運用變式教學促進深度學習
——以一類“正方形問題”為例

? 江蘇省江陰市敔山灣實驗學校 劉 軍

1 問題呈現

例1如圖1所示,在正方形ABCD中,G是BC邊上的任意一點,DE⊥AG,垂足為E,BF∥DE,且交AG于點F.

圖1

求證:AF-BF=EF.

例1是“正方形”一課的課后習題,該題是一道典型習題,涉及的知識點較多,可以很好地考查學生知識的遷移、重組能力,促使學生直觀想象和邏輯推理等素養的提升.

八年級的學生已經擁有一定的知識儲備,具有一定的分析和解決問題的能力,也具有一定的邏輯推理能力,這些知識、經驗、能力等為進一步的思考與探究創造了條件.在本題教學中,教師要充分發揮典型習題的作用,通過變式引領學生體會“趙爽弦圖”的運用,充分挖掘蘊含其中的規律、方法,提升學生數學抽象、數學建模、邏輯推理等素養,培養學生勤于思考、樂于探索的良好學習習慣.

2 問題探究

根據已知條件不難發現,將不在同一直線上的線段轉化到同一直線上是解決本題的關鍵.教學過程中,教師不要急于呈現解題過程,應預留充足的時間讓學生思考與交流,引導學生從“看”“想”“得”三方面進行深層次的探究(如圖2).通過對已知條件和結論的深度剖析后,教師要啟發學生關注在同一直線上的線段AF和EF的關系.結合圖1不難發現,EF=AF-AE,而結論為AF-BF=EF,這樣只要證明AE=BF,問題即可迎刃而解.這樣通過證明△ABF≌△DAE,找到線段之間的數量關系,問題順利獲證.

圖2

這樣通過深入分析,學生形成解題思路后,教師還應預留時間讓學生將問題解決到底,以此規范解答,加強學生邏輯關系描述的準確性.在講解例1后,教師可以引導學生將圖1中的弦圖補充完整,由此發現小正方形的邊長為Rt△DAE的兩條直角邊的差,為接下來的變式探究作鋪墊.

3 問題變式

為了進一步探究蘊含其中的數量關系,教師基于基本學情對題目進行改編,從而將一道題推廣至一類題,讓學生通過由特殊到一般的深入探究掌握問題的本質,提高分析和解決問題的能力.

變式1如圖1,在正方形ABCD中,G是BC邊上的任意一點,DE⊥AG,垂足為E,BF∥DE,且交AG于點F.請直接寫出DE,BF,EF存在的數量關系.

問題給出后,預留時間讓學生思考、交流,教師巡視,并在合適的時機進行適度的啟發和引導.學生通過深入探究,得到如下結論:

(1)如圖1,當點G在線段BC上時,DE-BF=EF.

(2)如圖3,當點G與點C重合時,DE=BF,EF=0;如圖4,當點G在BC延長線時,BF-DE=EF.

圖3

圖4

(3)如圖5,當點G與B重合時,DE=EF,BF=0;如圖6,當點G在CB延長線上時,DE+BF=EF.

圖5

圖6

這樣通過深度學習,有效發散了學生的數學思維,培養了學生分類討論素養,激發了學生的探究欲.

變式2例1中的已知條件不變,結論改為“求線段EF的取值范圍”.

結合變式1可知,當點G與點C重合時,EF=0,此時EF最小;當點G點B重合時,此時EF的長度等于正方形的邊長.接下來教師展示圖7,讓學生直觀感知隨著點G位置的變化,EF的長度隨之變化,滲透函數思想,從而為接下來研究“一次函數”作鋪墊.

圖7

這樣通過對教材問題的拓展研究,既有效溝通了全等三角形的相關知識,又讓學生在由內弦圖到外弦圖的變化過程中形成新想法、新思路,充分感知“趙爽弦圖”的變化之美.同時,在拓展延伸中讓學生初步感受函數思想,充分感知知識間的內在聯系,促進學生知識體系的建構和數學素養的提升.

4 問題推廣

思考如圖8所示,當四邊形ABCD是正方形時,則EF=AF-BF.如圖9,△ABC是正三角形,其中∠1=∠2,那么AF,BF,EF存在怎樣的數量關系?如圖10,若將正三角形變為正五邊形,∠1=∠2,此時AF,BF,EF存在怎樣的數量關系呢?

圖8

圖9

圖10

教學過程中,教師在原有基礎上進一步推廣,將正方形背景下線段的數量關系推廣至正三角形和正五邊形中,讓學生充分體會探究方法的一致性,引導學生歸納總結解決此類問題的方法,逐步幫助學生建構“一線三等角”模型,提高學生數學抽象和數學建模素養.

5 遷移應用

談起中考試題,很多學生會用“新”“難”來概括,然深入探究不難發現,有些題實則是教材原題,學生之所以感覺“新”“難”,是因為在平時教學中對教材內容的理解不夠深刻、全面,因此略有變化就感覺無從入手.其實,中考試題中時常會出現基本圖形的變化一類問題,而這類問題往往與“趙爽弦圖”密切相關.因此,在課堂教學中,教師應重視引導學生歸類,讓學生在變化中體會不變的本質,提高綜合解題能力.

例2如圖11所示,四邊形ABCD是邊長為6 cm的正方形,點E,F,G,H分別從點A,B,C,D同時出發,以1 cm/s的速度向B,C,D,A勻速運動,當點E達到點B時,四點同時停止運動.問點E運動幾秒時,四邊形EFGH面積取最小值?其最小值為何值?

圖11

分析：由題意可知,△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,根據已知條件可用含t的代數式表示AE與AH的長,由此得到關于t的二次函數,然后根據二次函數的性質可以求得當點E運動3 s時,四邊形EFGH的面積最小,且最小值為18 cm2.

例3如圖12所示,在正方形ABCD中,點E在邊CD上,AQ⊥BE,垂足為Q,DP⊥AQ,垂足為P.

圖12

(1)求證:AP=BQ;

(2)在不添加輔助線的情況下,圖中各線段蘊含怎樣的數量關系?

分析：學生結合已有經驗易證△ABQ≌△DAP,問題(1)獲證.對于問題(2),根據研究弦圖的經驗易得AQ-AP=PQ,AQ-BQ=PQ,DP-AP=PQ,DP-BQ=PQ.

例2、例3均為中考試題,均以正方形為背景,由基本圖形變換而來,若學生能夠認清問題的本質,自然可以輕松獲解.在日常教學中,若不關注知識間的內在聯系,不重視揭示問題的本質,那么學生在面對“陳題”時也會感覺陌生,這樣在解題時出現“懂而不會”“一錯再錯”等情況也就不足為奇了.因此,在實際教學中,教師要充分挖掘教材資源,通過有效變式讓學生學懂、學透,切實提高學生解題能力.Z