你遇到過這“尷尬”的一幕嗎？

在講解反比例函數(shù)習(xí)題的過程中，筆者曾兩次遇到“尷尬”的一幕，課堂上有學(xué)生表示：“老師，您的方法太煩了，我有簡便方法.”雖然我硬著頭皮講完，但學(xué)生之后展示的方法確實比我的簡單，作為教師的我都有點汗顏.在之后的章節(jié)測試中，筆者發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生雖然在課堂上對那位同學(xué)的方法贊嘆不已，但最終還是運用了老師講的方法解決問題.這一經(jīng)歷促使筆者深入思考“通性通法”與“特解巧法”的關(guān)系.

1 第一次教學(xué)經(jīng)歷

如圖1，一次函數(shù)y=2x+6與反比例函數(shù)y=kx的圖象交于A，B兩點，與x軸交于點C，A′是點A關(guān)于x軸的對稱點，連接A′B，A′C，若△A′BC的面積為4，則k的值為.

大部分學(xué)生都會通過聯(lián)立方程，求出A，B的坐標(biāo)，思維障礙在于怎樣用所設(shè)的字母表示三角形的邊，因此，筆者順著學(xué)生的思維，重點落腳解決障礙，給出通常的解法.

解法1：如圖2，連接AA′.聯(lián)立y=2x+6，y=kx，整理得2x2+6x-k=0.

設(shè)Aa，ka，Bb，kb，由韋達(dá)定理，得a+b=-3，ab=-k2.

對于y=2x+6，令y=0，得x=-3，則C（-3，0）.

令x=a，得y=ka.因此AA′=2ka.

在△ABA′中，AA′邊上的高為a-b，所以S△A′AB=12·2ka·（a-b）；

在△ACA′中，AA′邊上的高為a+3，所以S△A′AC=12·2ka·（a+3）.

故S△A′BC=S△A′AC-S△A′AB=ka（3+b）=4.

把ka=2a+6代入，得（2a+6）（3+b）=

6（a+b）+2ab+18=-k=4，故k=-4.

本來學(xué)生順著老師的思路，找到了解題的路徑，感覺頗有收獲，但此時一位學(xué)生給出了他的方法，打破了這一氛圍.

解法2：如圖3，連接AA′，交x軸于點H，記一次函數(shù)y=2x+6的圖象與y軸的交點為E，連接EH，AO，A′E.

由反比例的性質(zhì)，可得BC=AE，則S△A′BC=S△A′AE=4.

由點A，A′關(guān)于x軸對稱，得

S△A′AE=2S△HAE.

由AA′平行于y軸，得

S△HAE=S△HAO=12|k|=2.結(jié)合k＜0，解得k=-4.

顯然學(xué)生的解法更加簡單，其他同學(xué)都向他投去欽佩的目光，而對老師的“笨”辦法則頗為不屑.

課后反思：本題的關(guān)鍵是表示△A′BC的面積，筆者講解的方法是設(shè)反比例函數(shù)圖象上點A，B的坐標(biāo)，用點A，B，C的橫坐標(biāo)表示出三角形的高，用點A的縱坐標(biāo)表示三角形的底，再利用面積公式求出三角形面積，進而結(jié)合題意建立等量關(guān)系，利用函數(shù)與方程的知識求出k的值.

學(xué)生的解法首先立足模型“如圖4，任意的直線與反比例函數(shù)圖象相交，都有BC=AE”，再運用“同（等）底等高的兩個三角形面積相等”的性質(zhì)來解題，最后利用k的幾何意義求值.這里用到了轉(zhuǎn)化的思想.

2 第二次教學(xué)經(jīng)歷

如圖5，四邊形ABCD的頂點B，D在反比例函數(shù)y=k1x（k1＞0）的圖象上，A，C兩點在反比例函數(shù)y=k2x（k2＜0）的圖象上，AD與BC都平行于x軸

，AD＝2BC，S△BCD=6，則k1-k2的值為.

學(xué)生會設(shè)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)，但是不會用所設(shè)的點表示其他的點，因此筆者講解了如下的方法.

解法1：如圖6，過點D作DE⊥BC交BC于點E，設(shè)點B的坐標(biāo)為a，k1a，點A的坐標(biāo)為b，k2b.

因為AD與BC都平行于x軸，所以點D的坐標(biāo)為bk1k2，k2b，點C的坐標(biāo)為ak2k1，k1a.

因此DA=bk1k2-b，CB=ak2k1-a.又AD＝2BC，所以bk1k2-b=2ak2k1-a，

整理得b=-2ak2k1，則DE=k2b-k1a=-3k12a.

因此S△BCD=12BC·DE

=12ak2k1-a-3k12a=34（k1-k2）=6，

解得k1-k2=8.故填答案：8.

某學(xué)生給出的方法如下：

解法2：如圖7，連接AO，DO，BO，CO.設(shè)AD與y軸交于點H，BC與y軸交于點G，則

S△AOD=S△AOH+S△HOD=k12-k22，

S△BOC=S△COG+S△BOG=k12-k22.

所以S△AOD=S△BOC=k12-k22.又

AD=2BC，所以

OH=12OG，則S△AOD=13S△ABD.

由AD＝2BC，得S△BCD=12S△ABD=6，所以S△ABD=12，于是S△AOD=4.

因此k12-k22=4，解得k1-k2=8.

課后反思：筆者講解的方法是典型的坐標(biāo)法，用坐標(biāo)表示三角形的底和高，再利用面積公式列出方程.坐標(biāo)法是解決反比例函數(shù)問題的通用方法，所設(shè)坐標(biāo)的點要有利于表示其他有用的點的坐標(biāo).在設(shè)點的坐標(biāo)時，可以設(shè)橫坐標(biāo)，也可以設(shè)縱坐標(biāo)，可以同時設(shè)出橫、縱坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示線段的長，找到恰當(dāng)?shù)牡攘筷P(guān)系建立關(guān)于面積的方程.

學(xué)生的解法首先立足模型“如圖8，兩支不同的雙曲線y=k1x（k1gt;0，xgt;0），y=k2x（k2lt;0，xlt;0）構(gòu)成的三角形面積為S△OAB=k1-k22”，再根據(jù)面積一定的三角形底和高的比例關(guān)系求解.解題中，建模是關(guān)鍵.

3 關(guān)于通性通法與特解巧法的思考

3.1 通性通法是基礎(chǔ)

通性通法是解決問題的普適方法，簡單來說，就是指數(shù)學(xué)的主要性質(zhì)與主要思想方法，是延伸性、輻射性較強的數(shù)學(xué)知識與思想方法.“通”指數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)方法中最重要、最通用的東西.例如，求反比例函數(shù)比例系數(shù)k的值，一般有兩種通法：（1）求出圖象上的點的坐標(biāo)，再運用待定系數(shù)法求k值；（2）設(shè)特殊點的坐標(biāo)，進而表示出其他有用的點的坐標(biāo)，再尋找等量關(guān)系建立方程求k值.通性通法易于理解、掌握，但有時過程繁瑣，除嚴(yán)謹(jǐn)、仔細(xì)的態(tài)度外，還需具備一定的運算能力、推理能力、思維能力和綜合能力.

3.2 特解巧法靠積累

特解巧法是指針對某個具體問題的結(jié)構(gòu)特征，觸類旁通地運用所學(xué)知識，通過一定的發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維而獲得的特殊方法.這種方法適應(yīng)面比較窄，理解的人覺得非常簡單，不理解的人甚至不得其門而入，它著眼于提升和創(chuàng)新.平時在反比例函數(shù)的教學(xué)中挖掘并補充的很多知識，比如，圖4、圖8的模型等，利用這些知識點解決問題就是特解巧法，一般比通性通法方便.關(guān)鍵在于平時積累，形成知識網(wǎng)絡(luò)，并能靈活匹配.

當(dāng)今數(shù)學(xué)教學(xué)的主導(dǎo)精神是科學(xué)化、體系化，通性通法自然被視為解題的首選，但若只要求學(xué)生學(xué)習(xí)通性通法，一定程度會限制他們的創(chuàng)造力和個人表達(dá)的空間；而寄希望于向?qū)W生灌輸解題技巧，鋌而走險追求需要苛刻的天資才能支撐起來的創(chuàng)造性思維，則有悖可靠性的原則.只有兼顧通解和巧解，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能得到更好的發(fā)展.二者就像雕刻家手中的兩種工具，通解如同鑿子，用于揭示問題的大致輪廓，巧解如同刻刀，在細(xì)節(jié)的刻畫上更加精確，缺少鑿子和刻刀中任何一個，雕像終究是有缺憾的.