問題驅(qū)動(dòng) 深度參與 落實(shí)素養(yǎng)

近日，筆者在參加全市鄉(xiāng)村共同體數(shù)學(xué)教研活動(dòng)中，聽了一節(jié)鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校的初三數(shù)學(xué)課，課題是“二次函數(shù)的應(yīng)用”.課后，筆者進(jìn)行了師生訪談交流，并對(duì)學(xué)生進(jìn)行了檢測(cè)分析，交流結(jié)果與分析數(shù)據(jù)引發(fā)了筆者對(duì)本節(jié)課一個(gè)教學(xué)片段的思考.

1 教學(xué)實(shí)錄片段

教者出示題目：某公司銷售一批產(chǎn)品，該產(chǎn)品每件成本是40元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià)x（單位：元）與產(chǎn)品的日銷售量y（單位：件）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如表1.

（1）求日銷售量y與單件售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式.

（2）每件產(chǎn)品的銷售價(jià)定為多少元，當(dāng)天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？

（3）若售價(jià)為50元/件時(shí)，每天能賣出500件.商場想采用提高售價(jià)的方法來增加利潤.已知這種商品每件漲價(jià)1元，銷量就減少10件，為當(dāng)天獲取的利潤不少于8 000元，應(yīng)怎樣定價(jià)？

師：這是一道常見的二次函數(shù)的應(yīng)用問題，現(xiàn)在請(qǐng)一個(gè)同學(xué)來展示一下第（1）問.

生1：設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法將點(diǎn)（45，25）和（50，20）代入，解得k=-1，b=70，所以一次函數(shù)解析式為y=-x+70.

師：很好，再請(qǐng)一個(gè)同學(xué)來展示一下第（2）問.

生2：因?yàn)槊考a(chǎn)品的利潤為（x-40）元，日銷售量為（-x+70）件，設(shè)總利潤為z元，所以可得z=（x-40）（-x+70），再利用配方法可以求出結(jié)果.

師：很好，同學(xué)們非常快速地解決了前面兩個(gè)小問.下面請(qǐng)大家思考一下第（3）問，先獨(dú)立思考，再互相交流一下（學(xué)生思考幾分鐘時(shí)間）.

生3：設(shè)每件漲價(jià)x元，則售價(jià)為（50+x）元/件.設(shè)總利潤為z元，則z=（50+x-40）（500-10x）.因?yàn)楫?dāng)天獲取的利潤不少于8 000元，所以可以得到（50+x-40）（500-10x）≥8 000.不等式我不會(huì)解了.

師：將z=（50+x-40）（500-10x）配方，可得y=-10（x-20）2+9 000.又z≥8 000，這個(gè)不等式的解法估計(jì)大部分同學(xué)想不到.究竟怎么解決呢？請(qǐng)大家看投影展示.

由圖1可知，當(dāng)10≤x≤30時(shí)，8 000≤y≤9 000，所以單件產(chǎn)品定價(jià)為60元至80元時(shí)，日利潤不少于8 000元.

然后，教者開始講授其他新課內(nèi)容了．

2 課后師生交流，檢測(cè)反饋分析

這道例題的教學(xué)，看似讓學(xué)生理解了解法，也充分展示和暴露了學(xué)生的思維過程，但這樣的講法只是徒有其表，尤其是第（3）問的講解只是教師展示了答案，并強(qiáng)調(diào)了注意點(diǎn)，真正留給學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)思想寥寥無幾.教者依然沒有擺脫題海思維，這樣的例題教學(xué)收效甚微.筆者以為這道數(shù)形結(jié)合題的教學(xué)不太成功，教師沒有深入研究問題，沒有將問題的本質(zhì)充分展示給學(xué)生.這道習(xí)題教學(xué)的意義是什么？學(xué)生的典型錯(cuò)誤在哪里？借助這次講評(píng)，學(xué)生有沒有理解數(shù)形結(jié)合的意義？為此，筆者課后與師生進(jìn)行了充分交流，并重新設(shè)計(jì)了兩道測(cè)試題用來檢測(cè)數(shù)形結(jié)合教學(xué)的質(zhì)效.

2.1 課后與教師的互動(dòng)交流

筆者：您選擇這道題目的目的是什么？

教者：因?yàn)檫@種題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，屬于二次函數(shù)應(yīng)用的熱點(diǎn)，很典型，而且學(xué)生做這類題也有難度，整體的達(dá)成度不高.

筆者：您講評(píng)這道習(xí)題的側(cè)重點(diǎn)在哪？

教者：因?yàn)檫@道題前兩問學(xué)生能解決．但第（3）問很多學(xué)生做不出來，我主要講第（3）問，用數(shù)形結(jié)合方法解決實(shí)際問題.

筆者：您認(rèn)為前兩問學(xué)生的達(dá)成度有多少？

教者：前兩問比較簡單，我沒有具體統(tǒng)計(jì)，學(xué)生的準(zhǔn)確性應(yīng)該還可以吧.

筆者：您認(rèn)為第（3）問的講解學(xué)生聽懂了多少？

教者：我已經(jīng)讓學(xué)生回答，學(xué)生沒答出，因?yàn)閿?shù)形結(jié)合對(duì)于學(xué)生來說是一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生都是用不等式來解決，而初中階段一元二次不等式學(xué)生沒辦法解決，所以給學(xué)生展示了比較完整的解答過程，同時(shí)也進(jìn)行了強(qiáng)調(diào)，應(yīng)該收到了良好的效果.

2.2 課后與部分學(xué)生的交流

筆者：這種題型平時(shí)遇到的多嗎？

學(xué)生（眾人）：經(jīng)常遇到.

筆者：對(duì)于這道題，你們都能聽懂嗎？假如現(xiàn)在再面臨同樣的問題，能熟練求解嗎？

學(xué)生1：前面兩問聽懂了，但是第（3）問的解法不是太明確，以后我再遇到估計(jì)做對(duì)的把握不大．

筆者：第（2）問的結(jié)果老師沒有呈現(xiàn)，你們算出來了嗎？

學(xué)生（眾人）：我也不知道對(duì)不對(duì)，老師說配方，我用的是公式法.

筆者：第（3）問老師不是已經(jīng)完整地展示了解題過程嗎？怎么還會(huì)有疑問呢？

學(xué)生3：我首先想到的是運(yùn)用不等式的知識(shí)來解決問題，至于后面老師為什么要畫圖象，怎么會(huì)想到畫圖象，圖象畫出來怎么用，我還是比較費(fèi)解的.

筆者：你覺得老師設(shè)置的這幾個(gè)問題，關(guān)聯(lián)性與層次性是否明顯？

學(xué)生4：我覺得這三個(gè)問題有一定的關(guān)聯(lián)性，但層次不明顯，之間的跨度有點(diǎn)大，結(jié)構(gòu)不是太合理.

2.3 測(cè)試情況及統(tǒng)計(jì)分析

是否如老師所言，對(duì)于類似的問題學(xué)生能夠熟練求解？如果給出類似的習(xí)題，學(xué)生還能解決嗎？為此，筆者設(shè)計(jì)了兩個(gè)問題用以檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，問題如下：

（1）如圖2，已知二次函數(shù)y1=ax2+bx+c（a≠0）與一次函數(shù)y2=kx+m（k≠0）的圖象相交于點(diǎn)A（-2，4）和B（8，2），則能使y1gt;y2成立的x的取值范圍為.

（2）（2016＼5揚(yáng)州）某電商銷售一款夏季時(shí)裝，進(jìn)價(jià)40元/件，售價(jià)110元/件，每天銷售20件，每銷售一件需繳納電商平臺(tái)推廣費(fèi)用a元（a＞0）．未來30天，這款時(shí)裝將開展“每天降價(jià)1元”的促銷活動(dòng)，即從第1天起每天的單價(jià)均比前一天降1元．通過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該時(shí)裝單價(jià)每降1元，每天銷量增加4件．在這30天內(nèi)，要使每天繳納電商平臺(tái)推廣費(fèi)用后的利潤隨天數(shù)t（t為正整數(shù)）的增大而增大，a的取值范圍應(yīng)為.

兩道檢測(cè)題的統(tǒng)計(jì)分析見表2.

雖然是鄉(xiāng)村薄弱學(xué)校，但是通過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)，學(xué)生檢測(cè)的結(jié)果也太差了，班級(jí)36人參加測(cè)試，兩題全對(duì)的只有1人．由此說明，通過這個(gè)例題的教學(xué)，學(xué)生并沒有真正領(lǐng)悟到如何看圖象，遇到實(shí)際問題還不能夠借助函數(shù)圖象靈活解決問題．

3 教學(xué)思考

（1）關(guān)注學(xué)生的體驗(yàn)，讓學(xué)生在問題中感悟?qū)W習(xí)

學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)是進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的基礎(chǔ)，當(dāng)我們遵循這樣的本質(zhì)規(guī)律，那么新知識(shí)的生長點(diǎn)也就具備了，學(xué)生就會(huì)在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過教師有效的問題對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)有所感悟.在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)抓住這一本質(zhì)，搭建新舊知識(shí)之間的橋梁，借助開啟學(xué)生思維的問題，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)已有知識(shí)，鋪墊好新學(xué)知識(shí).

（2）關(guān)注學(xué)生的能力，讓學(xué)生在問題中探究學(xué)習(xí)

問題是開啟學(xué)生思維的鑰匙，在關(guān)注學(xué)生能力的同時(shí)，教師要設(shè)置有層次性、遞進(jìn)性的問題，由淺入深，由表及里，層層深入，引導(dǎo)學(xué)生抽絲剝繭，使得他們的思維在探究中步步深入，體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂趣.

（3）關(guān)注課堂的輻射，讓學(xué)生在問題中創(chuàng)新學(xué)習(xí)

一節(jié)課給學(xué)生留下的不僅是知識(shí)，更重要的是思想方法.數(shù)學(xué)課堂上，教師要通過數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模，提升學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的素養(yǎng).在實(shí)際操作中訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，讓數(shù)學(xué)即生活的價(jià)值在腦海中自然流淌.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：會(huì)用坐標(biāo)表達(dá)圖形的變化、簡單圖形的性質(zhì)，感悟通過幾何建立直觀、通過代數(shù)得到數(shù)學(xué)表達(dá)的過程.在這樣的過程中，感悟數(shù)形結(jié)合思想，會(huì)用數(shù)形結(jié)合的方法分析和解決問題.可見，感悟數(shù)形結(jié)合思想，會(huì)用數(shù)形結(jié)合的方法分析和解決問題是新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求.為此，教師要通過具體現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從幾何的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，進(jìn)而學(xué)會(huì)用幾何直觀和邏輯推理思想去解決問題，切實(shí)實(shí)現(xiàn)利用問題驅(qū)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生深度參與課堂，進(jìn)而提升核心素養(yǎng)的培養(yǎng).