中考數學不同題型解題思路初探

中考是初中學生的第一次人生大考，其重要性不言而喻.在分秒必爭的考場上，要想快速、準確地答好題，取得滿意的成績，除了要具備扎實的基礎知識外，還要選擇合理的解題途徑，掌握一些行之有效的答題方法與技巧.為此，筆者從選擇題、填空題和解答題這三種題型入手，以2022年浙江省杭州市的部分中考試題為例，對中考數學常見的解題思路進行了分析探究，供大家參考.

1 選擇題常見的答題思路與技巧

選擇題在各地市的中考試題中數量多（10題左右）、分值高（30分左右），在中考中占有十分重要的地位.因此，要想在中考中發揮好就必須要答好選擇題.解答選擇題不外乎“直接求解”與“間接解決”兩種思路，具體的答題方法有直接法、驗證法、排除法、數形結合法等.下面以驗證排除法為例進行分析探究.

驗證排除法，即根據已知條件，把分析或計算得出的結果與各選擇支逐一驗證、排除，即可選出符合題意的答案.

例1" （2022·浙江省杭州市中考第5題）如圖1，CD⊥AB于點D，已知∠ABC是鈍角，則（" ）.

A.線段CD是△ABC的AC邊上的高線

B.線段CD是△ABC的AB邊上的高線

C.線段AD是△ABC的BC邊上的高線

D.線段AD是△ABC的AC邊上的高線

解析：因為線段CD是△ABC的AB邊上的高線，

所以A選項錯誤，B選項正確.

因為線段AD是△ACD的CD邊上的高線，

所以C，D選項錯誤.

故應選：B.

思路與技巧：本題考查了對三角形高線定義的準確理解，熟練掌握三角形高線的相關知識是解題的關鍵.解答過程充分展示了理解概念、驗證、排除、數形結合等多種方法綜合運用的技巧.

2 填空題常見的答題思路與技巧

與選擇題相比，填空題缺少選擇支的信息，與解答題相似.雖然不需要解答過程，但解答過程的每一步都要保證準確，一步失誤就會導致全題零分，所以難度較大.但由于填空題常用來考查基本概念、基本運算，大多能在課本中找到原型或背景，所以解題的思路可以參照選擇題與解答題，在“觀察、理解、分析、轉化”思想的指導下，根據填空題題干的具體要求，分析隱含條件，謹慎作答.下面以數形結合法為例，進行分析探究.

數形結合法適用于具有明顯幾何特征的填空題.借助圖形進行直觀分析，再輔以簡單運算即可得出正確答案.

例2" （2022·浙江省杭州市中考模擬沖刺試題第16題）在等腰直角三角形ABC中，已知∠ABC=90°，P是△ABC內一點，使PA=11，PB=6，PC=7，則邊AC的長為．

解析：如圖2，將△CPB繞點B逆時針旋轉90°得△AEB，連接PE.因為△CPB≌△AEB，

所以AE＝CP＝7，BE＝BP＝6，∠EBP＝90°.

所以∠BEP=∠BPE=45°.

在Rt△PBE中，

由勾股定理，可得PE=62.

在△PEA中，AE2+PE2=AP2，所以△PEA是直角三角形，且∠PEA＝90°，從而∠BEA＝135°.過點A作AQ⊥BE，交BE的延長線于點Q，則∠QEA＝∠QAE＝45°，所以QA=QE=22AE=722，QB=BE+QE=6+722，故AB2=AQ2+BQ2=85+422.

所以AB=85+422.

故AC=2AB=84+852.

思路與技巧：本題考查了解直角三角形問題，解題的技巧表現在根據題意作圖，將抽象、復雜的數量關系形象、直觀地揭示出來，“以形助數”“數形結合”，解題過程中靈活運用了勾股定理.

3 解答題常見的答題思路與技巧

數學中考的三種題型中，解答題的題量雖然比不上選擇題與填空題，但其主要由綜合問題組成，包括計算題、證明題和應用題等，占分比重與難度最大，得分率與失分率也最高，所以熟練掌握答題技巧顯得尤為重要.

答題時，要從已知條件出發，仔細審題，在全面、準確理解題意，深挖其隱含條件的基礎上，運用有關數學知識進行推理、演算或證明，最后達到所要求的目標；同時要將整個解答過程條理清晰、完整、邏輯嚴密地陳述清楚.

3.1 構造函數法

函數類綜合題在解答題中屬于高頻考點，解答這類問題的基本思路是，根據問題的條件，通過構造函數，將問題轉化為函數性質的研究，也是一種常用的解題方法.

例3" （2022·浙江省杭州市中考第22題）設二次函數y1=2x2+bx+c（b，c是常數）的圖象與x軸交于A，B兩點.

（1）若A，B兩點的坐標分別為（1，0），（2，0），求函數y1的表達式及其圖象的對稱軸；

（2）若函數y1的表達式可寫成y1=2（x-h）2-2（h是常數）的形式，求b+c的最小值.

解析：（1）易求得y1=2x2-6x+4，其圖象的對稱軸為x=32.（過程略.）

（2）由題意，得y1=2x2-4hx+2h2-2.

因為y1=2x2+bx+c，則b=-4h，c=2h2-2，

所以b+c=2h2-4h-2=2（h-1）2-4，

當h=1時，b+c取得最小值-4.

思路與技巧：本題考查了待定系數法、二次函數的最值與對稱性，要求熟練掌握二次函數的最值，對稱性是解題的關鍵.其中第（1）問只需要利用待定系數法計算即可；第（2）問根據等式的性質，構造b+c關于h的二次函數，即可求出b+c的最值.

3.2 轉化法

這里的轉化法是指運用“數形結合”思想，把幾何問題轉化為代數問題（或把代數問題轉化為幾何問題）來解決.這是一種應用廣泛且有效的間接解題思路.

例4" （2022·浙江省杭州育才中學模擬卷第21題）如圖3，在長方形ABCD中，DC=5 cm，在DC上存在一點E，沿直線AE把△AED折疊，使點D恰好落在BC邊上，設此點為F，若△ABF的面積為30 cm2，求折疊的△ADE的面積.

解析：設DE=x，由S△ABF=30，AB=5，得

BF=12.

由圖形翻折，可知△ADE≌△AFE，所以AF=AD=13，EF=x，則FC=1，EC=5-x.

由勾股定理得x2=（5-x）2+12，解得x=2.6（cm）.

所以S△ADE=12AD·DE=12×13×2.6=16.9（cm2）.

思路與技巧：本題主要考查軸對稱的基本性質、勾股定理、全等三角形等.把幾何問題轉化為代數問題（解方程）是解決此類題型的主要思路.圖形折疊后，需要從折疊中分析出全等形才能充分利用已知條件，而要列出含有未知數的方程，關鍵技巧就在于能否找到等量關系.

3.3 分類討論法

有些數學運算，由于未知數的變化會導致出現不同的結果，因此需要對未知數進行分類討論，才能保證解題的完整.

例5" （2022·浙江省杭州東南中學模擬卷第17題）解方程x2+|x+1|-1=0.

解析：（1）當x+1≥0，即x≥-1時，原方程可化為x2+x+1-1=0，即

x2+x=0，解得x1=0，x2=-1.

（2）當x+1lt;0，即xlt;-1時，原方程可化為x2-（x+1）-1=0，即

x2-x-2=0，解得x1=-1，x2=2.

因為xlt;-1，所以x1=-1.

綜上所述，原方程的解是x1=0或x2=-1.

思路與技巧：本題考查絕對值方程的解法.解答這類問題的思路是把含有絕對值的方程轉化為一般方程，即去掉絕對值符號，將其變為不含絕對值符號的方程再求解.因此，根據絕對值的定義，以x+1≥0與x+1lt;0為標準進行分類討論，最后要注意驗根.

上文中結合實例對中考數學的選擇題、填空題和解答題進行了初步探討，總結了一些常用的解題思路與方法.不同的題型有著不同的答題技巧，當然，這些答題技巧并不是獨立存在的，它們大多是無形地滲透在各類題型的各個解題環節中，憑借這些技巧可以幫助考生適當減少思考與答題的時間，提高準確率.但是，真正有效的答題方法與技巧是建立在扎實的數學基本功之上的，這要靠學生在平時的學習中多練習、勤思考、善總結.因此，教師在教學中要花更多的精力與時間去夯實學生的基礎，引導學生勤奮學習，刻苦鉆研，不斷提高；切不可舍本逐末，單純地把學會幾招臨場技巧當做提高中考成績的救命稻草.