學歷案：學生視角巧類比，數學知識妙遷移

葉阿平

教學改革與理念創新，從根本上來說就是必須摒棄教師立場，選擇學生立場，體現以學生自主構建與學習為中心的基本理念，而學歷案就是一個很好的嘗試與創新應用.下面筆者以“空間向量基本定理”為例，就這一單元的學歷案的教學設計加以剖析與展示.

1 以生為本，明確目標

“空間向量基本定理”一節的學習目標設定如下：（1）類比平面向量基本定理，理解空間向量基本定理及其意義；（2）經歷由三個不共面且兩兩垂直的空間向量表示空間中任一向量，到任意三個不共面的空間向量表示空間中任一向量，從而得到空間向量基本定理，體現從特殊到一般的數學思想；（3）通過兩次平面向量的正交分解得到空間向量的正交分解，體現了轉化的數學思想，在此過程中培養數學抽象和直觀想象數學核心素養.

學歷案中的學習目標要明確，充分體現“期望學生‘學會什么”為根本目的，其是基于教師課前對學生已有知識等方面的認識與把握，設計“最近發展區”，使得學生更能以參與其中，目標可測評、觀察與評價，從學生的實際出發來提升關鍵能力與培養核心素養.

2 總體設計，前置任務

本節課的評價任務設計如下：（1）回答問題1～4，從平面向量知識切入進行復習與回顧，為思維的提升作好鋪墊；（2）回答問題5與問題6，類比思維，構建新知識體系，進而學習空間向量基本定理及其相關內容；（3）結合實例應用，依托空間向量基本定理的基本認識與本質，加以簡單初步應用.

學歷案的評價任務是前置的，是根據教學過程前學生的實際情況設計的，能更加合理地確定學生的目標是否達成，學習任務是否完成，等等，有助于教師從學生的視角來發現教學設計中的不足與改進方向.

3 創設情境，落實過程

3.1 復習回顧，鋪墊引入

問題1 在必修第二冊（人教A版）第六章“平面向量及其應用”中，結合平面向量基本定理，可知平面內的任意一個向量a都可以用兩個不共線的向量e1，e2來線性表示.那么，如何表示呢？

設計說明：回顧復習平面向量基本定理，為類比空間向量、學習空間向量基本定理做好鋪墊.

問題2 類似地，任意一個空間向量能否還能用兩個不共線的向量來線性表示呢？

預設答案：不能.

追問1：那么，任意一個空間向量需要用多少個向量線性表示呢？

追問2：三個滿足什么條件的向量可以線性表示空間中任意一個向量呢？只滿足不共線可以嗎？

追問3：三個不共面的向量，同學們最熟悉的是在哪個幾何體中見過？

追問4：另外，還有一個更為關鍵的問題是——在空間中，任意一個空間向量能否用任意三個不共面的向量a，b，c來線性表示呢？

教學說明：這個環節通過一系列問題串的形式，由平面向量基本定理，逐步從基底的個數、基底向量滿足的條件，以及基底法分解的可行性幾個角度過渡到研究空間中的類似結論是否成立.類比猜想，學生能猜到空間中的類似結論也是成立的！因此自然需要對這個結論在空間中成立的合理性進行說明.

問題3 請問大家是否記還得投影向量嗎？

設計說明：回顧平面投影向量的概念，嘗試類比空間中某個平面上的投影向量的概念，培養學生的數學抽象素養.

問題4 我們能把平面內一個向量在另一個向量上的投影向量類比到空間中，定義一個向量在另一個平面上的投影向量嗎？

預設答案：設向量AB是非零向量，AB所在的直線在平面α外，如圖1，過AB的起點A和終點B，分別作平面α的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，則這個變換是向量AB在平面α的投影，A1B1即為向量AB在平面α上的投影向量.

教師：下面，我們繼續來分析在空間中，任意一個空間向量能否用任意三個不共面的向量a，b，c來線性表示.先從我們最熟悉的空間中三個不共面的兩兩垂直的向量這一特殊情況入手.

3.2 推陳出新，構建新知

教師：通過問題2的討論，下面先研究長方體模型.

問題5 對于長方體，從一個頂點出發的三條棱所形成的向量有什么特殊位置關系嗎？

預設答案：三個向量兩兩垂直.

教師：那我們就先討論三個兩兩垂直的不共面向量能否將空間中任意一個向量線性表示出來.

設長方體ABCD-A′B′C′D′中，i，j，k是從同一個頂點D出發的三個兩兩垂直向量，則對于向量DB′，DB即為DB′在向量i，j所確定的平面（即長方體的底面ABCD）上的投影向量，則DB′=DB+BB′.

又向量BB′與k共線，所以存在唯一的實數z，使得BB′=zk，則有

DB′=DB+zk.①

又在向量i，j所確定的平面即長方體的底面ABCD上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序實數對（x，y），使得

DB=xi+yj.②

由①②式，可得DB′=DB+zk=xi+yj+zk.

一般地，如果i，j，k是空間三個兩兩垂直的向量，那么對于任意一個空間向量a，存在唯一的有序實數組（x，y，z），使得a=xi+yj+zk.其中xi，yj，zk分別為向量a在i，j，k上的分向量.

追問：以上只是分析了長方體的對角線向量DB′可以用三個兩兩垂直的不共面向量線性表示，那空間中任意一個向量也可以這樣表示嗎？

預設答案：是可以的.空間中任意一個向量均可以按照以上的方式形成以自身為對角線的長方體，即可類似地得到解答.

設計說明：借助學生最熟悉也是最基礎的幾何體——長方體模型，幫助學生理解空間中三個兩兩垂直的向量可以表示出空間任意一個向量，不僅體現從特殊到一般的數學思想，而且也給學生展示了如何用三個不共面向量去表示空間中的任一向量，為后面學生用“基底法”解題打下堅實的基礎.

問題6 在空間中，如果用任意三個不共面的向量a，b，c來替換空間中兩兩垂直的向量i，j，k，也能類比得出相似的結論嗎？

預設答案：答案是肯定的！空間中任意一個向量均可以按照以上類似的方式形成以自身為對角線的平行六面體，即可類似地得到解答.

設計說明：從特殊到一般，從平面到空間，引導出空間向量基本定理，構建模型.

3.3 構建模型，深化概念

空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組（x，y，z），使得p=xa+yb+zc.

相關概念：

（1）{a，b，c}叫做空間的一個基底（base），a，b，c都叫做基向量.

（2）任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底.

（3）如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}來表示.

（4）在空間中，任意一個向量a，用三個兩兩垂直的正交基底線性表示，稱為空間向量的正交分解.

設計說明：引出空間向量基本定理，并且板書強化這一定理及其衍生的相關概念.由空間向量基本定理，通過三個不共面的向量把握住整個空間結構.同時，對于任意向量的研究均可以轉化為三個基向量的研究，體現了轉化與化歸的數學思想.

3.4 新知應用，鞏固內化

例 （對應教材第12頁例1）如圖2，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，且MN =1/2ON，AP=3/4AN，用向量OA，OB，OC表示向量OP.

設計說明：本例為加深學生對空間向量基本定理的理解.解決本題時，要引導學生數形結合，觀察幾何體的結構，再結合已知與所求，將空間向量用已知的三個不共面的向量線性表示出來.

課堂訓練 已知四面體OABC，M，N分別是棱OA，BC的中點，且OA=a，OB=b，OC=c，用a，b，c表示向量MN.

4 學后反思，發展素養

4.1 合理類比，分散難點

本節課是“空間向量與立體幾何”這一章的第二個單元內容，是空間向量的基礎，通過類比思維，由“二維”的平面向量基本定理上升到“三維”的空間向量基本定理的內容.本節課是由平面的結論類比推廣到空間，在定理的理解和使用上會有一定的難度，本單元的設計就是通過問題串的形式分散難點，幫助學生更好地理解和掌握空間向量基本定理.

4.2 過程構建，思想引領

在整個學習過程中，借助“二維”平面知識上升到“三維”空間知識，滲透了類比推理的思想方法；空間向量的分解先是在兩兩垂直的三個不共面向量下的分解，再推廣到一般的三個不共面向量的分解，體現了由特殊到一般的數學思想；通過平面向量基本定理過渡到空間向量基本定理，巧妙轉化為基向量進行相關向量問題研究的思想，均體現出了轉化的數學思想.整個單元的教學提升了學生的數學抽象、邏輯推理和直觀想象等核心素養.

課題信息：江蘇省教育科學“十四五”規劃2021年度重點課題“基于學歷案的高中數學主題單元教學模式建構與實踐探究”，課題批準號為B/2021/02/152.