基于深度學(xué)習(xí)的“相似變換運(yùn)動(dòng)軌跡”課堂設(shè)計(jì)*

? 廣東省廣州市駿景中學(xué) 顧桂新

? 廣東省廣州市越秀區(qū)楊箕小學(xué) 趙毓君

初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是指在教師引領(lǐng)下,學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主題,全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程[1].本課堂設(shè)計(jì)以學(xué)生為主體,教師進(jìn)行引導(dǎo),并采用探究式和問題式相結(jié)合的教學(xué)方法實(shí)施教學(xué).首先通過嘗試猜想的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)歸納出研究相似變換運(yùn)動(dòng)軌跡的一般經(jīng)驗(yàn),獲得研究特殊圖形相似變換特征的方法,從知識(shí)層面上升到方法層面;然后以小組為單位,探究新的圖形相似變換運(yùn)動(dòng)軌跡的特征,引導(dǎo)學(xué)生在探究過程中,獲得研究相似變換運(yùn)動(dòng)軌跡的方法,并深入思考面對(duì)不同情況應(yīng)采取的方案.

1 情境設(shè)置,以舊引新

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“三角形”“全等三角形”“軸對(duì)稱”等知識(shí)點(diǎn),如何從這些舊知識(shí)出發(fā),使學(xué)生想到相似變換運(yùn)動(dòng)軌跡呢?

問題1如圖1,在等腰直角三角形ABC中,D為斜邊BC上一點(diǎn),若△ADE是以DE為斜邊的等腰直角三角形,求證:BD=CE.

圖1

設(shè)計(jì)意圖：通過證明BD=CE,明確“△ABD≌△ACE”,喚醒學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備.

問題2在問題1的基礎(chǔ)上,添加條件“D為BC上動(dòng)點(diǎn)”,求證:BD=CE.

2 通過嘗試,大膽猜想,導(dǎo)出主題

問題3在等腰直角三角形ABC中,D為斜邊BC上動(dòng)點(diǎn),若△DAE為等腰直角三角形(∠DAE為90°),當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng),如圖2,猜一猜:點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么圖形?

圖2

設(shè)計(jì)意圖：在問題2的基礎(chǔ)上引出本節(jié)課主題“相似變換的運(yùn)動(dòng)軌跡”,同時(shí)通過問題2的知識(shí)鋪墊,引導(dǎo)學(xué)生從“特殊到一般”探究規(guī)律的方法,通過觀察,嘗試歸納點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡形狀.

在問題3中,學(xué)生通過取幾個(gè)不同D點(diǎn),畫出相應(yīng)的點(diǎn)E,再結(jié)合幾何畫板的演示(如圖3)和問題2的知識(shí)儲(chǔ)備,猜想:點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡在直線CE上,且長(zhǎng)度等于BC,與BC夾角為90°.接下來就需要證明猜想的正確性.

圖3

3 問題驅(qū)動(dòng),突出思維之道

證明點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡在直線CE上,且長(zhǎng)度等于BC,與BC夾角為90°,通常從“運(yùn)動(dòng)中的相等線段”的基本圖形尋找點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)E如何運(yùn)動(dòng),而證明線段相等可以運(yùn)用“全等三角形”解決.若沒有現(xiàn)成的“全等三角形”,就需要構(gòu)造,這是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn).

問題4為什么點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的軌跡是線段呢?

設(shè)計(jì)意圖：由教師先引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造三角形,證明全等三角形,得到BD=CE,從而得到點(diǎn)D在BC運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)E在CE上運(yùn)動(dòng).把證明運(yùn)動(dòng)軌跡是線段轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等.

解法：如圖4,連接CE,構(gòu)造△ACE,證明△ABD≌△ACE.

在環(huán)境檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)室數(shù)據(jù)處理的相關(guān)研究中，以往研究多注重在檢測(cè)結(jié)果的自動(dòng)處理[10]．構(gòu)建檢測(cè)數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)，通過測(cè)試系統(tǒng)數(shù)據(jù)庫(kù)模塊、數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)模塊和綜合評(píng)價(jià)系統(tǒng)模塊，實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)室檢測(cè)環(huán)境數(shù)據(jù)的自動(dòng)處理、匯總及分析評(píng)價(jià)系統(tǒng)，避免中間環(huán)節(jié)中數(shù)據(jù)人為記錄、匯總的誤差，提高了工作效率．高效、準(zhǔn)確的環(huán)境檢測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)認(rèn)清環(huán)境現(xiàn)狀和相關(guān)部門的正確決策有重要意義．

圖4

∵∠BAC=∠DAE=90°,

∴∠1+∠3=90°,
∠2+∠3=90°.

∴∠1=∠2.

∵AB=AC,AD=AE,

∴△ABD≌△ACE(SAS).

∴BD=CE,∠B=∠ACE=45°.

∴當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡在直線CE上,且長(zhǎng)度等于BC.

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°.

上述解法是學(xué)生通過猜測(cè)、嘗試,在教師指導(dǎo)下得出的證明方法.啟發(fā)學(xué)生基于舊有經(jīng)驗(yàn),突破思維局限,創(chuàng)新研究思路,完成探索推理,概括獲得新知.

問題5如圖5,在等邊三角形ABC中,D為BC邊上動(dòng)點(diǎn),若△ADE為等邊三角形,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng),點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么圖形?

圖5

設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)特殊圖形的改變,對(duì)于每一種圖形結(jié)論的猜想與證明,引導(dǎo)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并體會(huì)運(yùn)動(dòng)變化中不變的規(guī)律.

問題5的結(jié)論:因?yàn)辄c(diǎn)D在BC邊上運(yùn)動(dòng),且△ADE是等邊三角形,所以,點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡在直線CE上,且長(zhǎng)度等于BC,與BC夾角為120°.解法與問題4類似,只是在證明∠BAD=∠CAE時(shí),用到60°角.

問題6如圖6,AB=AC,點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng),AD=AE,∠BAC=∠DAE,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng),點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么圖形?

圖6

設(shè)計(jì)意圖：通過由特殊圖形到一般圖形的變換,對(duì)于每一種圖形結(jié)論的猜想與證明,引導(dǎo)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并體會(huì)運(yùn)動(dòng)變化中不變的規(guī)律.對(duì)問題4、問題5的解決,由淺入深、逐層遞增,學(xué)生已經(jīng)有解題思路,但需要深度加工,抽象出等腰三角形相似變換運(yùn)動(dòng)軌跡的規(guī)律.同時(shí),變式也促進(jìn)了學(xué)生的深度學(xué)習(xí).

4 遷移應(yīng)用,揭示問題本質(zhì)規(guī)律,觸類旁通

通過對(duì)等腰三角形相似變換運(yùn)動(dòng)軌跡的規(guī)律探究,得出規(guī)律:點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡在直線CE上,且長(zhǎng)度等于BC,與BC夾角等于等腰三角形底角的兩倍(即2∠C).

問題7如圖7,已知AB=AC,D是AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),E,C位于BD兩側(cè),BD=BE,∠BAC=∠DBE=45°,連接AE.當(dāng)∠CDB=______度時(shí),AE最小.

圖7

設(shè)計(jì)意圖：在前面知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上設(shè)置同類型題目進(jìn)行練習(xí),加以鞏固.但是,問題7是在前面知識(shí)的基礎(chǔ)上又增加新的情境,從一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問題出發(fā),運(yùn)用己有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn),經(jīng)歷研究等腰三角形相似變換運(yùn)動(dòng)軌跡的完整過程,將在學(xué)習(xí)知識(shí)的過程中積累的經(jīng)驗(yàn)提升到一般的方法層面,整體把握研究相似變換運(yùn)動(dòng)軌跡的方法.加強(qiáng)相似變換運(yùn)動(dòng)軌跡的學(xué)習(xí)深度.

解法：如圖8,因?yàn)镈是AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),△BDE是等腰三角形,構(gòu)造等腰三角形BCF,BC=BF,所以點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡在直線FE上,且等于AC的長(zhǎng),∠CFE=135°(證明△BCD≌△BFE),則FE⊥AB.根據(jù)垂線段最短,當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí),AE最小,此時(shí)∠DAE=∠DBE=45°,故∠BDC=90°.

圖8

5 結(jié)語

基于深度學(xué)習(xí)理念下的探究,需要從中找準(zhǔn)適合學(xué)習(xí)的問題,創(chuàng)設(shè)情境,提升探究成效;逐步引導(dǎo),激活學(xué)生的思維.初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計(jì),重點(diǎn)在于通過精心設(shè)計(jì)問題情境和學(xué)習(xí)任務(wù),引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突和深度思考.

本課堂設(shè)計(jì),從特殊到一般,給學(xué)生創(chuàng)造觀察、猜想、探究、邏輯推理等學(xué)習(xí)機(jī)會(huì),引導(dǎo)學(xué)生“從圖形的特征中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”,讓學(xué)生在變式中提升求知欲,凸顯學(xué)生學(xué)習(xí)主體地位,克服學(xué)習(xí)中的思維定勢(shì).深挖知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系,盡量將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行有機(jī)整合,促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí).