談“以生為主”高效數學課堂的建構

丁良棟

在高中數學教學中，部分教師為了追求教學進度常獨占課堂，導致學生的學習積極性難以被激發，教學效率低下.為了改變這一現狀，教師要改變傳統的以講授為主的教學模式，學會換位思考，放手讓學生參與課堂，構建“以生為主”的和諧平等的高效數學課堂.那么，“以生為主”就要求教師在制定教學策略時以學生心理特征、思維特點、知識經驗為前提，從學生的角度去思考學習內容，從而獲得與學生在情感上和思維上的共鳴，真正調動學生參與學習的積極性，讓教學內容在學生的參與中不斷豐富，讓教學過程在學生的參與中不斷優化，進而打造出內容豐富、異彩紛呈的高效數學課堂[1].筆者在教學中轉換角色，嘗試用學生的眼光去審視教學內容，用學生的思維去思考問題，現與同行切磋交流，以期共鑒.

1 想學生之所想

課堂猶如一場生動的話劇，若想精彩演繹，教師就不能唱“獨角戲”，要通過生動的語言、豐富的表情來傳遞感情，知曉彼此所想所思.教師要學會聆聽和觀察，通過語言交流明白學生之所想，通過觀察明晰學生之所思，從而通過巧妙的引導幫助學生走出思維誤區，建構和諧、高效的數學課堂.

在案例1的教學中，教師沒有急于給出解題過程，而是通過共同探究的模式開展教學活動.講解前，預留時間讓學生獨立思考，待學生對問題有了初步的認識后，再順應學生的思路開展教學活動，借助學生的真實反饋發現教學盲點，通過巧妙的引導幫助學生走出思維誤區.

師：根據已知求出集合M={1，2}，那么由NM，你能得到什么有價值的信息呢？

生1：集合N中的元素可能是1，也可能是2.

師：你們贊成生1的說法嗎？

生2：集合N還可能是空集.

師：請你準確歸納一下，集合N等于什么？

生2：N=或N={1}或N={2}或N={1，2}.

師：大家還有不同的意見嗎？（學生表示對生2的說法沒有異議.）

師：很好！從NM，我們知曉了N的幾種情形，接下來就逐個探究.當N=時，說明什么呢？當N為其他情況時，又分別說明了什么呢？

生3：當N=時，說明方程x2－mx+2=0無實數根，所以Δ=m2－8<0；當N={1}時，說明x=1是方程x2－mx+2=0的根.

師：“說明x=1是方程x2－mx+2=0的根”這句話表達得準確嗎？（教師打斷學生發言.）

生3：還說明方程x2－mx+2=0有兩個相同的根x1=x2=1.（學生思考后給出答案.）

師：很好，“相同”這點是大家最容易忽視的.對于N={1}的情況，該如何求m的值？

生3：當N={1}時，Δ=m2－8=0且1－m+2=0.

順著這個思路，學生繼續后面的探究.本題雖然看似簡單，然而對于高一學生來講想正確完整地求解并非易事.首先，學生對空集的概念理解不夠深入，在解題時容易因考慮不周而出現遺漏；其次，學生在理解N={1}或N={2}時，容易直接將x=1或x=2代入方程求m，忽視“兩個相同的根”這一關鍵條件，此處是一個易錯點.其實，從教學過程中可以看出，教師在易錯點的處理上顯得有些急躁，當學生出現理解偏差時不應急于打斷，應該讓學生充分暴露錯誤.例如，當N={1}時，學生的想法是將x=1代入方程，求得m=3，這時引導學生進行檢驗，學生自然容易發現當m=3時并不能保證集合有唯一的元素1，此結論與學生所想出現了沖突，自然會激發學生一探究竟的熱情.這樣，學生經歷發現錯誤和糾正錯誤的過程，印象會更加深刻，可有效避免錯誤的再次發生.因此，在教學過程中，教師不要急于引導，應放手讓學生經歷探究的過程，這正是教學中不可或缺的，是了解學生的絕佳機會.

2 知學生之所疑

數學知識是抽象的、復雜的，學習中學生難免會產生疑惑和不解，若不能及時得到解決，勢必會影響學習信心，同時也不利于后面教學活動的開展.教師在組織教學的過程中，要注意觀察學生，當學生表情凝重或竊竊私語時，很可能是思維出現了“疙瘩”，此時教師可以嘗試站在學生的角度重新思考，以學生的認知為起點，加之有效的引導讓學生真正釋疑.

案例2 函數奇偶性概念的應用.

學生對簡單的函數，如y=2x，y=3x2等的圖象了如指掌，可以結合函數圖象的對稱性輕松判斷函數的奇偶性.然對于一些復雜函數，如y=x+x－1，y=x3+2x等，若根據圖象來判斷顯然很難，那么如何突破這一難點呢？教師應引導學生自己去發現、去探究、去交流，從而找到判斷函數奇偶性的一般方法.

師：如果讓你們判斷函數y=2x，y=3x2的奇偶性，大家會用什么方法呢？

生1：可以利用圖象法，判斷圖象是否關于原點或y軸對稱.

師：很好.那么函數y=x+x－1，y=x3+2x的奇偶性呢？（給學生時間思考并鼓勵學生大膽提問.）

生2：這兩個函數的圖象很難畫出來，沒有圖象怎么觀察對稱關系呢？是不是利用函數奇偶性的概念來判斷呢？

師：相信大家有這個困惑，確實以上兩個函數難以用圖象法來判斷.現在先思考——對于函數f（x）=x3，f（－1）和f（1），f（－2）和f（2）各有什么關系？

生3：f（－1）=－f（1），f（－2）=－f（2）.

師：對于函數f（x）=x3，f（－x）與f（x）有什么關系呢？

在教師的鼓勵和引導下，學生根據上面的探究經驗，大膽地依據奇偶性的概念推理出以上兩個函數為奇函數.同時，教師用幾何畫板演示了函數y=x+x－1，y=x3+2x的圖象，學生發現兩函數圖象確實都分別關于原點對稱，進而驗證了學生推理的正確性，提升了學生不斷探索的信心.

在教學過程中，通過循序漸進的引導，不僅消除了學生的疑惑，而且幫助學生找到了判斷函數奇偶性的重要方法；同時，讓學生經歷了由具體到一般的轉化過程，提升了抽象概括能力；另外，幫助學生理解了概念的內涵，抓住了問題的本質，讓學生在探究中體驗數學學習的樂趣，進而提升了數學學習的信心.

3 思學生之所錯

在學習過程中錯誤是不可避免的，因此教師在面對錯誤時要有一顆寬容的心.當然，寬容并不是對其置之不理，而是借助錯誤所暴露出的問題進行仔細推敲，找到問題的癥結，從而通過合理的開發和利用將其轉化為有價值的教學資源.

案例3 設數列{an}的前n項和為Sn，已知a1=1，2Sn=（n+1）an（n∈[WTHZ]N*）.

（1）求a2，a3，a4的值；

（2）求數列{an}的通項公式.

教師設計本題的意圖是讓學生根據問題（1）猜想出{an}的通項公式，然后利用數學歸納法加以證明，但教學卻并沒有按照預期進行.

生1：由已知易得a2=2，a3=3，a4=4，又a1=1，所以猜想an=n.將an=n代入2Sn=（n+1）an（n∈[WTHZ]N*）驗證.一方面2Sn=2（a1+a2+……+an）=（n+1）n，另一方面（n+1）an=（n+1）n，所以當an=n時，滿足條件2Sn=（n+1）an（n∈[WTHZ]N*），因此an=n.

生1的證明方法給出后，學生感覺有問題，但是又不知道問題到底出在哪，為了引導學生自己發現錯誤，教師給出了一個反例.

師：已知{an}滿足a1=1，a2n+1－a2n=an+1+an，an=n及an=（－1）n+1均符合條件.因此，an=n符合條件只能說明其為眾多可能中的一種，并不能說明其唯一性.

找到問題的癥結后，學生利用常規的數學歸納法順利地證明了猜想.教師思考生1的驗證過程，發現利用代入法驗證也有其合理的一面，為此引導學生進一步探究，尋找另外一種解法.

師：生1的方法給了我很大的啟示，如果可以繼續證明符合條件的數列是唯一的，是不是推理也就成立了呢？對于本題“唯一”的推理，該如何進行呢？

生2：根據條件，由a1可得a2，由a2可得a3，……，由an可得an+1，現已知a1，因此只要對任意的n∈[WTHZ]N*，由an求得的an+1是唯一的，數列{an}就一定唯一.

師：很好！大家能用這個方法來驗證通項公式an=n是唯一的嗎？

生3：由2Sn=（n+1）an，得2Sn-1=nan－1（n≥2），則2an=（n+1）an－nan－1，解得an=n/n－1an－1（n≥2）.因為a1=1，而an+1是由an唯一確定的，所以數列{an}是唯一的.根據生1的判斷，已經驗證了an=n符合條件，故數列{an}的通項公式是an=n.

就這樣，一個猜想問題的推理經過再探究獲得了新生，學生又找到了驗證猜想的另外一個方法.接下來教師又引導學生總結歸納出了“將結果代入條件驗證”的解題步驟，這樣學生不僅改正了錯誤，而且給“錯誤”賦予了新的意義.

其實，很多錯誤也有其閃光的一面，有其一定的合理性，在教學中教師不要急于否定，不妨順著學生的思路繼續探究，這樣不僅可以發現問題的癥結，而且若能“去偽存真”進行合理加工，也許會收獲一些意外的驚喜.

總之，教師不能獨占課堂，應多從學生的角度進行開發和建構，讓學生積極地參與到教學活動中來，進而使課堂更加民主、高效.

參考文獻：

［1］秦詠梅.請站在學生視角設計學案[J].山西教育（教師教學），2009（3）：54.

課題信息：揚州市教育科學“十三五”規劃2020年度立項課題“高中數學課堂提問的策略研究”，立項編號為2020/P/138.