善析條件結(jié)論,實現(xiàn)一題多解
——以一道幾何證明題為例

? 西華師范大學(xué) 胡澳麗

1 問題呈現(xiàn)

圖1

求證:BC2+CD2=2BD2.

2 試題分析

該題是初中的一道綜合性幾何證明題,考查的知識點較多,重在培養(yǎng)學(xué)生對知識的掌握以及運用能力,實現(xiàn)對知識的巧妙運用,達到舉一反三的效果.從題目所給條件及結(jié)論入手,可從四個不同的角度對題目進行分析證明.

3 特色解法

視角一：根據(jù)條件AB=AD,利用等腰三角形構(gòu)造旋轉(zhuǎn),形成“手拉手”模型.

證法1：如圖2,將△ADC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)到△ABE,連接CE.

圖2

∴△ADC≌△ABE.

∴△ADB∽△ACE.

又∠ABE=∠ADC,∠BAD+∠BCD=90°,

∴∠EBC=90°.

在Rt△EBC中,由勾股定理,得

BC2+BE2=EC2.

∴BC2+CD2=2BD2.

證法2：如圖3所示,將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到△ADE,連接CE(按證法1步驟同理可得結(jié)論,解答過程略).

圖3

視角二：根據(jù)條件∠BAD+∠BCD=90°,利用互余條件巧構(gòu)直角,尋找特征線段間的數(shù)量關(guān)系.

證法3：如圖4,過點C作線段BC的垂線,截取CE=CD,連接BE,DE.

圖4

∵BC⊥EC,
∠BAD+∠BCD=90°,
AD=AB,DC=EC,

∴△DAB∽△DCE.

∴△ADC∽△BDE.

在Rt△BCE中,由勾股定理,得BC2+EC2=BE2.

∴BC2+CD2=2BD2.

證法4：如圖5,過點A作線段AB的垂線,取點E,使得∠EDA=∠BDC.

圖5

∵EA⊥AB,
∠BAD+∠BCD=90°,

∴∠DAE=∠DCB.

又∠EDA=∠BDC,

∴∠AED=∠CBD.

∴△BCD∽△EAD.

∴△EDB∽△ADC.

∵AD=AB,

∴AE=kBC,AB=kCD,DE=kBD.

在Rt△AEB中,有AE2+AB2=BE2.

代入化簡,得BC2+CD2=2BD2.

證法5：如圖6,分別延長AB,AD至點E和點F,使DF=AD,BE=AB,連接CF,CE,EF,則BD是△AEF的中位線,EF=2BD.

圖6

∴△ABC∽△ACE.

∵∠1+∠2+∠3+∠4=90°,

∴∠1+∠2+∠5+∠6=90°.

∴∠FCE=90°.

由勾股定理,得CE2+CF2=EF2.

∴BC2+CD2=2BD2.

證法6：如圖7,取AC的中點E,連接ED,EB.

圖7

又∠BAC=∠EAB,

∴△BAC∽△EAB.

∵∠BAD+∠DCB=90°,

∴∠EBA+∠EDA+∠BAD=90°.

由三角形內(nèi)角和為180°,得∠BED=90°.

由勾股定理,可得BE2+ED2=BD2.

∴BC2+CD2=2BD2.

證法7：如圖8,過點B作BE⊥BC,使得BE=CD,連接AE,CE.

圖8

在四邊形ABCD中,

∠ADC=270°-∠ABC.

∵∠ABE=270°-∠ABC,

∴∠ADC=∠ABE.

∴△ADC≌△ABE(SAS).

∴∠DAC=∠BAE.

∴∠DAB=∠CAE.

又AD=AB,AC=AE,

∴△ABD∽△AEC.

在Rt△CBE中,由勾股定理,可得

BC2+BE2=CE2.

∴BC2+CD2=2BD2.

4 結(jié)語

對于證明題的作答,學(xué)生首先要認真審題,挖掘題目所涉及的知識點以及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系,體會其中的數(shù)學(xué)思想,把握命題者的出題意圖,從而高效解題.

善于分析題目,巧挖掘條件,從題目中抓重點,嘗試從不同角度解題,實現(xiàn)一題多解.一題多解不僅能擴寬學(xué)生解題思路、提高學(xué)生解決問題的能力,而且能讓學(xué)生體會其中的數(shù)學(xué)思想,發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng).Z