初中數學二次函數解題方法與技巧

? 寧夏回族自治區固原市西吉縣興平鄉中心小學 王建勤

基于中考數學試題的研究可以發現,二次函數的知識點在初中數學試卷中所占比例較大,內容較多,題目較復雜,考題難度較大.特別是二次函數問題經常會在中考壓軸題中出現.下面對有關二次函數的常見題型及解題方法進行總結.

1 解析式問題——找、代、解

在求解二次函數解析式的問題中,教師可以引導學生遵循“找、代、解”的解題思路,解決與二次函數有關的實際問題.

圖1

代:代入到二次函數y=ax2+bx+c(a≠0).

解:進一步求解二次函數解析式.

注:解析式問題需要學生具有較為扎實的二次函數學習基礎.為此,在開展解析式問題教學前,教師可以利用對分課堂教學模式,引導學生梳理二次函數基本知識,提高學生的做題效果和課堂教學效率.

2 動點問題——設、找、論

有關動點問題,主要有x軸上的動點問題、二次函數對稱軸上的動點問題以及拋物線上的動點問題三種情況.求解時,首先假設出動點的坐標,由題干中的隱藏關系找出相應的等式,最后根據情況分類討論,并根據合理性解出正確的結果.

例2已知拋物線y=-2x2+2x+4與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,若P為拋物線第一象限內的一點,設四邊形COBP的面積為S,求S的最大值.

設:設P(n,-2n2+2n+4)(0

圖2

論:當且僅當n=1時,S取得最大值,且最大值為6.

注:動點問題需要學生耐心思考,找出題干中的關系式,這也是二次函數動點問題的重難點所在.為此,教師要引導學生克服解決動點問題時的恐懼心理,運用二次函數動點問題的三部解題法加強訓練.

3 面積問題——找、拆、設

面積問題常以求解三角形面積或四邊形面積的形式出現,主要考查求解三角形面積、求解兩個三角形交點的坐標位置、求解三角形或四邊形面積最大時的動點坐標這三大問題.

例3如圖3所示,在平面直角坐標系中,拋物線y=-x2+5x+6與x軸相交于A,B兩點,與y軸相交于點C,且直線y=x-6過點B,與y軸交于點D,點C與點D關于x軸對稱,已知P是線段OB上的一個動點,過點P作x軸的垂線交拋物線于點M,交直線BD于點N.當△MDB的面積最大時,求點P的坐標.

圖3

根據題干,可以發現本道題在考查面積的基礎上,進一步提出了求點P的坐標.但仍需先求出△MDB面積的最大值,再從中尋找答案.

找:找出△MDB的面積關系.已知在△MDB中,B和D是定點,M是拋物線上的一個動點,可以使用鉛垂模型求解,即線段MN將△MDB分割為有公共底邊的兩個三角形△MND和△MNB.

設:設點P坐標為(m,0),則M(m,-m2+5m+6),N(m,m-6),于是MN=-m2+4m+12,所以

當且僅當m=2時,S△MDB有最大值,且最大值為48,此時點P的坐標為(2,0).

注:教師在開展有關二次函數面積問題題型訓練時,首先要引導學生學習如何找出面積關系.教師可以引導學生復習求面積的方法,如割補法、鉛垂法等,從而提高學生的學習效率[1].其次,利用面積求解方法引導學生靈活解決面積問題.

4 幾何圖形存在性問題——找、解、論

中考有關二次函數幾何圖形存在性問題,主要考查三角形和四邊形的存在性,且以考查特殊三角形和四邊形居多.通常幾何圖形會與面積最值或動點問題搭配考查,靈活性較高,難度較大.

例4如圖4所示,已知二次函數y=x2+2x-3的圖象與x軸相交于點A和B,其中點A的坐標為(-3,0),且過點B作一條直線與拋物線相交于點D(-2,-3).過x軸上的點E(a,0)(點E在點B的右側)作直線EF∥BD,且與該拋物線相交于點F,試分析是否存在實數a,使得四邊形BDFE為平行四邊形?若存在,請求出滿足條件的實數a;若不存在,請說明理由.

圖4

找:根據題干內容,學生能夠輕松求出直線BD的解析式為y=x-1,則直線EF的解析式為y=x-a.根據“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”這一定理可知,若想四邊形BDFE為平行四邊形,只需滿足DF與x軸平行即可.

解:若DF與x軸平行,則點D和點F的縱坐標相等,即點F的縱坐標為-3.而F為直線EF與拋物線的交點,設F的橫坐標為m,根據BE=DF,可得a-1=m+2,即m=a-3,則F(a-3,-3).

論:將F(a-3,-3)代入y=x2+2x-3,可以解出a1=1,a2=3.

當a=1時,點E(1,0)與點B重合,不符合題意,舍去;當a=3時,點E(3,0)符合題意.

所以,當且僅當a=3時,四邊形BDFE為平行四邊形.

注:關于二次函數幾何圖形存在性問題的內容較為豐富,出題方式較為靈活,因此,學生需要加強訓練,把握解決二次函數幾何圖形存在性問題的解題思路,提高解題效率和解題質量.

5 最值問題——設、找、論

最值問題是二次函數的常考題型,最值問題通常與面積問題一同出現.因此,在面對這一問題時,教師可以引導學生運用割補法或鉛垂(鉛垂高,水平寬)法求出幾何圖形的面積,再通過數式關系求出最大值或最小值.

例5如圖5,已知拋物y=ax2-2ax+c經過點C(1,2),與x軸交于A,B兩點,其中A點坐標為(-1,0).

圖5

(1)求拋物線的解析式;

注:最值問題首先需要學生找到目標函數的表達式,然后化簡等式.其次,最值問題需要學生正確計算出數式的答案,保證運算的準確率[2].

綜上所述,初中對二次函數的考查內容雖然靈活復雜[3],但是若學生能夠利用解析式問題、動點問題、面積問題、幾何圖形存在性問題和最值問題的解題方法與解題技巧,并進行適當的訓練,就能提高有關二次函數的解題能力.