基于問題鏈的單元復習教學策略研究*

? 安微省合肥市第四十八中學 陶興高 丁永愿

?浙江省杭州市海辰中學 程龍軍

1 單元復習教學現狀

復習課的主要功能是將學過的知識進行系統梳理,提高學生的綜合能力,發展學生的思維品質.但復習課也是典型的“三無”課型,即沒有明確的教學目標,沒有具體的教學內容,沒有固定的教學策略,給復習課的設計帶來了挑戰.目前復習課的設計存在以下問題:忽視教學目標,重難點不突出;復習內容單調,基本上都是“知識+習題”,導致了知識的碎片化,不利于知識認知的整體構建;復習方法以講練為主,機械重復,學生喪失復習主動性.

2 問題鏈的相關概念

2.1 問題鏈的內涵與特征

“問題鏈”就是教師為實現教學目標,根據學生的已有經驗和認知障礙,將教材知識深化整合,推廣綜合,逐漸轉化為具有層次性和系統性的問題序列[1].問題鏈具備以下特征:①有序性.問題鏈的有序性是知識有序和認知有序的整合,問題遵循從易到難、從簡單到復雜的原則循序漸進依次展開.②指引性.問題鏈中的每一個問題都是一個“腳手架”,引導學生積極思考、主動表達,促進教學目標的達成.③靈活性.由于課堂教學是一個動態的過程,這就要求問題鏈中的問題不能一成不變地呈現給學生,其呈現的跨度、方式及內容等要因情施策.

2.2 基于問題鏈的單元復習設計路徑與原則

以建構主義理論和最近發展區理論為支持,構建基于問題鏈的學習活動路徑,如圖1所示.

圖1

2.2.1 教學目標的高階性和指向性

教學目標是問題鏈的目的地,也是問題鏈的導航儀,在教學目標的追求上,問題鏈的教學不僅要關注基本知識、基本技能的掌握,也要關注思想方法的領悟、基本活動經驗的積累.在教學目標的制定上,教師要明晰知識結構、調研學生認知障礙,以課標為參考,確保后續的每個問題都有明確的指向性,避免“問無實質”“隨意提問”的現象,使得問題鏈有計劃、有步驟、有目的地依次展開.

2.2.2 問題鏈設計的邏輯性和啟發性

問題鏈的邏輯性包括知識邏輯和認知邏輯.一方面,問題鏈應體現“低起點、分層次、高落點”,實現從簡單到復雜、從低級到高級的過渡.另一方面,教師在設計問題鏈時應順應數學知識的展開規律和學生的認知順序,確保問題間有順序地銜接,有邏輯地漸進,使問題鏈成為促進學生思維發展的有效階梯.問題鏈的啟發性就是要求教師根據學生的差異性,在學生的思維障礙處或興趣點處搭建“腳手架”,設計符合學生最近發展區的預設問題,盡可能地對原有問題進行拓展、延伸.

2.2.3 評價分析的伴隨性

評價分析包括問題功能和學生反饋兩個維度,一是在教師設計完問題鏈之后,分析每個主干問題完成了哪些教學目標,在教學過程中教師及時記錄出現的預設問題,優化問題鏈.二是問題鏈的教學是一個不斷提出問題、解決問題的過程,在教學過程中教師可以不斷評估學生的學習狀況,診斷出學生的知識盲區,以便及時指導.

3 “直線與圓的位置關系”單元復習設計實施

3.1 “直線與圓的位置關系”復習目標

“直線與圓的位置關系”單元包括滬科版第24章的第4,5兩個小節,是在圓的基本性質學習的基礎上進一步延續和發展.本單元內容包括直線與圓的位置關系,切線的性質與判定,切線長定理,內切圓等知識.從教材的脈絡來看,首先分類討論直線與圓的三種位置關系,突出特殊的位置關系——相切,探究切線的性質和判定定理,再利用尺規作圖作已知圓的切線,引出切線長定理,最后學習三角形的內切圓(即切線長的應用與延續).因此,切線是貫穿單元內容的主線,以切線的條數逐步增加作為橫向脈絡,以相應的圖形結論作為縱向脈絡,形成了如圖2的知識結構網絡圖.

圖2

直線與圓的位置關系是初中幾何知識的綜合運用,常與垂徑定理、圓周角、勾股定理、平行線、相似三角形等知識結合.本單元對發展學生分類討論、數形結合、幾何直觀、演繹推理、實踐操作能力有著重要的意義.

基于課標要求,制定如下教學目標:

(1)回顧直線與圓的三種位置關系,體會用距離刻畫直線與圓的位置關系的數形結合思想;

(2)掌握切線的性質和判定定理,發展幾何直觀、演繹推理能力;

(3)了解切線長定理、三角形內切圓等知識,在尺規作圖的過程中積累基本活動經驗;

(4)在解決具體問題的過程中提高分析問題、解決問題以及綜合運用的能力.

3.2 “直線與圓的位置關系”問題鏈設計分析

3.2.1 問題鏈1:開放作圖,理清知識脈絡

問題1如圖3,⊙O外有一點P,過P作直線l,直線l與⊙O有哪些位置關系的?

圖3

問題1-1你是如何判斷直線與圓的位置關系的?

問題2如圖4,已知直線PA是⊙O的一條切線,切點為A,請用尺規過點P作⊙O的另外一條切線PB,并說明理由.

圖4

問題2-1你是怎么想到該作法的?

問題2-2所得到的圖形有什么結構特征?

問題3如圖5,PA,PB與⊙O分別相切于A,B兩點,C是⊙O上一點.過C作⊙O切線,請你畫出圖形.

圖5

問題3-1你還能畫出其他圖形嗎?

問題3-2根據所畫出的圖形,你有什么結論?

教學預設:

問題2的具體作法有如下幾種情況:

思路一：如圖6,以OP為直徑作⊙N,交⊙O于點B,則直線PB即為所作.

圖6

思路二：如圖7,以P為圓心,PA為半徑作弧交⊙O于點B,則直線PB即為所作.

圖7

思路三：如圖8,作直線PM,使得∠OPM=∠OPA,則直線PM即為所作.

圖8

思路四：如圖9,過點A作PO的垂線段交⊙O于點B,則直線PB即為所作.

圖9

問題3所得到的圖形如圖10～12所示.

圖10

功能分析：問題1從數形兩個不同的角度復習回顧判斷直線與圓的位置關系的方法,滲透數形結合思想.對于問題2,學生已經具備了教材的作法經驗,思路一較易想到,但該法并未用到已知切線PA這一條件.可引導學生結合切線長定理的內容(過圓外一點作圓的兩條切線,兩條切線相等,圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角)聯想構圖,形成思路二、三.對于這幾種作法的證明,思路一、二、四應用了切線的判定方法,即連半徑,證垂直;思路三應用了切線的判定方法,即作垂直,證半徑.特別指出,思路三在教學過程中有學生用△PAO≌△PBO證明PM是⊙O的切線,通過對比彰顯運用角平分線性質證明的簡潔性.本活動在作圖中復習切線定理、切線長定理的同時,綜合運用了垂徑定理、全等三角形、圓周角、角平分線的性質等相關幾何知識,提高了學生的直觀想象和邏輯推理能力.

問題3根據點C的位置分為圖10～12的三種情況,培養了學生分類討論能力.在圖10中復習三角形內心的定義、性質和求三角形內切圓半徑的一般方法,在圖11中可證四邊形ACMP是直角梯形且PM=MC+PA,在圖12中可向學生補充旁切圓等知識.在教學過程中可繼續追問學生:“如果再增加一條切線,你可以得到什么圖形?有什么結論?”該環節是切線長定理運用的延續與拓展,使得知識整理的過程變得有序和完整,也為后續學習正多邊形與圓的關系埋下伏筆.

圖11

圖12

問題鏈1是知識梳理的過程,與機械式的復述回憶不同,該環節通過設計連續的作圖活動,從一條切線到兩條切線,再到三條切線,將其中的概念、定理以及內在的聯系串聯形成知識結構體系.讓學生在經歷尺規作圖的過程中,增強動手能力,理解尺規作圖的基本原理與方法,發展空間觀念、幾何直觀、邏輯推理等核心素養.

3.2.2 問題鏈2:問題探究,提高綜合能力

問題4如圖13,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8 cm.點O在邊BC上,以OC為半徑作⊙O,⊙O與邊AB相切于點D,交邊BC于點E,求⊙O的半徑.

圖13

問題4-1：如圖14,連接DE,CD,求線段DE,CD的值.

圖14

問題4-2：如圖15,連接OA交CD于點F,連接EF,判斷四邊形ADEF是不是平行四邊形.

圖15

問題5如圖16所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,點O在邊BC上,以OC為半徑作⊙O,⊙O與邊AB相切于點D,交邊BC于點E,連接OA交CD于點F,連接EF,要使四邊形ADEF是平行四邊形,則Rt△ABC的三邊需要滿足什么條件?

圖16

教學預設:

問題4求半徑的一般思路:

圖17

思路二：如圖17,連接OD,在Rt△BDO中,由BD2+OD2=OB2,得42+r2=(8-r)2,解得r=3.

圖18

問題4-1求線段長的一般思路:

圖19

問題4-2的判斷思路:

思路二：F是CD的中點,E不是CB的中點,顯然EF和AB不平行.

問題5的求解思路:

已知ED∥AF,要使四邊形ADEF是平行四邊形,還需要ED=AF或AD∥EF.

圖20

功能分析：該環節以直角三角形和圓的綜合為背景設置問題鏈,將切線定理與相似三角形、平行線、勾股定理、平行四邊形等知識聯系起來,學生通過該題組掌握了求圓中線段長度的一般方法,提高了分析問題、解決問題的能力.其中,問題5是問題4-2的逆向論證,從已知四邊形的形狀探究Rt△ABC的三邊關系,從有具體的數值到無數值,論證的過程更加抽象,使學生對圖形的位置關系、數量關系的認識更加深刻.該環節通過一題多問、一題多解的方式使得課堂內容從冗長走向簡約,增強學生思維的連貫性、綜合性.

4 基于問題鏈的單元復習教學反思

問題鏈的教學模式可為教師提供一種復習課的教學方法,能夠引導學生樹立整體觀念,提高課堂參與度,發展核心素養.

4.1 理清脈絡,樹立整體觀念

《義務教育數學課程標準(2022年版)》指出,要注重教學內容的結構化,整體分析數學內容本質和學生認知規律,幫助學生用整體的、聯系的、發展的眼光看問題.問題鏈作為一個整體序列,問題與問題之間具有一定層次結構、邏輯關系,讓學生有機會借助邏輯思考建構起知識體系.在本案例中,問題鏈1以切線的條數不斷增加作為主線,縱向將單元內容串聯起來,使得知識梳理過程變得有序;問題鏈2橫向將切線內容與勾股定理、相似三角形、直角三角形等知識相結合,明晰本單元與其他知識的綜合應用.

4.2 以生為本,提高課堂參與度

唐恒鈞[2]教授指出:教師在設計問題鏈時應激發學生解決問題的積極性;對于挑戰性問題,要在全體學生的認知范圍內,讓每一位學生參與到其中,鍛煉學生解決問題的能力.在本案例中幾乎每個問題都有多種解法.其中,問題2方法的開放性讓學生更全面地掌握切線定理和切線長定理,更深刻地認識雙切圖的對稱性;問題3結論的開放性也會給學生帶來了“意外“內容,拓展旁切圓等知識;問題4題組探究過程的多樣性培養了學生的發散思維和創造思維.開放性的問題讓不同層次的學生都能參與,也使得知識方法的使用更加全面.

4.3 問題驅動,發展思維品質

問題鏈教學將陳述性知識轉化為程序性知識去理解和認識,讓學生在做數學的過程中實現知識的建構.問題鏈教學驅動學生思維的發展,表現在兩個方面:一是在內容上給學生提供了充足的冷靜思考與自主探究的空間,讓學生在問題的驅動下獨立探索,利于學生數學思維的發展;二是問題鏈間的關聯能揭示學習過程與思想方法,驅動學生的思維發展經歷“問題—方法—方法論”的數學化全過程,發展學生的核心素養.