適度引導 加速生成

朱丹霞

［摘? 要］ 數學概念是抽象的，若想讓學生將概念學懂、學透，則離不開教師適時、適切地引導. 在概念教學中，教師可以引導學生對具體實例進行觀察、分析、抽象，還可以引導學生進行新舊知識對比，以此幫助學生認識概念、理解概念、內化概念，有效發展學生理解和探究能力，提高概念教學有效性.

［關鍵詞］ 數學概念；引導；探究能力

數學概念是數學教學的重要組成部分，其是學好數學的基礎和核心. 在數學概念教學中，若沒有教師適時、適切地引導，學生可能難以在繁雜的實例中提煉出有價值的信息，難以抽象出問題的本質屬性，這樣可能會降低概念的理解速度，影響學生概括的質量，使得學生對概念的理解可能是一知半解的，甚至可能是錯誤的. 數學學習既是對數學知識和數學文化的一種創新，又是一種傳承，兩者相輔相成、密不可分. 另外，學習是否有意義看的是通過學習學生是否有所收獲、有所發展. 如概念教學中，無論是概念的形成還是概念的同化都能產生有意義的學習，將兩者有機結合起來，有利于學生更好地理解概念，理解概念學習.

筆者有幸聆聽本校優秀教師的一節關于“數列的概念”的公開課，其講解之精彩，分析之獨特，使筆者受益匪淺. 不過，課后對教學過程進行了反思，筆者有一些不同的見解，現結合教學片段提出來，供參考.

提出明確的問題，促進概念的生成

在概念教學中，教師常常創設一些情境，提出一些問題，引導學生通過對具體情境的觀察、分析、探究、歸納，逐漸抽象出概念，這樣既可以淡化直接講授所帶來的抽象感，又能鍛煉學生的數學概括和數學抽象能力，有利于學生學習能力的提升.

在本課教學中，執教者為學生精心設計了以下問題情境，以期學生通過觀察、分析、歸納共同特點，為概念的形成做好鋪墊.

情境1：在第18屆雅加達亞運會上，中國隊獲得了132枚金牌，穩居金牌榜首位. 自第9屆新德里亞運會開始，我國取得了金牌總數9連冠，這9次金牌總數依次為61，94，183，125，129，150，165，199，151.

情境2：小明家上半年用電量（單位：度）依次為110，118，90，102，130， 86.

情境3：根據體檢報告，某班學號為1～5的學生的身高（單位：厘米）依次是182，175，163，188，176.

情境4：某細胞平均1分鐘分裂1次，1次分裂成2個，則該細胞分裂的個數依次為1，2，4，8，16，….

情境5：正偶數從小到大依次為2， 4，6，8，10，….

師：請學生結合以上情境回答下列問題.

（1）分析以上各組對象，你想到了什么？

（2）以上各組對象有什么共同特點？

（3）從數學角度去分析，以上各組對象有什么共同特點？

（4）你是如何理解對象中的“依次”的？

教師引導學生帶著問題分析各組對象，以期在問題的引導下抽象出概念的本質屬性. 幾分鐘后，學生通過觀察、分析，有了自己的發現，與教師共同交流.

師：誰來說一說有什么發現？

生1：我發現每個情境中都提到了數字，且這些數字都是正數.

師：很好，還有嗎？

生2：我感覺有些情境中的數字是有規律的，如情境4和情境5.

師：很好，從整體出發，還有其他發現嗎？

生3：情境4和情境5與前面三個情境不同，前者中的數字是無限的，而后者中的數字是有限的.

師：很好，大家觀察得很仔細，現在我們再增加一個情境.

情境6：根據天氣預報，某市一周的最低氣溫（單位：℃）依次是2，-1，3，-3，0，4，2.

為了消除學生的片面認識，教師又增加了情境6，進一步完善情境. 從上述情境的設計來看，情境貼近學生的生活，符合學生的認知水平，情境的創設是有效的. 但是從上述3位學生的回答來看，并沒有達到預期效果.

課后交流時，部分教師認為之所以學生沒有說到點子上，是因為情境設計不夠有針對性，不夠完善，如沒有直接給出情境6. 但筆者認為，出現以上現象的主因在于教師的提問，其實教師的目的就是讓學生歸納出所列對象的共同特點，但這些指向不明的問題將學生的思考引到了“偏路”上，這樣學生通過觀察和分析得到各組對象是數字且都是正數也是一種自然結果.

雖然在教師的引導下，學生發現情境4和情境5是有規律的，但并沒有通過觀察、分析，概括出對象的共同特點，可見這些指向不明的問題影響了學生思考的方向. 基于學生的發現，教師補充了情境6，但是情境6直接在課始時呈現，學生一定能找到這組對象的共同特點嗎？如果學生發現這些數字都是有理數該怎么辦？難道再增加情境嗎？如果這樣思考，那么情境還是不夠完善，存在缺陷，可見問題的根源不在情境而在提問. 指向不明的問題很難讓學生發現教師設計情境的真正意圖是什么，導致學生的思考偏移了方向，影響了課堂生成. 另外，在教學中，教師補充情境6，目的是從側面暗示學生的回答是不對的，以使學生繼續觀察、分析、歸納，通過“試錯”逐漸發現每組數字都有次序.

分析以上教學過程，可見學生能夠發現并歸納數列的本質屬性，不是通過情境達成的，而是“試錯”. 不過，雖然學生通過“試錯”最終能發現每組對象的共同特點，但是這個過程是復雜的. 同時，不斷“試錯”也會消耗學生數學學習的信心，浪費寶貴的課堂時間，難以發揮情境創設的真正價值. 那么教學中，教師應該如何提問呢？筆者認為，教師在提問時可以有明確的指向性，如“通過觀察，你發現描述以上實例的語言中有哪個共同的詞匯？”這樣學生很容易發現“依次”并以此展開分析，從而理解“順序”，發現數列的本質屬性，形成數列的概念.

不明確的提問看似給學生提供了一個更為廣闊的探究空間，但其實質卻讓學生游離在問題之外，容易分散學生的注意力，影響學生的學習信心和教學效率；而明確的提問看似一種“灌輸”，實際是一種“傳送”，是數學學習的必經之路. 若在教學中不能向學生“傳送”知識，而是一味地強調探究，學生怎么可能在短時間內將人類幾千年積累下來的知識和經驗學到手呢？又如何去探尋未知呢？在教學中，要辯證地看待“傳送”和“探究”，只有將兩者有機地結合在一起，才能讓學生更好地發展. 值得注意的是，“傳送”不是“填鴨”，而是在教師的引導和啟發下，提出明確的問題，引導學生通過獨立思考和合作探究獲得知識和經驗，以此加快知識生成效率，提高教學有效性. 因此，在教學中，不要糾結于何種形式，只要能發揮學生的主體作用，能發揮教師的主導功能，能協調好“主體”和“主導”的關系即可，以此發展學生的數學探究能力，提高數學教學效率.

把握好時機，加速概念的內化

為了更好地教學，教師應認真研究教材、研究學生，以便給予學生適時、適切的引導，促進課堂的高效生成. 在概念教學中，教師要處理好“講授”和“探究”的關系，充分發揮促進者、啟發者、引導者的功能，把握好時機，以加速學生對概念的理解與內化.

教師給出情境6后讓學生繼續觀察、討論，最終一致認為其共同特點都是數字，且每組數字都有順序. 學生總結歸納后，教師沒有用數學語言進一步總結概括，而是做了如下引導.

師：你能舉出幾個類似的實例嗎？

生4：本次期中考試，總成績前5名學生的數學成績（單位：分）依次為145，138，137，126，121.

生5：本班男生身高前5名的學生依次為張××、李××……

反思以上流程不難發現，通過前面情境的探究，學生已經總結歸納出了數列的本質屬性，此時似乎到了引出概念的時機，但教師并沒有直接引出概念，而是引導學生繼續探究，拉長概念的生成過程，推遲概念給出的時間，以此讓學生在“慢過程”中進一步深化對概念本質的理解. 但事與愿違，部分學生創設的情境雖然重點表達了“順序”這一本質屬性，但是遠離了數字，沒有在具體情境中抽象出一般的概念.

筆者認為，在上述教學環節中，學生已經給出了概念的本質屬性，但沒有得到教師的正面回應，因此學生又陷入了迷茫. 之所以出現這種情況，是因為教師沒有把握好時機，當學生總結歸納出“都是數字，每組數字都有順序”這一共同特點后，教師應該充分發揮主導作用，讓概念早一點出場. 在概念教學中，教師可調整一下順序，當概念出場后，讓學生根據概念列舉一些生活實例，這樣將概念的形成和同化有機地結合在一起，有利于學生理解概念. 另外，受教學水平、認知基礎、學習習慣等因素的影響，學生的學習能力有一定的差異性，基礎相對薄弱的學生在教師的啟發、引導和講解中能夠理解概念，并通過模仿利用概念解決一些淺顯的問題已經不容易了，所以教師沒有必要一味地追求概念的形成，應該采用同化的方法讓學生理解概念，以此保護好學生的學習信心.

關注新舊知識的銜接，建立概念體系

數學知識間往往存在著千絲萬縷的聯系，然學生的認知能力有限，有時候可能難以發現知識間的內在聯系. 因此，在教學中，教師應為學生架設一座連接新舊知識的橋梁，幫助學生建構完善的認知體系. 對于數列概念教學亦是如此，若能夠將其與集合、函數等概念聯系起來，有利于學生更好地理解數列概念的本質屬性，建構完善的概念體系. 不過，在本課教學中，教師似乎忽視了這一點，可能是因為前面引導學生發現數列概念的過程中占用了較多的時間和精力，使得教師放棄了這一環節；也有可能是因為教師認為數列概念是學生自己發現的，學生已經很清楚了，沒有必要再作比較. 那么教學中是否有必要與集合等相關知識作比較呢？筆者在此呈現本校其他教師的教學片段供大家探討.

師：學習了數列的概念，請你根據對數列的認識，再列舉幾個實例.

生6：本市一周各天的最低溫度（單位：℃）依次為6，4，3，4，2，1，1.

師：如果最后一天來了寒潮，溫度驟降至-5℃，那么6，4，3，4，2，1，-5是數列嗎？

生答（略）.

生7：小明在本次期中考試中，語、數、英三門功課的成績（單位：分）依次為125，138，112.

師：如果不小心把三門功課的成績登記錯了，如登記成了138，112，125，那么它與原來的數列是否為同一數列呢？若將其用集合表示，是否為同一集合呢？

生答（略）.

生8：小紅為自己制定了一個減肥計劃，第一天減1兩，第二天減2兩，第三天減3兩……

師：猜想一下，小紅第4天減多少？是否可以一直減下去呢？

生答（略）.

生9：我決心在接下來的3次數學考試中依次取得3，2，1的好名次.

師：不錯，有決心. 老師祝愿你都考第一名，那么1，1，1是數列嗎？

生答（略）.

同樣是引導學生舉例，但是該執教者通過追問巧妙地引導學生將數列概念與集合概念作比較，深化學生對“有序”與“無序”、“重復”與“不重復”等本質屬性的理解. 這樣通過判斷、辨析，有利于學生準確理解數列的概念. 其實，在教學中，很少有學生能夠主動將數列與集合、函數等內容聯系在一起，這時教師有必要發揮主導功能，通過追問引導學生去聯想、作比較，從而將數列概念融于知識體系中，促成數列概念的精致化理解. 因此，教學中引導學生將數列與集合、函數等作比較是有必要的，也是有意義的，應該是數列概念教學必不可少的一環. 在教學中，教師要引導學生去分析、聯想、對比，從而建立清晰的、穩定的認知結構，提高學生的知識遷移能力，促進學生發現、分析和解決問題能力的提升.

又如，若教學中不引導學生將數列與集合、函數等作比較，直接告訴學生“數列是一類特殊的函數”，這樣無疑增加學生理解和接受的難度，影響學生的學習信心. 因此，在教學中，教師要從教學實際出發，為學生的思維活動鋪設合適的臺階，以此培養學生的學習能力，讓學生的思維螺旋上升.

總之，在概念教學中，無論教師以何種形式開展教學活動都要發揮主導作用，精心設計指向明確的問題，引導學生通過觀察、分析、概況、對比等過程更好地理解概念、應用概念，發展學生提出、分析和解決問題的能力.