經(jīng)歷推理過程,培養(yǎng)代數(shù)推理能力

? 江蘇省啟東市百杏中學(xué) 蔡楊琴

作為數(shù)學(xué)基本思維方式之一,推理對于人們的學(xué)習(xí)與生活具有十分重要的意義和價值.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提出將推理能力的發(fā)展貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程之中.這就需要教師將發(fā)展學(xué)生的推理能力置于首位.然而我們在實際教學(xué)中可以發(fā)現(xiàn),學(xué)生推理能力的發(fā)展并未貫穿學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終,一些教師在幾何教學(xué)中常常加以滲透和培養(yǎng),但對代數(shù)推理卻知之甚少,更不要說貫穿于代數(shù)教學(xué)的始終.筆者多番查閱資料,認(rèn)為代數(shù)推理就是解決代數(shù)問題時的推理方法,而初中代數(shù)推理就是將代數(shù)式變形為特定目標(biāo)或用代數(shù)的方法予以證明.簡言之,代數(shù)推理就是由已知推理出一個關(guān)系或結(jié)果,又或是對關(guān)系或結(jié)果進(jìn)行證明或說理的過程.因此,在代數(shù)教學(xué)中,教師要不失時機地對學(xué)生滲透代數(shù)推理,讓學(xué)生真切感受到推理的過程,積累代數(shù)推理經(jīng)驗,提升自身的核心素養(yǎng)[1].在課堂教學(xué)中如何讓學(xué)生深刻感受抽象的代數(shù)推理過程呢?筆者以一節(jié)“等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用”的研究課為例進(jìn)行了嘗試.

1 教學(xué)過程

問題1試著回憶并描述等式的基本性質(zhì).

追問:你能以符號的形式予以表示嗎?用符號表示有何好處?

說明：通過問題引導(dǎo)學(xué)生回顧“等式的基本性質(zhì)”,并以符號的形式表示,這樣的新課導(dǎo)入是一般性導(dǎo)入方式.此時若教師直入新課,自然無法讓導(dǎo)入環(huán)節(jié)達(dá)到預(yù)期效果.因此,在追問“能否以符號形式予以表示”之后,教師不妨順勢追問“有何好處”,讓學(xué)生體會多種形式表示數(shù)學(xué)知識的方法,切實感悟到“一些概念或法則需要符號來參與運算”的事實.

問題2已知2x-3y=6,你會用含有x的代數(shù)式表示y嗎?

說明：課本上并沒有變式給定等式的類似例題或習(xí)題,那么筆者此處設(shè)計此題的目的是什么呢?一方面是為了給學(xué)生創(chuàng)造運用等式基本性質(zhì)進(jìn)行推理的機會,盡管教材中還沒有出現(xiàn)問題2中所示的含有兩個字母的等式,對于學(xué)生而言也具有較大的難度,不過由于“算理”相同,且變形的思路與依據(jù)相同,因而學(xué)生的推理是有一定依據(jù)且具有價值的;另一方面,這樣的推理過程可以為后續(xù)解二元一次方程組打下基礎(chǔ).顯然,高質(zhì)量的教學(xué)并非對某個知識點的理解和掌握,很多時候是新舊知識的聯(lián)通,讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在關(guān)聯(lián)中變成具有意義.

問題4如圖1,用“●”“█”及“▲”代表3種不同物體,且前2個天平是平衡的狀態(tài).現(xiàn)需在第3個天平的“?”處放置幾個“█”才能使得天平也平衡?為什么?

圖1

說明：以生活情境問題引領(lǐng)學(xué)生深入推理,讓學(xué)生饒有興趣地投入到探索和推理中去,不亦樂乎.在解決這一問題時,學(xué)生在了解題意后首先應(yīng)想到用字母來表示“●”“█”及“▲”的質(zhì)量,這是推理成功的第一步.當(dāng)學(xué)生以a,b,c分別表示“●”“█”“▲”的質(zhì)量時,就是實現(xiàn)了實際問題數(shù)學(xué)化,也就是將問題4提煉為“已知2a=b+c,a+b=c,試求出a+c與多少個b相等?”提煉出問題后,自然是借助等式的基本性質(zhì)變形兩個等式,并獲得a,b,c中的兩個量的關(guān)系.進(jìn)一步地,自然是求解a+c.此求解過程中,涉及多個要素,如一般化、表征、計算、論證等,對學(xué)生代數(shù)推理能力的發(fā)展大有裨益.學(xué)生一步步探究時,雖心存疑惑,但能夠充分體會推理對于數(shù)學(xué)問題的力量,發(fā)展了代數(shù)推理能力.

2 教學(xué)反思

2.1 課堂內(nèi)學(xué)生代數(shù)推理表現(xiàn)如何?

除此之外,學(xué)生在表述代數(shù)推理時也存在一些問題,大抵是由于教材中并未呈現(xiàn)例題范式.倘若教師想要讓學(xué)有余力的學(xué)生“跳一跳摘果子”,以實現(xiàn)低階思維朝著高階思維的轉(zhuǎn)化,可以嘗試創(chuàng)造性地改編或整合例題,為學(xué)生的深度學(xué)習(xí)提供助力.

2.2 需要為學(xué)生代數(shù)推理的基本表達(dá)提供示范嗎?

縱觀整節(jié)課學(xué)生的表現(xiàn)不難看出,學(xué)生不管是在理解代數(shù)推理層面,又或是語言形式或書面陳述都表現(xiàn)出一定的困惑.事實上,推理與語言是密不可分的,一般來說,推理的語言形式常常是一些因果關(guān)系的復(fù)句或句群,例如“因為……所以……”“之所以……是因為”“因此”“由此可見”等.

當(dāng)然,若學(xué)生在具體探究中表現(xiàn)出對“含有兩個字母等式的變形”的困惑或迷茫,教師還可以用“含有一個字母等式的變形”為學(xué)生提供推理上的幫助,如“已知2a+3=5,說明a=1”或“已知a=-2,試說明2a+1=-3”.試想,長此以往,學(xué)生如何不能真正意義上掌握代數(shù)推理的方法?

2.3 是否需要適度拓展利于代數(shù)推理能力發(fā)展的課本例題或習(xí)題?

事實上,教材編寫者并沒有在教材中刻意為學(xué)生代數(shù)推理能力的發(fā)展設(shè)置對應(yīng)題目.倘若教師能適度延伸,對一些學(xué)有余力的學(xué)優(yōu)生而言自然是十分有利的.因此,教師可以從數(shù)學(xué)教學(xué)本身的連續(xù)性、一致性出發(fā),從七年級學(xué)生開始,挖掘課本例題或習(xí)題中的代數(shù)推理能力發(fā)展的因素,抓住時機強化培養(yǎng),從而為后續(xù)的學(xué)習(xí)作足準(zhǔn)備.在本課的教學(xué)中,問題2與問題4就是為后續(xù)教學(xué)作鋪墊.

3 結(jié)束語

將推理能力的培養(yǎng)任務(wù)交給幾何是不當(dāng)?shù)?教師應(yīng)充分挖掘代數(shù)中的推理素材,讓學(xué)生經(jīng)歷代數(shù)推理的過程,以培養(yǎng)學(xué)生的推理能力[2].首先,教師需充分預(yù)設(shè),以學(xué)生易于接受的方式引導(dǎo)學(xué)生推理,并為學(xué)生提供充足的推理時空,循序漸進(jìn)地促進(jìn)學(xué)生推理能力的落地生根;其次,需要創(chuàng)設(shè)多樣化的活動讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)探索的過程,體驗代數(shù)推理的本質(zhì),自然而然地促進(jìn)學(xué)生推理能力的發(fā)展;再次,教師還需適時為學(xué)生提供代數(shù)表達(dá)的推理示范,讓學(xué)生真正掌握代數(shù)推理的方法,加深對代數(shù)推理的領(lǐng)會.當(dāng)然,例題或習(xí)題的有效拓展實際上有利于學(xué)生代數(shù)推理能力的發(fā)展.雖然對初中生來說代數(shù)推理具有一定難度,但日積月累后,就能將其真正融入自身的關(guān)鍵能力之中,提升學(xué)習(xí)力,真正實現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.