挖掘特征尋突破 巧解壓軸促創(chuàng)新

? 西安交通大學(xué)蘇州附屬初級(jí)中學(xué) 馮 麗

數(shù)學(xué)變換方法是研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采取迂回手段達(dá)到目的的一種方法,也是進(jìn)行理性思維的有效手段.由于數(shù)學(xué)變換方法具有抽象性、邏輯性和辯證性等特性,所以在學(xué)科研究的各個(gè)領(lǐng)域得到了充分的運(yùn)用.常見(jiàn)的圖形變換主要有平移、翻折、旋轉(zhuǎn)和相似等,巧抓問(wèn)題突顯的特征,利用數(shù)學(xué)變換進(jìn)行突破,是解答數(shù)學(xué)中考?jí)狠S題的常用手段.

1 抓住“最值”,用平移突破

在解決涉及二次函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí),常常會(huì)出現(xiàn)幾何圖形面積最值的問(wèn)題.如何確定動(dòng)點(diǎn)的位置,是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵所在,也是難點(diǎn)之處.解決此類問(wèn)題常常利用函數(shù)圖象中的“最值”問(wèn)題,考慮使用平移變換,化動(dòng)為靜,達(dá)到解題的目的.

圖1

圖2

2 抓住“特殊角”,構(gòu)造相似(或全等)突破

在解決一些平面幾何壓軸題時(shí),問(wèn)題中往往會(huì)出現(xiàn)一些比較特殊的角度,如45°,60°或者135°,我們需要根據(jù)具體的條件將這些角進(jìn)行轉(zhuǎn)化,從而形成特殊的圖形,便于解答問(wèn)題.

例2如圖3,已知AC,BD為四邊形ABCD的對(duì)角線,BC=2,CD=2AC,∠DCA=60°,∠DAB=135°,試求線段BD長(zhǎng)度的最大值.

圖3

閱讀題目,發(fā)現(xiàn)有特殊角135°,通常情況下出現(xiàn)135°要么將其分成90°和45°,要么將其鄰補(bǔ)角補(bǔ)充出來(lái).針對(duì)本題又該如何處理呢?根據(jù)題意可判斷∠DAC=90°,而B(niǎo)C長(zhǎng)又為定值,由此判斷點(diǎn)A的軌跡是圓,于是找到解決問(wèn)題的突破口.如圖4,取△ACB的外心O,同時(shí)構(gòu)造△EDC∽△OAC,從而找到定長(zhǎng)的折線段D-E-O-B.當(dāng)點(diǎn)D,E,O,B共線時(shí),BD取得最大值[1].

圖4

再如,在正方形ABCD中,點(diǎn)E在邊BC上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)F在邊DC或CB上運(yùn)動(dòng).如圖5,若點(diǎn)F在邊DC上,已知∠EAF=45°,連接EF,求證:EF=BE+DF.

圖5

該問(wèn)題中出現(xiàn)的特殊角為45°,動(dòng)態(tài)的45°很難為我們所用,此時(shí)可以考慮通過(guò)構(gòu)造全等三角形進(jìn)行解答.如圖6所示,延長(zhǎng)CD至點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG,可證明得到△ADG≌△ABE(SAS),從而容易得出結(jié)論.

圖6

3 抓住“模型”,用旋轉(zhuǎn)突破

在解決一些動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的過(guò)程中,有時(shí)很難直接通過(guò)計(jì)算解答,需要認(rèn)真研究動(dòng)點(diǎn)存在的軌跡,確定“模型”,如“隱圓”“胡不歸”“阿氏圓”等,從模型特點(diǎn)入手建立等量關(guān)系即可得到答案[2].

圖7

根據(jù)題意,首先確定點(diǎn)B′的位置是最關(guān)鍵的.在動(dòng)態(tài)問(wèn)題中找到不動(dòng)的條件,發(fā)現(xiàn)BE的長(zhǎng)度沒(méi)有變化,故可以判斷題目中存在“隱圓”模型,即點(diǎn)B′在以點(diǎn)E為圓心,以BE為半徑的圓上,再判斷出點(diǎn)G在點(diǎn)A右側(cè)過(guò)點(diǎn)A與AD垂直且等長(zhǎng)的線段上,進(jìn)而得出EF最大時(shí),B′G最小,即可求出答案.整個(gè)問(wèn)題在處理上首先確定兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)存在的位置,建立模型,從而順利解答.

4 抓住“規(guī)律”,用歸納突破

在日常教學(xué)中,我們經(jīng)常會(huì)遇到一些比較繁雜的問(wèn)題,這類問(wèn)題不能僅通過(guò)計(jì)算得到答案,往往需要通過(guò)觀察、分析、歸納、概括、演算、判斷等一系列探究活動(dòng),才能得到問(wèn)題的結(jié)論,這類問(wèn)題也就是我們常說(shuō)的“規(guī)律探究”問(wèn)題.這類問(wèn)題,因其獨(dú)特的規(guī)律性和探究性,重點(diǎn)考查學(xué)生的分析與歸納能力[3].

圖8

規(guī)律性探究問(wèn)題常常是由特殊結(jié)論推出一般性結(jié)論的合情推理,它對(duì)思維能力的要求比較高,包括觀察、實(shí)驗(yàn)、類比、想象、猜測(cè)及驗(yàn)證等思維形式.有些問(wèn)題有時(shí)候較難用數(shù)學(xué)語(yǔ)言精準(zhǔn)說(shuō)明推理進(jìn)程,在很大程度上依賴于不完全歸納法,對(duì)能力的要求較高[4].

5 抓住“一般性”,用特殊值突破

在遇到一些整式求值問(wèn)題時(shí),由于涉及到的單項(xiàng)式具有普遍性,因此在求值過(guò)程中可以考慮其“一般性”的特點(diǎn),借助特殊值來(lái)突破.這種方法常常在填空題或者選擇題中用到,為解題帶來(lái)意想不到的效果.這類問(wèn)題也考查了學(xué)生的特質(zhì)思維能力.

例5如圖9,有一束光線從左側(cè)射入后經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,1),恰好射到x軸上的一點(diǎn)B(2,0),反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(a,b),求a-4b的值．

圖9

針對(duì)此類問(wèn)題,常規(guī)上根據(jù)反射性質(zhì),分別從點(diǎn)A、點(diǎn)C作垂線AG,CF(如圖10),構(gòu)造△AGB∽△CFB,結(jié)合比例線段求解.但是考慮到C是反射線BC上的任意一點(diǎn),那么這點(diǎn)的橫坐標(biāo)a和縱坐標(biāo)b一定滿足同一個(gè)表達(dá)式.既然如此,那么點(diǎn)B的坐標(biāo)也滿足此條件,故將特殊點(diǎn)B(2,0)代入求值即可得到答案.

圖10

從上面幾個(gè)方面可以看出,抓住圖形的“特征”來(lái)解決問(wèn)題,要緊扣圖形特點(diǎn),將給定的圖形或已知條件進(jìn)行集中轉(zhuǎn)化,形成簡(jiǎn)單易解的情形,并運(yùn)用它們的性質(zhì)展現(xiàn)圖形的內(nèi)涵與本質(zhì)屬性,將未知轉(zhuǎn)化為已知,把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單、易操作的問(wèn)題,從而可以體會(huì)到數(shù)學(xué)的美妙意境.