活用輔助線，巧妙建立聯系

在初中數學教學體系中，利用幾何知識解題歷來是一塊“難啃的骨頭”.在這一背景下，學生唯有掌握輔助線的應用技巧，合理構造輔助線，才能構建出全新的條件，掃清解題中的障礙.構建必要的輔助線，不僅能夠揭示圖形的本質，幫助學生更好地探索圖形背后的性質，還可以借助輔助線增強學生的問題分析能力，發展學生的空間觀念等數學核心素養.基于此，結合新課程標準的要求，鑒于學生解題的需求，培養學生構建輔助線的能力已經成為一項重要的教學任務.

1 輔助線在初中幾何解題中的具體應用

針對初中生來說，所學的幾何內容主要涉及三角形、四邊形、圓等基本內容.按照新課程標準的要求，教師在日常教學中應培養學生的幾何直觀意識、幾何推理能力等.因此，在幾何教學中，引導學生運用輔助線解決問題，已經成為一種必然.

1.1 構建分割型輔助線

在解答初中幾何問題時，構建分割型輔助線比較常見.顧名思義，分割型輔助線就是將圖形中已有的兩個點連接起來，借助所作的輔助線，將原來的圖形進行分隔，使其成為新的幾何圖形，并由此產生新的條件，以便于問題求解.

例1" 如圖1所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC，BD=CE，M是AC邊上的中點，求證：DM=ME.

分析：將線段DM與ME置于兩個不同的三角形中，借助三角形全等進行證明.

證明：如圖2，連接BM.

∵AB=BC，

∴∠A=∠C.

又M是AC邊上的中點，

∴AM=BM=MC.

∴∠MBE=∠C=∠A.

∵BD=CE，

∴AD=BE.

∴△MDA≌△MEB（SAS）.

∴DM=ME.

1.2 構建延長型輔助線

延長型輔助線也是初中幾何中最為常見的輔助線類型之一，即將原來圖形中的某一條線段延長，最終形成一個新的圖形，以便于問題解答.通常，這種輔助線應用在特征不甚明顯的幾何題目中，無論是連接兩點，或者作垂線，學生都很難完成解答.此時，就可選擇延長型輔助線，構建出新的圖形，引出新的數量關系.

例2" 如圖3所示，已知AD+BC=2，AB=CD=2，∠A=60°，求四邊形ABCD的面積.

分析：本題無論是連接BD，還是連接AC都難以解答.面對這一現狀，可選擇構建延長型輔助線的方式進行解答.

解：如圖4，延長AD至點E，使得AE=AB，連接BE，BD.

∵∠A=60°，AE=AB，

∴△ABE為等邊三角形.

∴BE=AB=CD=2.

又AD+BC=2，AD+DE=2，

∴BC=DE.

∴△DBC≌△BDE（SSS）.

∴S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD=S△ABD+S△BDE=S△ABE

=3.

1.3 構建平移型輔助線

平移型輔助線在初中幾何解題中也尤為常見.具體來說，平移型輔助線就是在原有的圖形中，針對某條線段展開平移，使其成為輔助線，最終形成新的圖形，并構造出新的條件關系等，以便于更好地解題.

例3" 如圖5，已知直角梯形ABCD，CD∥AB，∠A=90°，AB=12，BC=10，AD=8，求CD的長度.

分析：單純地結合圖形，以及題目中所給出的條件和數量關系，很難求出CD的值.鑒于本題的特征，可采用平移型輔助線的方式求解.

解：

如圖6，過點D作DE∥BC交AB于點E.

又CD∥AB，

∴四邊形CDEB為平行四邊形.

∴CD=BE，BC=ED=10.

在Rt△ADE中，由勾股定理得AE=6.

∴CD=BE=AB-AE=6.

1.4 構建對稱點型輔助線

在初中幾何題目中，對稱點常常是解題的關鍵.當題目中已有的條件無法滿足解題需求時，即可發揮對稱點的價值，以此切入點構建輔助線，進而構建出新的條件和數量關系，最終完成題目的解答.

例4" 已知△ABC為直角三角形，∠C=90°，∠B=30°，D為BC邊上的一個動點，連接AD，如果AC=1，S△ABC=32，求AD+12BD的最小值.

分析：這一題難度較大，若單純依靠題目中的條件，很難求出正確的答案.鑒于此，

可借助對稱點的方式作出輔助線，

將AD+12BD進行轉化.

解：如圖7，作點A關于BC的對稱點A′，過點A′作A′E′⊥AB交AB于點E′，過點D作DE⊥AB交AB于點E，則AD+12BD即AD+ED的最小值為A′E′的長.

∵∠C=90°，AC=1，

S△ABC=12AC·BC=12×1×BC=32，

∴BC=3.

∵∠D′AC=∠A′=∠B=30°，

∴D′C=ACtan 30°=33.

∴BD′=BC-D′C=3-33=233.

∴AD′=BD′=A′D′=233，D′E′=12BD′=33.

∴A′E′=A′D′+D′E′=233+33=3.

∴AD+12BD的最小值為3.

1.5 構建中點型輔助線

在幾何題目中，中點型輔助線也很常見，尤其是當題目中出現了“中線”“中點”等條件時，就可通過三角形、梯形的中位線定理，構建相關的輔助線，最終實現題目的解答.

例5" 如圖8所示，已知E，F分別是線段BC，AD的中點，且AB=CD，直線BA，EF相交于點G，直線CD，EF相交于點H，證明：∠BGE=∠CHE.

分析：由于題目中給出了中點E，F，由此可采用中點型輔助線在原來的圖形中構造出一個新的三角形.

證明：如圖9，連接AC，并取AC上中點P，連接PE，PF.

∵E為BC的中點，

∴PE∥AB，PE=12AB.

同理得，PF∥CD，PF=12CD.

又AB=CD，

∴PE=PF.

∴∠PEF=∠PFE.

∵PE∥AB，

∴∠BGE=∠PEF.

同理，得∠CHE=∠PFE.

∴∠BGE=∠CHE.

綜上所述，輔助線是初中幾何解題的“重要利器”，尤其是當思路不明、條件不夠時，只要作出一條簡單的輔助線，就能順利找到解決問題的“突破口”.同時，掌握輔助線在解題中的應用，也是學生在潛移默化中逐漸形成的.因此，教師在日常教學中，應結合不同類型的題目，引導學生對輔助線進行歸類總結，幫助學生掌握不同類型輔助線的應用條件，以便于在日后做題中，能夠結合不同類型的題目，迅速、正確作出輔助線，最終完成題目的解答.