因式分解的拓展探究

因式分解是初中數學的重要知識點，中考專門考查這一知識點的試題并不多，主要滲透在其他試題的考查中.本文中主要從因式分解與最值、新定義、圖形體積、換元法等方面說明中考中對因式分解的拓展考查.

1 因式分解與最值

利用因式分解求最值，通常是指將一個二次三項式配方出一個完全平方式，然后根據（a±b）2一定是非負數求得最值.當多項式配方為a（x±b）2+c時，此多項式一定有最小值c，此時完全平方式為0；當多項式配方為-（x±b）2+c時，此多項式一定有最大值c，此時完全平方式為0.

例1" 閱讀理解并解答：（1）我們把多項式a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2叫做完全平方式，一個多項式能否運用完全平方公式進行因式分解，關鍵是判斷這個多項式是否是完全平方式.欲求一個多項式的最大值或最小值，將這個多項式的局部化成完全平方式是必須的.

如①x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2.

因為（x+1）2是非負數，所以

（x+1）2+2≥2.

所以這個代數x2+2x+3的最小值是，這時相應的x的值是.

②3x2-12x+5＝3（x2-4x）+5＝3（x2-4x+4-4）+5＝3（x-2）2-12+5＝3（x-2）2-7.

因為（x-2）2是非負數，所以

3（x-2）2-7≥-7.

所以這個代數式3x2-12x+5的最小值是，這時相應的x的值是.

（2）仿照上述方法求代數式-x2-14x+10的最大（或最小）值，并寫出相應的x的值．

解析：（1）①因為x2+2x+3＝（x+1）2+2，所以

x2+2x+3的最小值是2，此時x的值是-1．

②因為3x2-12x+5＝3（x-2）2-7，所以

3x2-12x+5的最小值是-7，此時x的值是2．

（2）-x2-14x+10＝-（x2+14x+49）+49+10＝-（x2+14x+49）+59＝-（x+7）2+59.

因為（x+7）2是非負數，所以

-（x+7）2≤0，從而

-（x+7）2+59≤59.

因此，-x2-14x+10的最大值是59，此時x的值是-7．

點評：如何將一個二次三項式配出一個完全平方式？首先通過提取公因式，將二次項系數變為1，然后在括號內加上一次項系數一半的平方，最后寫成完全平方式，并化簡.

2 因式分解與新定義

在整數世界里，有一些特殊的數.如，相鄰兩個數位上的數字，右邊的比左邊大1，這樣的數稱為“美數”；一個四位數，前兩位數字之和等于后兩位數字之和，這樣的數稱為“和平數”；一個多位數，從左向右或從右向左都是一樣的，這樣的數稱為“軸對稱數”.這些特殊的數都有一些特殊的性質，要證明這些特殊的性質，都需要用到因式分解.

例2" 生活中軸對稱的例子很多，如自然景觀、分子結構、建筑物、日常用品等.根據軸對稱的特征，我們把形如mm，mnm，mnpnm（m，n，p∈N*且m，n，p≤9）這樣的正整數叫做軸對稱數，如69596等.

（1）請寫出一個最小的

四位數的軸對稱數.

（2）把任意一個軸對稱數的形式設置為“efe”，其中e為首位數字與末位數字，f是去掉首末兩個數后的（n-2）位數，那么這個軸對稱數減去個位數字的11倍，結果能被10整除.如：3 553-3×11＝3×1 000+55×10+3-3×11＝3 520.

①根據上面的算式，填空：86 368-8×11＝.

②寫出（2）的證明過程.

解析：（1）最小的四位數軸對稱數是1001.

（2）①86 368-8×11＝8×10 000+636×10+8-8×11＝86 280.

②證明：efe-11e＝e×10n-1+f×10+e-11e=e×10n-1+f×10-10e=10［e×（10n-2-1）+f］，所以結果能被10整除，上述說法正確.

點評：如果一個多位數可以寫作abcd，那么這個多位數就等于a×103+b×102+c×10+d，也可以表示為（ab）×102+cd，或者表示為（abc）×10+d.

3 因式分解與圖形體積

根據平面圖形的面積，可得二次多項式因式分解的結果，如a2-b2＝（a+b）（a-b），a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2，a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）等；根據立體圖形的體積，可得三次多項式因式分解的結果，如a3-b3＝（a-b）（a2+ab+b2），a3+b3＝（a+b）（a2-ab+b2）等.

例3" 知識再現：在一個邊長為a的正方形中剪去一個邊長為b的小正方形（如圖1），然后，把剩下的部分剪開成兩個長方形，再拼成一個長方形（如圖2），根據這兩個圖形，請寫出一個代數恒等式.

知識遷移：在空間范圍內，把一個棱長為a的正方體去掉一個棱長為b的小正方體，再把剩余的部分切割成三個長方體，再拼成一個幾何體，那么圖3中幾何體的體積是多少？圖4中的呢？根據它們之間的體系關系，請寫出一個關于a，b的代數恒等式.

知識運用：根據立體圖形得到的代數恒等式，（1）將多項式27x3-8因式分解；（2）已知a-b＝8，ab＝4，你能求出a3-b3的值嗎？

解析：根據平面圖形，可得代數恒等式為

a2-b2＝（a+b）（a-b）.

根據立體圖形，可得代數恒等式為

a3-b3＝（a-b）（a2+ab+b2）.

（1）由a3-b3＝（a-b）（a2+ab+b2），得

27x3-8＝（3x）3-23＝（3x-2）（9x+6x+4）.

（2）由a-b＝8，ab＝4，得

a2+b2＝（a-b）2+2ab＝64+8＝72.

所以，可得a3-b3＝（a-b）（a2+ab+b2）＝8×（72+4）＝608.

點評：由例3可以看出，兩數的立方差，等于這兩數的差乘這兩數的平方和與它們的積的和；兩數的立方和，等于這兩數的和乘這兩數的平方和與它們積的差.

4 因式分解與換元法

解一些復雜的因式分解問題，使用換元法也是一個不錯的選擇，也就是把結構復雜的多項式中的某一部分看作一個整體，用一個字母置換，這樣可以使問題變得簡單、明朗，它可以減少多項式的項數，降低多項式結構的復雜程度.

例4" 先閱讀材料再解決問題：（Ⅰ）利用換元法可以從形式上簡化式子，在解一元高次方程時，利用換元法可以達到轉化與化歸的目的.如解一元四次方程x4-8x2+16＝0時，設y＝x2，則原方程可以變形為y2-8y+16＝0，解得y＝4，所以x＝±2.

（Ⅱ）楊輝三角形是中國數學史上的一個偉大成就，在《詳解九章算法》中就出現了，它是一些特定系數在三角形中有規律的排列，如圖5所示.

……

（1）根據換元法的思路，解方程：（x2+3x-1）2+2（x2+3x-1）＝3.

（2）觀察楊輝三角，可以發現規律，設第n行的第2個數為an（n≥4），設第n行的第3個數為bn，第（n-1）行的第3個數為cn，你能根據換元法的思路，將4（bn-an）·cn+1因式分解嗎？

解析：（1）令t＝x2+3x-1，則原方程可轉化為t2+2t＝3，

解得t＝1或t＝-3.

當t＝1時，x2+3x-1＝1，解得x1=-3+172或x2=-3-172.

當t＝-3時，x2+3x-1＝-3，解得x＝-1或x＝-2.

故原方程的解為x=-3+172或x=-3-172或x3＝-1或x4＝-2.

（2）根據楊輝三角形的特點，可得an＝n-1，bn=（n-1）（n-2）2，cn=（n-2）（n-3）2.

所以4（bn-an）·cn+1＝（n-1）（n-4）（n-2）＼5（n-3）+1＝（n2-5n+4）（n2-5n+6）+1

＝（n2-5n+4）2+2（n2-5n+4）+1＝（n2-5n+5）2.

點評：與楊輝三角聯系最緊密是二項展開式的系數規律，即二項式定理；其次，楊輝三角（圖5）的第n行所有數的和為2n-1.

華羅庚說：“新的數學方法和概念，常常比解決數學問題本身更重要.”本文中分別介紹了因式分解與求最值、新定義、圖形體積、換元法之間的密切聯系，既可以拓寬學生的思維，又為學生解決問題開辟了新的思路與方法.