展折疊之美，育思維之花

折疊問題是中考數學的高頻考點，深圳中考也不例外.折疊問題主要分直接計算型和分類討論型兩大類題型，由淺入深，難度逐漸加大.2021年是深圳新中考第一年，數學試題的難度一度上了熱搜.很多學生反映“題目很新”“題目很難”等.具體真相如何？我們一起來揭開填空壓軸題的真面目，感受數學之趣、數學之美，提升數學素養.

1 真題呈現

如圖1所示，在△ABC中，AB=43，D，E分別為線段BC，AC上一點，EC=10，將△CDE沿DE折疊，使得C落在F處，∠BFC=90°，若EF∥AB，則AE=.

2 試題賞析

縱觀深圳近幾年中考數學試卷，折疊問題舊瓶裝新酒，連續作為選填壓軸題.此題作為2021年的填空壓軸題，精心設計，巧妙構造.主要體現在：（1）不是單純的折疊問題，而是通過折疊操作后，結合平行四邊形的構造，求解線段長度.（2）已知數據含有根號，防止學生考試時通過測量算出得數.（3）筆者利用幾何畫板還原題干三角形，發現很難準確畫出滿足題干條件的三角形，多少都會出現誤差.那么，該如何找到滿足如此條件的三角形呢？試問，如果改變題干線段長度或者減少已知條件，此題可解嗎？筆者也在反思是否是自己才疏學淺，沒掌握題干精髓和命題者的意圖.一個如此特殊的三角形，進行三角形內部折疊后，同時滿足直線平行和存在直角兩個條件.我們可以反解這個三角形嗎？從題目反觀命題者的意圖，條件很多，少一個也不行，多一個就成“累贅”.最后，借助幾何畫板，筆者還原了題干三角形，并且在繪圖過程中發現了這道題的變式訓練.

3 解法探究

添加輔助線是解決本題的關鍵所在.本題是折疊問題中的直接計算型.通過證明，挖掘已知條件，直至找到我們熟悉的三角形.對于求解線段長度的題目，如果學生具備線段長度求解的模型意識，就可以突破添加輔助線這一難點.大膽猜測，輔助線水到渠成.再次反觀命題者的意圖，涵蓋折疊所有的性質，角平分線、垂直、平行四邊形和等腰三角形等知識點均有涉及.這些都是中考復習中的核心考點，對于考生來說，在考場如何能正確解答此題呢？針對題目，筆者給出4類思路，7種解法.

思路一：添平行之線，連接已知和未知.

解法1：如圖2，過點A作AG∥BF交EF于點G，構造平行四邊形ABFG，則AB=FG.由折疊性質結合∠BFC=90°，可得EF=EC，ED∥BF，∠FED=∠CED.于是有ED∥BF∥AG，則∠EAG=∠EGA，所以AE=GE.又GE=EF-FG=EC-AB=10-43，所以AE=10-43.

解法2：如圖3，過點B作BO∥AE交EF于點O，構造平行四邊形ABOE，則有AE=BO=OF，所以AE=EC-AB=10-43.

解法3：如圖4，過點F作FO∥AE交AB的延長線于點O，構造平行四邊形AEFO，接下來類似解法1和解法2，可解.

點評：題目給出AB和EC的長度，求解AE.這三條線段看起來沒有聯系，怎樣把它們聯系起來呢？這類問題的一般求解策略為添加輔助線，把未知和已知線段集中到一個三角形中.此方法的突破關鍵是平行四邊形的構造，這是一種比較常規的解法，考生在考場也比較容易想到.此外，針對填空題解題技巧，此題的答案比較容易猜到.幾何能力強的考生會先有意識猜測已知線段間的加減關系，然后帶著目標去添加輔助線，再結合其余條件，即可寫出正確答案.

思路二：延邊長之線，挖掘隱藏信息.

解法4：如圖5，延長CE，FB交于點O，構造Rt△CFO.由折疊性質有EF=EC，再根據直角三角形斜邊中線逆定理，可證E為斜邊OC的中點，△EFO為等腰三角形，則∠EFO=∠EOF.又AB∥EF，則∠ABO=∠EFO，所以∠ABO=∠AOB，于是AB=AO.又EC=EO=AO+AE=AB+AE，所以AE=EC-AB=10-43.

解法5：如圖6，延長線段DE，BA交于點M，反向延長DE交FC于點G.ED所在直線為折疊線，所以EG⊥CF.結合∠BFC=90°，有BF∥EM.又AB∥EF，所以四邊形BFEM是平行四邊形，則EF=MB，∠M=∠FEG.由折疊性質，有EC=EF，∠FEG=∠CEG.又∠CEG和∠AEM是對頂角，所以∠M=∠AEM，于是AM=AE.故AE=BM-AB=EC-AB=10-43.

點評：解法4和解法5均是通過延長邊線形成交點，找到隱藏的特殊形狀而求解.解法4中延長邊線重點在于形成直角三角形，解法5則是通過延長邊線，形成平行四邊形.二者的相同之處均是在圖形中找等腰三角形.筆者認為較思路一，這種通過延長線段添加輔助線的技巧比較難想到，但是證明較簡單.正如在初三復習折疊的核心考點時，會出現“折疊遇平行，等腰必出現”的口訣，由此發掘出一些奇思妙構的解法.

思路三：取中點，構造三角形中位線.

解法6：如圖7，易知D為線段BC的中點.取AC中點M，連接DM，則DM為△ABC的中位線，所以DM=12AB，DM∥AB.因為AB∥EF，所以EF∥DM，則∠FED=∠EDM.結合折疊性質，可得∠MED=∠FED，所以∠MED=∠EDM.由MC=EC-MD，得AE=AM-EM=MC-MD=EC-2MD=EC-AB=10-43.

點評：易知D為線段BC的中點，此解法聚焦幾何問題的三大法寶之一——中點，通過構造中位線，快速轉化已知條件.再結合另一法寶——平行，導邊導角，找出線段間的等量關系，求解未知線段.

思路四：構造“八字全等”找等腰.

解法7：如圖8，同解法5，延長線段DE，BA交于點M，反向延長DE至點N，使得DN=ED，連接BN，構造全等八字模型△EDC≌△NDB，則BN=CE，∠N=∠DEC.接下來同解法5，可證AM=AE，最后證明∠N=∠M，則BN=BM.故AE=AM=BM-AB=EC-AB=10-43.

點評：“八字模型”的建立依賴兩個條件，即D為線段BC和線段EN的中點，但輔助線多而且難想，比較累贅.

4 變式訓練

如圖1，在△ABC中，D，E分別為線段BC，AC上一點，將△CDE沿DE折疊，使得C落在F處，則

①∠BFC=90°，

②EF∥AB，

③AB+AE=EC這三個條件，任選兩個都可推出另一個.感興趣的讀者可以試著證明.

注意：條件①也可換為“D是線段BC的中點”.

現在回過頭看原中考題，其實線段長度可隨便定，只要滿足條件③即可.這就是該問題的變式思考.

教育家懷特海認為，教育需要使學生通過樹木看見森林.回到題目本身，我們可以基于學情，科學、合理、有序地培養學生“解題非一法，尋思求百通”的意識.

5 通性通法

折疊問題，題型多變，因圖形看起來比較復雜，不少學生望而生畏.其實幾何圖形的折疊問題，本質上就是軸對稱問題.解決這類問題的關鍵是抓住折疊前后的兩個圖形全等，注意折疊前后變化的量和不變的量，然后抓住背景圖的相關性質，利用轉化或運用方程思想解決問題.在中考復習教學中，要以經典問題為主，預設不同解法和思路，但是要滲透萬變不離其宗的解題思想，注重通性通法的總結.

6 題后反思

俗語說：心在一藝，其藝必工；一心在一職，其職必舉.一題多解的數學之美不僅在于多，而且在于題后的對比和歸納.波利亞指出：“沒有任何一道題可以解決得十全十美，總剩下些工作要做.”這里剩下的工作就是解題反思，它有助于學習者領悟思想方法和數學活動經驗，實現從知識的學習到能力的提升.