例談畫圖策略運用于數學問題解析的意義與價值

彭珍

【摘 要】數學研究的對象是數量與圖形，數圖結合是學習數學理論、解析數學問題的重要方法。本文援引教學案例探討畫圖策略運用于小學數學習題解析的意義與價值，以培養并提升學生的數學思維，從而促進學生核心素養的形成和發展。

【關鍵詞】教育教學 小學數學 畫圖 習題解析

數量與圖形的關系密不可分，二者大多數情況下可以互相切換表達，比如矩形的面積可以表示為兩個實數的乘積，圓周率可以表示為圓周長與直徑的比例。因此，在數學教學中，教師要高度重視引入圖形，講授新課時通過畫圖呈現數量關系，促進學生理解和吸收數學知識；講解習題時，通過畫圖示范，引導學生養成運用圖形分析數量關系的習慣，提高解決實際問題的能力。

小學生的數學知識儲備與思維水平均處于低層次階段。 他們雖然能夠進行加減乘除等基本運算，然而當數學問題以更復雜的形式出現時，他們卻難以建立事物和數量之間的邏輯關聯。尤其中高段的解決問題，大都以文本形式呈現，情境設置和問題設置更為靈活，因而在解決實際問題時，引入圖形輔助分析可以簡化問題情境，提取關鍵信息，建立已知條件與所求問題的關系，從而厘清思路，正確而快速地解答數學問題。

一、化繁為簡，直觀呈現習題中的數量關系

教師應認識到以文本形式呈現的數學習題，其中有些文字信息并無實際意義，只是起到支撐和連接作用，而解答數學問題的根本目的是根據條件尋求解決方案，得出結論。因而，教師應引導學生解析數學問題時學會提取關鍵信息，去除雜蕪的文字，簡化情境內容，突出數量關系。

習題1：李華想測量半桶水的深度，他把竹竿垂直插到桶底，量得竹竿露出水面的長度是43 cm，然后把竹竿倒過來在同一位置插到桶底，量得竹竿沒有被水浸濕的部分是20 cm，問：桶中的水深多少？

見圖1，教師引導學生通過畫圖提取關鍵信息：第一次量得的水面竹竿長度43 cm實際上獲得被減數，第二次倒過來插入桶中測量水面沒有浸濕的部分20 cm實際上獲得減數，桶內的水深就是它們的差值：43-20=23 cm。可見，畫圖策略可以簡化情境，讓學生的思維聚焦在數量信息上，通過圖形表征幫助學生厘清思路，學生能夠直觀地發現已知條件與所求結果的關系，快速地找到解決問題的方法。

二、還原真實情境，得出符合生活實際的結論

學習知識是為了解決生活中的實際問題，知識是基于生活現象和規律概括出的抽象理論，現實生活與理論知識必然有一定的差距，不能運用純理論來指導并解決生活實際問題。指導學生合理運用畫圖策略解決數學習題，能夠還原真實的情境，從而得出符合現實生活的結論。

習題2：李華從1樓步行到3樓用了36秒，按同樣的速度從3樓走到6樓還需要幾秒？

此題的數字信息具有迷惑性，單從字面來看，很多學生誤認為1到3樓有3層，而時間36秒恰好可以被3整除，快速求出步行一層所需要的時間：36÷3=12（秒），導致最終得到錯誤的答案：3×12=36（秒）。但是如果學生運用畫圖策略解答可以避免這種“想當然”的錯誤（見圖2）。根據圖形，可知1樓到3樓實際只有2層，步行一層樓所需要的時間是：36÷2=18（秒），3樓到6樓共有3層，即：3×18=54（秒）。經此例，引導學生發現數學問題有時候并不是表面數量的加減乘除運算，而是要根據實際情況對數據進行綜合分析、選擇和處理，通過圖形表征，更易于得出符合生活現實的結論。

三、畫圖策略可以發現并糾正解答過程中的疏漏

解決數學問題不單單是運用數學知識進行數學運算的簡單過程，還要求學習者具有縝密的思維和嚴謹的態度，在解答問題過程中要學會反思，并養成通過檢查、驗算查找錯誤的習慣，從而訓練理性思維，培養嚴謹的科學精神。畫圖策略運用于習題解答，不僅能直觀呈現數量關系，甚至能直觀呈現結論，讓學生能夠便捷地發現解題過程中存在的疏漏。

習題3：甲、乙兩個工人修剪花圃，每人每天可以修剪1畝，甲工人工作2天休息3天，乙工人工作3天休息2天，問：修剪100畝花圃需要幾天完成？

對于小學生來說，這個題目較為復雜，沒有現成可以套用的數學公式，它與常見的求時間、求速度（效率）等解決問題不同，教師可以引導學生運用畫圖策略，用■代表勞動，用□代表休息，得出圖3。

甲：■■□□□■■□□□■■□□□……

乙：■■■□□■■■□□■■■□□……

通過圖形觀察工作進展情況：如果以5天為一組，每5天都能修剪5畝花圃，即平均每天修剪1畝，則完成100畝任務需要100天。這個解題思路是新穎的，似乎無可挑剔的，實際情況并不是如此。觀察上圖，發現第4、5、9、10、14、15……（即5n-1和5n，n≥1）天，甲、乙兩人都在休息，每修剪5畝花圃只要三天完成，類推并觀察圖形，完成修剪100畝任務并不需要100天，第100畝的任務在第98天時由乙工人單獨完成。因此，圖形表征既給學生提供了解答數學問題的方法，也培養了他們細致、縝密的科學精神，正是圖形表征運用于習題解析的價值所在。

四、畫圖策略可以訓練學生的數學思維

圖形表征，即在習題解析過程中，由文字簡化為圖，由圖形揭示題目中數量的變化與關聯。這個過程驅使學生更為深入地進行信息的提取與分析，從題中的文字表述過渡到圖形中抽象的數量關系，學生的觀察、概括、猜測、推理和歸納等思維活動都得以鍛煉，達到培養學生數學思維的目的。

習題4：李白返家沿途賞花，每遇見一處花叢就喝壺中酒的一半，每路過酒家就買半斤酒添到壺中。已知李白這一天交錯遇見花叢和酒家，途中共停留5次，到家時，壺中還有4兩酒，問他出發時壺中原有多少酒？

教師分析引導：本題有兩個重要信息，“交錯”意味著李白沒有連續遇見花叢或酒家，至于先遇見花叢還是酒家需要根據“剩4兩酒”來逆推，如果最后一次遇見酒家，壺中至少半斤酒以上，可見最后遇見的是花叢。通過逆向推理，逐步計算出每一個落腳點壺中酒的數量，最后求得李白出發時壺中原有2兩酒（如圖4）。通過此例培養學生對已知信息進行綜合處理的能力，運用信息的不兼容特點進行“排他”選擇，學生學會了逆向推理的方法，具有較高的思維訓練價值。

畫圖策略是學習數學和解析問題的重要方法，其本質是簡化題干信息，突顯數學知識、數學規律和數量關系，從而引發學生思考，厘清解題思路，提高解題速度和正確性。教師運用數圖結合的教學方法，可以激發學生的學習興趣，降低學習難度，促進學生對知識的理解，掌握科學的解題方法，訓練理性的邏輯思維，培養嚴謹的求學態度，領略數學世界的美妙。

（作者單位：福建省將樂縣城關中心小學 責任編輯：宋曉穎）