基于數(shù)與運(yùn)算一致性的小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)探析

汪海龍

摘要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要對(duì)教材中類似的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理，找到其中的相同點(diǎn)或相同的道理，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)體系結(jié)構(gòu)化。分?jǐn)?shù)除法和整數(shù)除法、小數(shù)除法一樣，都是平均分的過(guò)程，雖然教材沒(méi)變，但是教師必須基于數(shù)與運(yùn)算一致性開(kāi)展教學(xué)，以計(jì)數(shù)單位為抓手，促使學(xué)生將整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)除法深層次地聯(lián)系起來(lái)，促進(jìn)知識(shí)體系結(jié)構(gòu)化，提升學(xué)生的思維水平。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)與運(yùn)算一致性；知識(shí)體系結(jié)構(gòu)化

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱“新課標(biāo)”）指出：“在教學(xué)中要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。”這就要求教師對(duì)教材中類似的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理，找到其中的相同點(diǎn)或相同的道理，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)體系結(jié)構(gòu)化。北師大版數(shù)學(xué)教材五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)除法（一）”一課是分?jǐn)?shù)除法的起始課，教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生雖然知道分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算方法是除以一個(gè)不為零的整數(shù)，相當(dāng)于乘以這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)除法可以轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過(guò)的分?jǐn)?shù)乘法進(jìn)行計(jì)算，但是仍然不明白為什么整數(shù)、小數(shù)除法是平均分，而分?jǐn)?shù)除法就不能平均分了，造成了小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)化的障礙。對(duì)此，筆者認(rèn)為，分?jǐn)?shù)除法和整數(shù)除法、小數(shù)除法一樣，都是平均分的過(guò)程，教師必須基于數(shù)與運(yùn)算一致性開(kāi)展教學(xué)，以計(jì)數(shù)單位為抓手，促使學(xué)生將整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)除法深層次地聯(lián)系起來(lái)，形成結(jié)構(gòu)化知識(shí)體系，提升學(xué)生的思維水平。

一、細(xì)分分?jǐn)?shù)單位——掌握分?jǐn)?shù)除法的核心

新課標(biāo)指出：“進(jìn)一步理解計(jì)數(shù)單位對(duì)分?jǐn)?shù)表達(dá)的重要性。”分?jǐn)?shù)單位是分?jǐn)?shù)除法計(jì)算的核心。基于學(xué)生年齡特點(diǎn)，雖然整數(shù)、小數(shù)可以用小棒、計(jì)數(shù)器等直觀模型表示，但是筆者認(rèn)為方格紙（面積模型）可以直觀地將整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系聯(lián)系起來(lái)，即方格紙可以看作“整體1”，基本可以表示小學(xué)范圍內(nèi)的整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)，也可以表示其計(jì)數(shù)單位（分?jǐn)?shù)單位）。方格紙可以表示整數(shù)，也可以把1張方格紙平均分成10份、100份、1000份等表示小數(shù)，還可以把1張方格紙平均分成若干份表示分?jǐn)?shù)。在本課中，教師要用深、用透方格紙，讓學(xué)生經(jīng)歷細(xì)分分?jǐn)?shù)單位的形成過(guò)程，理解細(xì)分分?jǐn)?shù)單位的必要性，進(jìn)而理解整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)除法的數(shù)與運(yùn)算一致性。

本課共有三個(gè)問(wèn)題串，其中第二個(gè)問(wèn)題串涉及分?jǐn)?shù)單位細(xì)分的問(wèn)題，筆者和學(xué)生共同經(jīng)歷教材呈現(xiàn)的兩種思路，注重引導(dǎo)學(xué)生觀察方格紙表示的算式的變化，即分?jǐn)?shù)單位細(xì)分的過(guò)程。

師：按照你們剛才的經(jīng)驗(yàn)試一試，分一分。（學(xué)生操作）

師：分完的同學(xué)和小組同學(xué)說(shuō)一說(shuō)你是怎么分的，發(fā)現(xiàn)了什么問(wèn)題。

師：這道題還能用你們剛才的經(jīng)驗(yàn)做嗎？

師：那么，用畫(huà)圖能求出結(jié)果嗎？誰(shuí)來(lái)講講？

成3份，取其中的一份就可以了。

師：同學(xué)們，你們來(lái)看他畫(huà)的圖，畫(huà)的是多少呢？

師：我聽(tīng)明白了，同學(xué)們聽(tīng)明白了嗎？可是在他的圖上還是不容易看出來(lái)陰影部分是整張紙的幾分之幾，怎么辦？

生：我有辦法，他只把這邊平均分成了3份，要再把另一邊也平均分成3份，不就是把整張紙平均分成相等的部分了嗎？

師：請(qǐng)同學(xué)仔細(xì)回想剛才畫(huà)圖的過(guò)程，我們是怎樣畫(huà)的？（學(xué)生匯報(bào)）

師：這位同學(xué)圖畫(huà)得很規(guī)范，講解得也很清楚，

師：同學(xué)們，我們?cè)谟?jì)算整數(shù)除法和小數(shù)除法時(shí)，如果高位上的數(shù)字或余數(shù)不夠除時(shí)，只需把余數(shù)和后一位的數(shù)相加，轉(zhuǎn)化成低位上的數(shù)就能夠繼續(xù)算下去。通過(guò)剛才的畫(huà)圖，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)當(dāng)分子不能被除數(shù)整除時(shí)，就需要將被除數(shù)的分?jǐn)?shù)單位細(xì)分，分成單位更小的分?jǐn)?shù)。

師：由此可見(jiàn)，整數(shù)除法、小數(shù)除法、分?jǐn)?shù)除法的算理都是相通的，都是平均分的過(guò)程，都是將計(jì)數(shù)單位細(xì)分的過(guò)程，只不過(guò)在分?jǐn)?shù)除法里，計(jì)數(shù)單位是分?jǐn)?shù)單位而已。

在教學(xué)三道題的畫(huà)圖過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了三次分?jǐn)?shù)單位細(xì)分的過(guò)程。本環(huán)節(jié)是本課的核心環(huán)節(jié)，學(xué)生通過(guò)找到新的分?jǐn)?shù)單位，理解了除法計(jì)算的本質(zhì)，感悟到數(shù)與運(yùn)算的一致性，打通了整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)除法的聯(lián)系，在整數(shù)、小數(shù)除法的基礎(chǔ)上出現(xiàn)了新的生長(zhǎng)點(diǎn)，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

二、理解算理，發(fā)現(xiàn)算法——促進(jìn)知識(shí)結(jié)構(gòu)化

除法計(jì)算本身在小學(xué)計(jì)算中是難點(diǎn)，除法的基本算理是當(dāng)大單位不夠分時(shí)，就轉(zhuǎn)化成較小的單位繼續(xù)往下分。因此，教師務(wù)必要把“平均分”講清楚，尤其碰到不夠分的情況時(shí)，必須讓學(xué)生明白其中的道理。算理的理解與算法的選擇是運(yùn)算的重心。算法就是運(yùn)算的方法，解決“怎么算”“知其然”的問(wèn)題。學(xué)生明白了分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算道理后，算法自然迎刃而解。

整數(shù)除法和小數(shù)除法的進(jìn)率都是10，而且都有豎式計(jì)算方法，算理都是如果前一位在平均分時(shí)有余數(shù)，只需要將余數(shù)和后一位數(shù)相加，繼續(xù)平均分即可。但是，分?jǐn)?shù)除法沒(méi)有豎式計(jì)算方法，這就造成一些教師認(rèn)為分?jǐn)?shù)除法和整數(shù)、小數(shù)除法的算理不同，但筆者認(rèn)為分?jǐn)?shù)除法和整數(shù)、小數(shù)除法的算理是一致的。學(xué)生在五年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)單位，知道分?jǐn)?shù)的分母越大，說(shuō)明該分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位越小，也說(shuō)明“整體1”平均分的份數(shù)越多。學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)加減法的時(shí)候同樣知道要把不同分?jǐn)?shù)單位的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為相同分?jǐn)?shù)單位的分?jǐn)?shù)，一般轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)單位較小（分母數(shù)字較大）的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)除法也是同樣的道理，當(dāng)分?jǐn)?shù)不夠分時(shí)，只需要將現(xiàn)有被除數(shù)的分?jǐn)?shù)單位繼續(xù)細(xì)分，分成分?jǐn)?shù)單位較小的分?jǐn)?shù)，再繼續(xù)平均分即可。只不過(guò)分?jǐn)?shù)除法的進(jìn)率不是十，而是與分?jǐn)?shù)單位有關(guān)。在備課時(shí)，筆者注重引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)分?jǐn)?shù)除法算理充分了解的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)除法和分?jǐn)?shù)乘法的關(guān)系，理解算理和發(fā)現(xiàn)算法互為照應(yīng)，促使學(xué)生加深對(duì)分?jǐn)?shù)除法的理解。

師：通過(guò)剛才的畫(huà)圖，我們知道了當(dāng)分?jǐn)?shù)單位不夠分時(shí)，就要細(xì)分分?jǐn)?shù)單位，但是分?jǐn)?shù)除法題千千萬(wàn)，我們不能僅靠畫(huà)圖解決，還有什么好辦法？

師：學(xué)以致用，很棒，還有誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)？

師：怎么樣，有沒(méi)有和你的想法不謀而合？第二道題誰(shuí)來(lái)講一講？

師：你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)所有的分?jǐn)?shù)除以一個(gè)不為零的整數(shù)，都相當(dāng)于乘以這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)。

師：這真是個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)，這個(gè)發(fā)現(xiàn)與分?jǐn)?shù)乘法之間有什么關(guān)系？

生：分?jǐn)?shù)除以不為零的整數(shù)，都可以將除法轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過(guò)的分?jǐn)?shù)乘法進(jìn)行計(jì)算。除以一個(gè)不為零的整數(shù)，相當(dāng)于乘以這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)，也就是整數(shù)分之一。

本環(huán)節(jié)，學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)算法，即除以一個(gè)不為零的整數(shù)，相當(dāng)于乘以這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)。這也是分?jǐn)?shù)除法與分?jǐn)?shù)乘法的聯(lián)系。這么做既提高了學(xué)生的運(yùn)算能力，又發(fā)展了推理意識(shí)。至此，學(xué)生將分?jǐn)?shù)除法與整數(shù)除法、小數(shù)除法、分?jǐn)?shù)乘法都建立起了聯(lián)系，形成了清晰的知識(shí)框架。

三、練習(xí)檢測(cè)，落實(shí)目標(biāo)——注重對(duì)算理過(guò)程的理解

練習(xí)環(huán)節(jié)，筆者依舊緊緊圍繞分?jǐn)?shù)除法的算理、算法、分?jǐn)?shù)單位的細(xì)化，考查學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)除法算理的掌握情況，再次落實(shí)教學(xué)目標(biāo)。

1.把大正方形的面積看作“整體1”，那么陰影部分的面積變化表示為（? ?）÷（? ?）=（? ?）×（? ?）=（? ? ）。

第1題既給了方格圖，也給了列式的提示，幫助學(xué)生梳理分?jǐn)?shù)除法的算理和算法。第2題依托教材中的情境，繼續(xù)考查學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)除法算理、算法的掌握情況，一是看畫(huà)圖是否將分?jǐn)?shù)單位細(xì)分，二是看學(xué)生列式是否將分?jǐn)?shù)除法的算法體現(xiàn)出來(lái)，即是否將分?jǐn)?shù)除法與分?jǐn)?shù)乘法的聯(lián)系體現(xiàn)出來(lái)。第3題將分?jǐn)?shù)除法放在了真實(shí)的情境中，需要學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)信息，畫(huà)圖并解答。第4題是對(duì)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)算理的考查，考查學(xué)生是否真正理解了分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理。以上這四道題都離不開(kāi)用圖來(lái)解釋，目的是讓學(xué)生通過(guò)觀察圖，再次深刻理解分?jǐn)?shù)除法的算理。學(xué)生多次經(jīng)歷被除數(shù)分?jǐn)?shù)單位細(xì)分的過(guò)程和除以一個(gè)整數(shù)，相當(dāng)于乘以這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)的算法過(guò)程，再次提升了數(shù)學(xué)思維。

教師要認(rèn)識(shí)到：即使簡(jiǎn)單的計(jì)算，也是培養(yǎng)學(xué)生思維的良好契機(jī)，在充分理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的計(jì)算同樣能體現(xiàn)學(xué)生的思維水平。這樣，能提升學(xué)生的運(yùn)算能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

［1］董文彬.從運(yùn)算能力走向運(yùn)算素養(yǎng)：關(guān)于運(yùn)算及運(yùn)算教學(xué)的思考［J］.教育科學(xué)論壇，2019（28）.

［2］陳士策.在結(jié)構(gòu)中感悟運(yùn)算的一致性：“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”教學(xué)實(shí)踐與思考［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2023（24）.