滲透數學思想方法 提升學生數學素養
——以“圓周角定理的證明”為例

? 江蘇省泰興市濟川初級中學 張菲菲

圓周角、圓周角定理及其推論是解決圓內有關角的問題的基礎,并為后續學習圓的內接四邊形的角的關系提供前提,是初中數學的重要內容之一.在學習本課內容前,學生已經理解并掌握了圓的基本概念,本課是對圓周角的度數及其所對弧的度數關系的深入探究.在本課教學中,教師從學生已有知識和已有經驗出發,為學生搭建平等、和諧的自主探究環境,并在“有形”的定理證明中滲透“無形”的數學思想方法,讓學生充分感知數學思想方法的價值,提升學生數學綜合素養.筆者結合教學片斷進行說明,以期在教學中重視挖掘和滲透數學思想方法.

1 教學片斷

學習了圓周角的定義后,教師以學生最近發展區為起點,啟發學生自主研究圓周角與圓心角(弧的度數)之間的關系.過程如下:

問題如圖1,在圓O上任取兩點A,B.過圓心O作圓的直徑BC,連接BA,OA,圓心角∠AOC的度數與它所對的弧AC的度數相等.根據這一結論,試探究圓周角∠ABC的度數與它所對的弧存在怎樣的數量關系.

圖1

師:弧AC所對的圓周角有幾個?

生齊聲答:無數個.

師:圖1所示的圓周角∠ABC的兩邊具有怎樣的特點?

生1:其中一條邊BC經過圓心,是圓的直徑.

師:很好,∠ABC的兩邊還有其他情況嗎?

生2:它的兩條邊可能都不經過圓心.

師:大家動手畫一畫,若∠ABC的兩邊都不經過圓心可以怎么畫?

學生動手畫,教師巡視,然后組織學生互動交流,進一步分類.

生3:圓周角∠ABC的兩邊不過圓心時,可以分為兩種情況,即圓心在圓周角∠ABC的內部(如圖2)和圓心在圓周角∠ABC的外部(如圖3).

圖2

圖3

師:很好,大家觀察得非常仔細.這兩種情況下,圓周角∠ABC與弧AC的度數存在怎樣的關系?上述結論是否依然成立?(生沉思.)

師:能否將以上兩種情況轉化為其中一邊過直徑的情況呢?

在教師的啟發和指導下,學生積極思考,很快找到了解決問題的方案.

生4:對于圖2,連接BO并延長,使其交圓O于點D,如圖4.這樣圓周角∠ABC被分解成兩個角,分別為∠ABD和∠CBD,這樣就將問題轉化為圖1所示的情況,即圓周角的一邊過圓心.

圖4

師:非常棒,這樣通過添加輔助線,將問題轉化為我們熟悉的問題.現在你能否得到與圖1相同的結論呢?

師:非常好!對于圖3呢?它是否也可以轉化為圖1的形式,并得到與圖1相同的結論呢?

與圖2的探究方法相類比,學生很快找到了解決問題的方法.

圖5

至此,通過特殊化思想、分類討論思想等數學思想方法的滲透,學生順利得到了結論,促進了知識的深化和思維能力的發展.

2 教學思考

數學教學不僅是知識的講授過程,也是學生能力提升的過程.在日常教學中,為了追求成績,部分教師常常通過講授的方式直接將相關的概念、結論、公式等基礎知識告知學生,讓學生記憶,然后通過大量的練習進行強化.這樣“講授+練習”的方式雖然可以在短時間內提高學生的數學成績,但是不利于學生的長遠發展,有悖于教育的初衷.因此,在日常教學中,教師要創造條件讓學生進行獨立思考和合作交流,引導學生共同探究數學知識背后蘊含的數學思想方法,以此提升學生的學習品質,發展學生數學能力.在圓周角定理的證明中,教師從學生最近發展區出發,重視數學思想方法的滲透,促進了學生學習能力的提升.現將其中所蘊含的思想方法進行梳理,以期引發共鳴.

2.1 分類討論思想

在遇到一些復雜的問題時,可以按照一定的標準把要研究的問題分為幾類或幾種情況進行討論,以此化整為零,各個突破.

圓周角定理揭示的是一條弧所對的圓周角與圓心角的大小關系,而一條弧所對的圓周角與圓心存在三種不同的位置關系,分別為圓心在圓周角的一條邊上,圓心在圓周角內部和圓心在圓周角外部,因此證明定理的過程中需要分三種情況討論.對于該定理的證明,若僅有一種或兩種情況成立并不能證明該結論成立,因此需要“分而治之”,逐一證明.

2.2 特殊化思想

所謂特殊化,就是先將一些不易于理解和接受的一般性問題轉化為特殊問題,以此借助特殊情形找到解決問題的突破口,然后逐漸將問題推廣至一般情況,進而發現一般規律,得到一般結論.

2.3 化歸思想

數學問題是靈活多變的,但其中往往蘊含著一定的規律.在研究一些復雜、陌生的問題時,應引導學生將它們轉化為簡單、熟悉的問題,從而將新問題轉化為已經學過的問題來解決,以此快速找到解決問題的突破口,提高解題效率.

例如,在研究圖2和圖3時,教師啟發學生向已解決的圖1的形式轉化.這樣在明確的目標指引下,學生通過添加輔助線,將圓心在圓周角內和圓心在圓周角外的兩種情況轉化為其中一條邊過圓心的情況,進而利用已有經驗解決問題.其實,化歸思想在解題中是非常常見且應用非常廣泛,如在解決方程問題時,有時候需要將多元化為一元,將高次化為低次.在日常教學中,教師不要急于給出結論,應嘗試引導學生將陌生的、難以解決的問題向熟悉的、易于理解的問題轉化,以此借助已有經驗高效解決問題.

2.4 類比思想

在數學教學中,在研究一些相似或相關的問題時,可以有意識地引導學生將這些相似或相關的內容相類比,從而推測結論相似或解法相似,以此提升學生數學能力.

例如,在分析圖3時,啟發學生與探究圖2的經驗相類比,從而得到直徑BF,借助解決圖1和圖2的經驗解決問題.其實,許多結論的得出和問題的解決都需要運用類比思想.如,在研究平行四邊形的判定和性質時,一般會與矩形、菱形、正方形的相關知識相類比;又如,在學習三角形相似的判定定理時,會與全等三角形的判定定理相類比.教學過程中,教師要有意識地引導學生根據已有結論去推測相似的未知結論,以此拓寬學生視野,培養學生創新意識.

總之,在數學教學中,教師要重視引導挖掘知識背后的數學思想方法,充分發揮教育的育人功能,提高學生的認知能力,發展學生數學素養.Z