反比例函數圖象中的一個基本圖形的應用

? 陜西省安康市高新區第一初級中學 賈 文

1 基本圖形與結論展示

圖1

證明：四邊形OABD的面積S=S△AOC+S梯形ACDB.

從另一角度,四邊形OABD的面積S=S△AOB+S△BOD,而S△AOC=S△BOD,所以S△AOB=S梯形ACDB.

2 運用結論,簡潔明快

2.1 與矩形結合,求點的坐標再運用

圖2

分析：先求出點A的坐標,再求出反比例函數的解析式,那么,點E,F的坐標均可求出,問題便迎刃而解.

解：由D(0,4),B(6,0),知點C的坐標為(6,4).如圖3,過點A作AH⊥OB于點H.

圖3

而CB=4,OB=6,易求得AH=2,OH=3,因此A(3,2).

又xF=6,那么yF=1,因此F(6,1).

點評：解決本題的關鍵在于如何求出點A的坐標,本例運用幾何法作平行線并利用三角形相似求出.如果直接用中點公式求點A坐標,則解法更簡捷,但初中課本未明確給出,部分學生對中點公式比較陌生.

2.2 與平行四邊形聯姻,構造相似運用

圖4

分析：平行四邊形的對邊相等且平行,利用C,D兩點都在反比例函數的圖象上,從點C,D作x軸的垂線,會產生相似三角形,并且可用含有k的式子表示其坐標,再利用本文的基本圖形解決.

解：如圖5,從點C,D分別作x軸的垂線,垂足分別為E,F.

圖5

因為OC∥DA,所以∠COE=∠DAF,∠CEO=∠DFA.

點評：本題運用平行四邊形和中點的條件構造直角三角形相似,用含有參數的式子表示C,D兩點的坐標,根據△COD的面積為6,再利用本文的結論,問題得以快速解決.

2.3 與幾何最值相聯

圖6

分析：觀察題目的圖形,可利用本文的基本結論和已知條件,求出M,N兩點的坐標,那么就轉化為“兩定一動”型問題,根據“將軍飲馬”圖形作其中一個定點的對稱點,轉化為“兩點之間,線段最短”來解決.

圖7

作點M關于x軸的對稱點E,連接NE交x軸于點P,由對稱性知PM=PE,則NP+MP=NP+PE=NE.

由“兩點之間,線段最短”,知NE的長即是PM+PN的最小值.

點評：本題的圖形與“基本結論”中的圖形高度吻合,因此運用基本結論會得心應手.當然,本題的另一解法是分割法,由△OMN的面積等于正方形OCBA的面積減去3個直角三角形(△OCN,△NBM,△OMA)的面積之差,再綜合運用其他條件和所學知識解題.

2.4 與一次函數貫通

圖8

A.6 B.8

C.4 D.6.5

分析：根據已知條件,只要能求出點A、點B的坐標,再利用本文的基本圖形,則問題獲解.

又點A,B都在第一象限,那么b=3a,則B(3a,a).

如圖9,過點A作AC垂直x軸于點C,過點B作BD垂直x軸于點D.由本文的基本結論,可知S梯形ACDB=S△AOB=8.

圖9

故選:A.

點評：本題根據點A、點B在一次函數和反比例函數的圖象上的特點,運用k的不變性建立方程,求得點的橫縱坐標的關系,再運用本文結論解決問題.

2.5 與全等三角形攜手

圖10

分析：要求△OAB的面積,結合本文基本圖形,求出點A、點B的坐標是解題的關鍵.結合等腰直角三角形的條件,構造“一線三垂直”的全等圖形,得出相等的線段,再將點A,B坐標用字母n表示出來,運用反比例函數系數k值的不變性建立方程即可.

解答：略.

在平時的解題基礎上,我們要立足題目的解答,深度思考,挖掘出簡單圖形的豐富內涵,進而借題發揮,通過建立各種圖形與知識的聯系,起到將綜合問題分解、簡化的作用.關注核心知識,關注基本圖形,加強思維引導,將方法、技能落到實處.Z