識遷移具有重要作用.

變式訓練需要將原題作為“母題”，結合教學內容特點與學情特征循序漸進地設計難易程度適中的問題，以啟發學生的思維. 本節課就是在原題的基礎上，結合教學內容特點與學生的認知水平，根據新課標的要求設計了5道變式題. 變式題的難度逐層遞增，有效發展了學生的解題能力與綜合素養.

3. 探究是變式的研究手段

變式教學離不開探究活動的開展，探究是發散學生數學思維的重要方式. 教師應對學生的實際學習能力以及認知水平有一個明確的認識，緊扣學生的最近發展區，通過對典型問題進行變式，為學生提供更多自主探究的機會，不斷錘煉學生的認知能力，促使學生學會從不同層次與視角來分析問題，進一步夯實學生對知識本質與內涵的理解.

實踐證明，隨著變式教學應用的推廣，學生的思維越來越活躍，這與新課標的要求相一致. 為此，教師應結合學情應用變式教學從真正意義上發展學生的創造能力、思維能力以及融會貫通能力.

作者簡介：魏新超（1982—），本科學歷，中學高級教師，從事高中數學教學與研究工作，曾獲全國青年教師展示課二等獎、浙江省優質課評比二等獎.