二次函數綜合性題目的解題方法研究

? 廣東省開平市港口中學 梁玉芳

二次函數是初中數學知識體系的重要構成,依托于數學知識之間的內在聯系,二次函數可以與方程、不等式、二次根式、平面幾何、三角函數等重要的數學知識點融合起來,形成綜合題.同時,由于函數的核心含義是反映兩個變量在某個變化中相互依存的關系,因此也常常與有關動點的分類討論問題相結合,對學生的數學能力、數學思維進行全面、綜合的考查.因此,研究二次函數綜合性題目的解題方法,對于幫助學生掌握解題技巧、培養數學核心素養、提升數學整體理解能力和問題解決能力具有積極的現實意義.

1 二次函數綜合題中交點問題的解法

交點問題通常以二次函數與一次函數,以及二次函數與坐標軸的交點形式出現,交點可能是二次函數與坐標軸、一次函數以及平行于坐標軸的直線的交點.

所以,拋物線的解析式為y=x2-2x-3.

因為C是拋物線與y軸的交點,所以點C的坐標為(0,-3).

綜上,點A,B,C的坐標分別為(-1,0),(3,0),(0,-3),拋物線解析式為y=x2-2x-3.

例1以二次函數為載體,考查二次函數與坐標軸的交點以及二次函數性質,運用待定系數法,結合韋達定理、拋物線的對稱性質以及數形結合思想,即可確定交點坐標和拋物線的解析式.

2 二次函數綜合題中線段和差最值問題的解法

線段和差最值問題的關鍵是二次函數的“動點”問題,“化折為直”是解決此類題型的通用方法[1].線段和差最值問題的題型主要分為單一線段最值問題、兩條線段求和取最小值問題、兩條線段作差取最大值問題、三角形周長最小問題四大類型.

2.1 單一線段最值問題

在單一線段最值問題中,一般會存在兩個動點(點M和點N),分別位于二次函數圖象和一次函數圖象上(如圖1所示),解題的關鍵在于利用函數解析式表示動點的坐標,通過數形結合,判定動點的位置[2].

圖1

2.2 兩條線段求和取最小值問題

兩條線段求和取最小值問題,就是求動點到兩定點距離和的最小值.如圖2所示,在定直線l上找到一點P,使得點P與定點A和定點B的距離之和最小.解決此類問題,可以通過“化折為直”的數學思想方法,借助對稱點,將PA+PB的最小值轉化為線段A′B的長度.

圖2

2.3 兩條線段作差取最大值問題

在兩條線段作差取最大值的問題中,題型通常為求定點與兩動點距離之差的最大值.如圖3所示,在定直線l上找到一點P,使得點P與定點A和定點B的距離PA和PB的差最小.若A,B兩點位于直線l的異側,則需要通過對稱點,將兩定點轉化到直線l的同側,將PA-PB轉化為PA-PB′.當A,B′,P三點不共線時,PA-PB′

圖3

2.4 三角形周長最小問題

三角形周長最小問題是“將軍飲馬”類題型的變形,如圖4,在射線m和n上分別選取動點M和動點N,使之與定點P組成△PMN,使得△PMN的周長最小.此類問題的解法與上述二次函數的綜合性問題的解題方法基本一致,也是通過對稱點轉化后利用“化折為直”的數學思想方法,求三角形周長的最小值[4].

圖4

3 二次函數綜合題中最值問題的解法

最值問題是函數的重要問題,在解決二次函數的最值等綜合性問題時,可以利用數形結合、線性規劃、基本不等式、單調性等知識點簡化問題.

本題屬于變量較多的最值形式,可以從已知條件出發進行變量替換[5].

解析1：通過換元,替換變量b,結合基本不等式進行最值計算.

解析2：通過替換變量c,實現消元的目的,進而使用基本不等式求解最值.

解析3：從所求問題出發進行等價變形,通過對所求式子賦予變量,利用等式替換變量c.

4 結語

二次函數是初中數學知識體系的重要構成,以二次函數為載體的綜合性題目具有知識面廣、靈活性強的特點,考查學生對數學知識的整合和綜合應用能力.解決此類問題需要根據題意,利用二次函數的相關性質和數學思想,選擇適宜的解題方法.在解決與交點相關的二次函數綜合性題目時,可以與方程建立聯系,利用判別式、根與系數的關系等知識點,將函數問題轉化為方程問題;在解決與線段和差的最值相關的二次函數綜合性題目時,可以運用“化折為直”的數學思想,通過軸對稱變換、旋轉變換、平移變換、構建特殊圖形等方式將“折”轉化為“直”,進而解決數學問題;在解決二次函數綜合性題目中的最值問題時,可以運用數形結合思想和換元法,整合線性規劃、基本不等式、單調性等知識簡化問題.因此,教師在日常教學中,不僅需要向學生傳授知識,還應有計劃地結合教學內容和學生實際情況,總結解題規律,向學生傳授解決數學問題的方法,以此提高學生的解題效率.