方程與不等式代數(shù)綜合推理題的剖析

一元一次方程與一元一次不等式是初中代數(shù)最基礎(chǔ)的知識(shí)，學(xué)生一般對(duì)它們的解法都能夠熟練掌握，但將二者結(jié)合后，情況就不盡如人意了．下面結(jié)合實(shí)例，剖析一次方程與不等式綜合的代數(shù)推理題的解法．

1 求取值范圍

例1" （1）已知x-y＝4，且x＞3，y＜1，求x＋y的取值范圍．

（2）關(guān)于x，y的方程組3x-y=2a-5，x+2y=3a+3的解都是正數(shù)，若a-b＝4且b＜2，求a＋b的取值范圍．

解：（1）法一.設(shè)x＋y＝a，則x-y=4，x+y=a.

解方程組，得x＝a+42，y＝a-42.

由x＞3，y＜1，得a+42＞3，a-42＜1.

解得2＜a＜6，所以2＜x＋y＜6．

法二：由x-y＝4，得x＝4＋y.

由x＞3，可得4＋y＞3，則

y＞-1.又y＜1，所以-1＜y＜1.

同理，可得3＜x＜5.

所以2＜x＋y＜6．

（2）解方程組3x-y=2a-5，x+2y=3a+3，得x=a-1，y=a+2.

又x＞0，y＞0，，所以a-1＞0，a+2＞0，解得a＞1.

由a-b＝4，a＞1，得a＝b＋4＞1，所以b＞-3.

所以a＋b＞-2.

由a-b＝4，得a＋b＝2b＋（a-b）＝2b＋4，又b＜2，

所以a＋b＜8.

綜上，-2＜a＋b＜8．

點(diǎn)評(píng)：第（1）問，“法一”增設(shè)變量，建立并解出與x，y有關(guān)的方程組，再根據(jù)條件中x，y的范圍建立并解出不等式組，進(jìn)而求出x＋y的范圍；“法二”通過方程變換主元，建立不等式并求出x，y的范圍，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)求出x＋y的范圍．

第（2）問，先解含參方程組，并根據(jù)“方程組的解是正數(shù)”建立不等式組，再變換已知等式“a-b＝4”確定b的范圍，并反復(fù)運(yùn)用a，b之間的關(guān)系解不等式（組）確定a＋b的上下限，求得結(jié)果．

2 新定義求值

例2" 對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入”到個(gè)位的值記為［x］，即當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時(shí)，若n-12≤x＜n＋12，則［x］＝n.如，［2.9］＝3，［2.4］＝2，……，根據(jù)以上材料，解決下列問題.

（1）填空：114＝，［π］＝；

（2）若［4x＋3］＝2，則x的取值范圍是；

（3）求滿足［x］＝43x-2的所有實(shí)數(shù)x的值．

解：（1）由2.5＜114＜3，3＜π＜3.5，得114＝3，［π］＝3.

（2）因?yàn)椋?x＋3］＝2，所以32≤4x＋3＜52，解得-38≤x＜-18.

（3）設(shè)43x-2＝m，則x＝3m+64，所以可得3m+64＝m，有m-12≤3m+64＜m＋12.

解得4＜m≤8.

又m為非負(fù)整數(shù)，所以m＝5或6或7或8.

故x＝214或x＝6或x＝274或x＝152．

點(diǎn)評(píng)：理解新定義的意義和“四舍五入”的不等式表示方法是解題的關(guān)鍵．第（3）問不但要設(shè)參數(shù)表示43x-2，變換主元，用m表示x，還要根據(jù)對(duì)閱讀材料中［x］的理解，建立并求出與m有關(guān)的不等式（組），得出m的范圍，求得結(jié)果．

3 求代數(shù)最值

例3" （1）已知2x＋y＝2，x≥0，y≥0，試確定4x＋3y的取值范圍．

（2）若設(shè)（1）中的4x＋3y＝m，n＝|m-2|＋|m|，求n的最大值與最小值的差的平方根．

解：（1）由2x＋y＝2，得y＝2-2x.由y≥0，得2-2x≥0，則x≤1．

又x≥0，所以0≤x≤1．

設(shè)m＝4x＋3y，則m＝4x＋3（2-2x），可得m＝6-2x.由

0≤x≤1，得4≤m≤6.

所以4x＋3y的范圍是4≤4x＋3y≤6．

（2）由4≤m≤6，得m-2＞0，m＞0.

所以n＝|m-2|＋|m|＝m-2＋m＝2m-2.又4≤m≤6，

所以n的最大值是10，最小值是6．

故n的最大值與最小值的差的平方根是±2．

點(diǎn)評(píng)：第（1）問，變換主元，確定x為主元，并根據(jù)x≥0，y≥0建立不等式組，求得x的取值范圍；再將待求式轉(zhuǎn)化為含x的代數(shù)式，根據(jù)x的范圍，即可解得4x＋3y的范圍．其實(shí)，也可參照本文“例1”的“法一”解答，同學(xué)們?cè)囋嚳矗?/p>

第（2）問，先確定絕對(duì)值中式子的范圍，再進(jìn)行絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，最后根據(jù)m的范圍求出n的最值，進(jìn)而求得答案．

4 生活實(shí)際問題

例4" （2022·德陽）為發(fā)展特色產(chǎn)業(yè)，紅旗村花費(fèi)4 000元采購了A種樹苗500株，B種樹苗400株，已知B種樹苗單價(jià)是A種樹苗單價(jià)的1.25倍．

（1）求A，B兩種樹苗的單價(jià)分別是多少元？

（2）紅旗村決定再購買同樣的樹苗100株用于補(bǔ)充栽種，其中A種樹苗不多于25株，在單價(jià)不變，總費(fèi)用不超過480元的情況下，共有幾種購買方案？哪種方案費(fèi)用最低？最低費(fèi)用是多少元？

解：（1）設(shè)A種樹苗每株x元，B種樹苗每株y元，則

y=1.25x，500x+400y=4 000，解得x=4，y=5.

答：A種樹苗每株4元，B種樹苗每株5元.

（2）設(shè)再購買A種樹苗a株，則購買B種樹苗（100-a）株.記購買兩種樹苗總費(fèi)用為w元.

由題意，得0≤a≤25，

4a+5（100-a）≤480，

解得20≤a≤25.

又a是整數(shù)，所以a取20，21，22，23，24，25.

因此，共有6種購買方案.

方案一：購買A種樹苗20株，B種樹苗80株.

方案二：購買A種樹苗21株，B種樹苗79株.

方案三：購買A種樹苗22株，B種樹苗78株.

方案四：購買A種樹苗23株，B種樹苗77株.

方案五：購買A種樹苗24株，B種樹苗76株.

方案六：購買A種樹苗25株，B種樹苗75株.

因?yàn)閣＝-a+500，

所以w隨a的增大而減小.當(dāng)a＝25時(shí)，w最小，故第六種方案費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是475元．

答：共有6種購買方案，費(fèi)用最省的購買方案是購買A種樹苗25株，B種樹苗75株，最低費(fèi)用是475元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了在實(shí)際生活中建立數(shù)學(xué)模型、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力與意識(shí)．讀懂題意，根據(jù)題意建立二元一次方程組、一元一次不等式組及一次函數(shù)表達(dá)式，并運(yùn)用它們的性質(zhì)解決問題．解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程組、不等式組以及函數(shù)表達(dá)式，熟悉每種類型模型的性質(zhì)，再進(jìn)行應(yīng)用．

5 求整數(shù)解

例5" 若關(guān)于x，y的方程組x-y=-1，2x+y=m+4的解是非負(fù)數(shù)，關(guān)于t的不等式組t＞m+1，6-2t≥m-4有解，則滿足條件的整數(shù)m的和為（" ）．

A.-18

B.-15

C.-3

D.0

解：x-y=-1，2x+y=m+4，

得x＝m+33，y＝m+63.

又x≥0，y≥0，

所以m+33≥0，m+63≥0，則m≥-3.

由t＞m+1，6-2t≥m-4，

得m＋1＜t≤-m2＋5.又此不等式組有解，則m＋1＜-m2＋5，

解得m＜83.

所以-3≤m＜83，則

滿足條件的整數(shù)m的值是-3，-2，-1，0，1，2.

又-3-2-1＋0＋1＋2＝-3，故選：C．

點(diǎn)評(píng)：求解含參不等式組與含參方程組是初中代數(shù)中的典型問題.本題需運(yùn)用方程組的解為非負(fù)數(shù)、不等式組有解的條件建立不等式組，并解出不等式組，進(jìn)行綜合對(duì)比，得出符合條件的m值．

一元一次方程與一元一次不等式相結(jié)合的代數(shù)推理問題，一般有一定的綜合性與層次性．解題時(shí)要讀懂題意，用數(shù)學(xué)符號(hào)表述題目的關(guān)鍵信息，對(duì)題設(shè)信息進(jìn)行分析、轉(zhuǎn)化，找出題目中不同量的關(guān)系，運(yùn)用定義、公式、運(yùn)算法則、運(yùn)算律、（不）等式性質(zhì)等得到具體的數(shù)或代數(shù)式的相等（或不等）關(guān)系，再進(jìn)行推理與計(jì)算，實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)，并正確表述．