“閱讀與思考——三角學(xué)與天文學(xué)”在高中數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用研究

覃麗瑩

摘 要：文章重點(diǎn)探究新課程背景下，“閱讀與思考——三角學(xué)與天文學(xué)”在高中數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用。通過利用現(xiàn)有材料分析“三角學(xué)與天文學(xué)”的背景、意義以及情境設(shè)計(jì)，研究其在課堂中的應(yīng)用價(jià)值。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；三角學(xué)與天文學(xué)；三角函數(shù)

中圖分類號(hào)：G633.6?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1673-8918（2024）03-0075-04

一、 背景及意義

三角學(xué)最早以球面三角、平面三角等內(nèi)容出現(xiàn)于實(shí)際測(cè)量所需的天文觀測(cè)結(jié)果推算的方法中。后因人類對(duì)探索宇宙的欲望以及“量天學(xué)問”對(duì)人類的吸引，亦因其對(duì)天文推演的高效率推算，德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家雷格蒙塔努斯將三角學(xué)相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行完整獨(dú)立的研究與闡述，完成5卷本著作《論各種三角形》的著作，早期系統(tǒng)的三角學(xué)由此而出。后來由于現(xiàn)有三角學(xué)的局限性限制了天文學(xué)的多方面研究，雷提庫(kù)斯將平面三角學(xué)從球面三角學(xué)中獨(dú)立而出，改進(jìn)角的三角函數(shù)關(guān)系，制定更為精確的三角函數(shù)表，極大地推動(dòng)了天文學(xué)研究與三角學(xué)的發(fā)展。

在時(shí)代發(fā)展、歷史演變中，早期三角學(xué)成為天文學(xué)的一部分，后來研究范圍逐漸擴(kuò)大，變成以三角函數(shù)為主要對(duì)象的學(xué)科。三角學(xué)在高等數(shù)學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)、測(cè)量學(xué)以及航海等方面都有廣泛的應(yīng)用。

二、 材料分析——以人教A版數(shù)學(xué)教材為例［2019］

“閱讀與思考——三角學(xué)與天文學(xué)”出現(xiàn)于人教A版高中數(shù)學(xué)必修一第186頁(yè)，作為三角函數(shù)概念的拓展延伸部分。三角函數(shù)是函數(shù)章節(jié)的重要內(nèi)容，在學(xué)習(xí)任意角和弧度制等內(nèi)容的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深入研究學(xué)習(xí)三角函數(shù)的知識(shí)，能為后續(xù)對(duì)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，起到承上啟下的作用，同時(shí)，三角函數(shù)也是高考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位。

“閱讀與思考——三角學(xué)與天文學(xué)”介紹了數(shù)學(xué)中三角學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展的歷史，有助于學(xué)生了解三角學(xué)與天文學(xué)的關(guān)系和相互促進(jìn)的發(fā)展過程，結(jié)合由抽象到具體的思維方式，體會(huì)世界萬物相互制約、相互促進(jìn)的規(guī)律，樹立唯物主義觀；了解歷代數(shù)學(xué)家的發(fā)展觀點(diǎn)，體會(huì)數(shù)學(xué)家在天文學(xué)方面做出的巨大貢獻(xiàn)；結(jié)合前人對(duì)三角學(xué)的研究，和進(jìn)一步發(fā)展三角函數(shù)等其他知識(shí)過程中做出的貢獻(xiàn)，以及三角學(xué)如何從天文學(xué)中分離出來，然后在新領(lǐng)域繼續(xù)發(fā)光發(fā)熱的過程，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)事物發(fā)展的客觀規(guī)律。

三、 課堂應(yīng)用

（一）應(yīng)用方式

學(xué)起于思，思源于疑。采用問題導(dǎo)向、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)的啟發(fā)法和講授法相結(jié)合，以及自主探究、合作交流的探究式學(xué)習(xí)方法。

遵循學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)、發(fā)展為主線的現(xiàn)代教學(xué)理念。在教學(xué)過程中層層設(shè)疑，讓學(xué)生帶著疑惑去學(xué)，提高學(xué)生的專注力，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生的思考和探究。使用視頻、圖片等教學(xué)資料，將學(xué)生帶入數(shù)學(xué)發(fā)展史的氛圍中，圍繞著“三角學(xué)與天文學(xué)”讓學(xué)生去體會(huì)、去感受、去討論、去運(yùn)用，使教學(xué)中的內(nèi)容、學(xué)生、教師較好地融為—體，師生共同在教學(xué)中獲得新知。

（二）應(yīng)用預(yù)設(shè)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課程要著力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，主要包括以下“三會(huì)”：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。

隨著知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代的來臨，現(xiàn)代教育理念著重于以人為本，強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)人自主學(xué)習(xí)、自立自強(qiáng)、獨(dú)立思考解決問題的能力。

將“閱讀與思考——三角學(xué)與天文學(xué)”作為獨(dú)立一節(jié)課程內(nèi)容，放在第五章“三角函數(shù)”教學(xué)第一節(jié)作為開篇，引入三角知識(shí)，營(yíng)造三角函數(shù)學(xué)習(xí)氛圍，初步搭建三角函數(shù)學(xué)習(xí)梯度。

將數(shù)學(xué)史——三角學(xué)與天文學(xué)的發(fā)展史作為課堂的主要探究活動(dòng)，共分為以下四個(gè)部分：

1. 借星引路——天文學(xué)的發(fā)展

2. 觀星測(cè)量——三角學(xué)的起源

3. 思辨與發(fā)現(xiàn)——三角學(xué)的發(fā)展

4. 自成一派——三角學(xué)的應(yīng)用

將班級(jí)學(xué)生分為6～8個(gè)小組，課前布置學(xué)生小組內(nèi)分工合作收集對(duì)應(yīng)環(huán)節(jié)相關(guān)材料。1～2組收集借星引路——天文學(xué)的發(fā)展；3～4組收集觀星測(cè)量——三角學(xué)的起源；5～6組收集思辨與發(fā)現(xiàn)——三角學(xué)的發(fā)展；7～8組收集自成一派——三角學(xué)的應(yīng)用，要求每個(gè)小組的學(xué)生整理各自小組內(nèi)收集的資料，寫出400字左右的總結(jié)，課上分享收獲。

本環(huán)節(jié)的主要目的在于分工合作，分工合作能充分發(fā)揮每個(gè)人的專項(xiàng)技能，彌補(bǔ)個(gè)人的不足，發(fā)揮整體效能，提高工作效率。組內(nèi)成員共同合作收集材料所需分工、方法能促使學(xué)生思考、發(fā)現(xiàn)他人亮點(diǎn)，鍛煉生活能力，落實(shí)現(xiàn)代教育溝通理念，營(yíng)造良好的氣氛，培養(yǎng)學(xué)生的成就感和自信心。古人云：近朱者赤，近墨者黑。好的團(tuán)隊(duì)氛圍可以使每個(gè)成員都盡自己最大的努力去完成好工作，能收到事半功倍的效果。

在第一環(huán)節(jié)借星引路——天文學(xué)的發(fā)展中，學(xué)生可通過收集資料與分享，認(rèn)識(shí)到公元前4000年左右，古代天文學(xué)是人類最早的天文學(xué)形式，且天文學(xué)的發(fā)展最早與神話相關(guān)，認(rèn)為天體的運(yùn)動(dòng)是神的意志，具有神秘色彩。后來天文學(xué)的發(fā)展與天體運(yùn)動(dòng)相關(guān)。古代天文學(xué)家通過觀察天體的運(yùn)動(dòng)，推測(cè)它們的周期和規(guī)律，形成了一套基本的天文學(xué)理論，可以記錄時(shí)間、四季變化、節(jié)氣轉(zhuǎn)換，便于組織農(nóng)耕，提高生活質(zhì)量。在古埃及，人們還研究了星座和天象的變化，發(fā)現(xiàn)了日食和月食等現(xiàn)象。古希臘天文學(xué)家帕拉繆克斯通過觀察星體的運(yùn)動(dòng)，建立了一個(gè)天體運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)單模型，被稱為帕拉繆克斯模型。同時(shí)學(xué)生還會(huì)發(fā)現(xiàn)在天文學(xué)的發(fā)展研究過程中占比最大的是數(shù)據(jù)的運(yùn)算，而且涉及龐大的數(shù)據(jù)推演。宇宙中星體之間距離甚遠(yuǎn)，無法用人力測(cè)量，只能借助其他方式間接推導(dǎo)得到大概的數(shù)據(jù)，為追求數(shù)據(jù)的精確性，三角學(xué)隨之發(fā)展，成為天文運(yùn)算的重要工具之一。借助三角學(xué)，可以通過采用角度測(cè)量、三角測(cè)量和三角函數(shù)的方法，測(cè)量行星之間的距離，確定其位置，并確定星星運(yùn)動(dòng)的反向速度，還可以計(jì)算一個(gè)天體的角度大小以及距離等。這些計(jì)算可以幫助天文學(xué)家研究脈沖星和黑洞等天體，促進(jìn)天文學(xué)的發(fā)展。

同學(xué)們由此可認(rèn)知到是實(shí)際生活的需求促進(jìn)了天文學(xué)的發(fā)展，天文學(xué)的發(fā)展又促進(jìn)了三角學(xué)的產(chǎn)生，學(xué)習(xí)與生活密不可分。通過自我思考發(fā)現(xiàn)天文學(xué)與數(shù)學(xué)之間的知識(shí)融合，激活自身對(duì)三角函數(shù)的探索興趣，促使學(xué)生思考能否使用同樣的方式去了解、掌握更多的知識(shí)，發(fā)現(xiàn)更多的樂趣，能否適用于解決實(shí)際生活中的其他問題，使學(xué)生更加關(guān)注真實(shí)豐富的日常生活，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和探索精神，增強(qiáng)動(dòng)手能力，從而促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。另外，有助于學(xué)生發(fā)揮主觀能動(dòng)性，進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的整合，構(gòu)建知識(shí)框架，提升文化認(rèn)知，了解天文學(xué)文化，發(fā)展核心素養(yǎng)。

第二環(huán)節(jié)觀星測(cè)量一——三角學(xué)的起源與第三環(huán)節(jié)思辨與發(fā)現(xiàn)——三角學(xué)的發(fā)展中可以讓學(xué)生學(xué)習(xí)到三角學(xué)是指基于三角形的邊角關(guān)系研究，達(dá)到間接解決復(fù)雜情況下測(cè)量問題的一門學(xué)科，初步意識(shí)到三角學(xué)在數(shù)學(xué)上可用于解決長(zhǎng)度、高度等測(cè)量問題。如大禹曾利用三角學(xué)的知識(shí)對(duì)山川地勢(shì)進(jìn)行測(cè)量記載；《周髀算經(jīng)》中則記載了直角三角形各邊之比的重要性；徐光啟等合編了中國(guó)第一部三角學(xué)著作——《大測(cè)》；清朝初年則有兩部較好的三角學(xué)入門書籍，是由當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家梅文鼎所編寫的《平三角舉要》和《弧三角舉要》，總共兩本，各五卷；同年，羅雅谷著《測(cè)量全義》引入了三角函數(shù)的概念，為天文歷法的制定提供了推算方法，即利用三角函數(shù)公式定理解三角形的具體方法。因此，在中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展史上，三角函數(shù)知識(shí)與天文學(xué)知識(shí)密切相關(guān)。

對(duì)以上兩個(gè)環(huán)節(jié)，在實(shí)際課堂教學(xué)中，要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，滲透數(shù)學(xué)史文化知識(shí)，切實(shí)落實(shí)以學(xué)生為主體的素質(zhì)教育理念，有利于學(xué)生接受有關(guān)三角學(xué)知識(shí)與天文學(xué)知識(shí)的新內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和動(dòng)手能力，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。對(duì)三角學(xué)發(fā)展史的資料收集既是學(xué)生動(dòng)手操作收集材料的過程，也是認(rèn)識(shí)三角學(xué)數(shù)學(xué)史的過程，有助于培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維，了解三角學(xué)發(fā)展的歷程，讓學(xué)生能夠以客觀、辯證的眼光看待數(shù)學(xué)問題，利用文化知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)場(chǎng)景，使三角函數(shù)不再成為神秘的知識(shí)，從而產(chǎn)生親近感，對(duì)之后三角函數(shù)的運(yùn)用與掌握產(chǎn)生自信。該過程有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題的來源，更有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等學(xué)科核心素養(yǎng)。

在當(dāng)今素質(zhì)教育的主流趨勢(shì)下，將“閱讀與思考——三角學(xué)與天文學(xué)”融合在課堂教學(xué)中，關(guān)注培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，凸顯“閱讀與思考——三角學(xué)與天文學(xué)”的輔助引領(lǐng)作用，能幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的魅力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化與應(yīng)用價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的提升。利用學(xué)生的主體作用在課堂環(huán)節(jié)滲透“閱讀與思考——三角學(xué)與天文學(xué)”內(nèi)容，能直接影響學(xué)生思維的開拓以及思維品質(zhì)的提升。

第四環(huán)節(jié)自成一派——三角學(xué)的應(yīng)用中設(shè)計(jì)以下探究性問題：用已有的三角函數(shù)知識(shí)能否測(cè)量宇宙中某顆恒星到地球的距離？如何測(cè)量？請(qǐng)小組內(nèi)思考并進(jìn)行討論。此環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生解決問題時(shí)補(bǔ)充以下知識(shí)：

1. 視差即從地球上觀測(cè)某一顆恒星時(shí)，由地球軌道上位置的變化而產(chǎn)生方向上的差異。

2. 周年角位移又叫周年視差即恒星從右邊“移動(dòng)”到了左邊，所產(chǎn)生的偏移量。

3. 太陽(yáng)與地球的絕對(duì)距離被稱作“天文單位”，記為1AU。

1AU=1.49597870×1011米，近似1.496億千米

5. “角秒”即一度的三千六百分之一。觀察者與一顆視差角為1角秒的恒星的距離被稱作“1秒差距”，相當(dāng)于地球與太陽(yáng)距離的206265倍，也就是206265AU。

6. 定義；秒差距是視差角度的倒數(shù)，它是天體距離的單位。

緊接著提出具體問題：一顆恒星的周年視差是0.08″，它到地球的距離是多少光年？預(yù)留足夠的時(shí)間給學(xué)生進(jìn)行思考，請(qǐng)學(xué)生進(jìn)行解答，最后展示解答過程。

解：∵p=0.08″，

∴α=0.04″，

∵1秒差距=3.26光年，

∴BC=25×3.26=81.5光年。

該環(huán)節(jié)引領(lǐng)學(xué)生手腦并用，運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象基本思想，對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行思考，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，利用邏輯推理能力對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析推導(dǎo)，以達(dá)到解決問題的效果。

圍繞以學(xué)生為主體這一理念，順應(yīng)學(xué)生發(fā)展需求和認(rèn)知特點(diǎn)，切實(shí)落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。教學(xué)方式的改革要徹底打破傳統(tǒng)的以教師為中心、學(xué)生被動(dòng)接受知識(shí)的灌輸式教學(xué)方式，將學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，實(shí)行以學(xué)生為中心的翻轉(zhuǎn)式課堂教學(xué)方式。以探究三角學(xué)與天文學(xué)為導(dǎo)向，將多學(xué)科知識(shí)融于同一節(jié)課堂教學(xué)當(dāng)中，實(shí)際問題解決中，強(qiáng)化啟發(fā)式、討論式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生利用跨學(xué)科綜合知識(shí)進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)。

（三）問題預(yù)設(shè)及處理方法

問題廣泛，事倍功半，三角學(xué)與天文學(xué)涉及范圍廣泛，需明確本節(jié)課主要內(nèi)容，合理安排課堂時(shí)間與內(nèi)容。

首先，教師本身備課時(shí)要預(yù)設(shè)好足夠的時(shí)間，做好輕重點(diǎn)區(qū)分，避免“頭重腳輕”，關(guān)鍵環(huán)節(jié)、重點(diǎn)內(nèi)容時(shí)間不夠的問題出現(xiàn)。將天文學(xué)的發(fā)展與三角學(xué)的起源以及三角學(xué)的發(fā)展總共三個(gè)分享環(huán)節(jié)，每個(gè)小組分享時(shí)間為5分鐘，預(yù)留5分鐘的交流補(bǔ)充時(shí)間，總共花費(fèi)20分鐘。對(duì)三角學(xué)的應(yīng)用預(yù)設(shè)15分鐘的探究研討時(shí)間，看好具體課堂安排。

其次，課前作業(yè)布置部分，若沒有給學(xué)生明確的提示，學(xué)生極有可能花費(fèi)大量時(shí)間收集與本節(jié)課無關(guān)的資料，容易使學(xué)生產(chǎn)生挫敗感，違背設(shè)計(jì)初心。因此，作業(yè)布置要有明確的針對(duì)性，提醒學(xué)生查找方向，強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)：對(duì)天文學(xué)的發(fā)展資料，注意收集與日常生活的實(shí)際需求以及測(cè)量推算相關(guān)的材料，尤其是設(shè)計(jì)平面三角學(xué)、球面三角學(xué)的內(nèi)容，其余內(nèi)容可簡(jiǎn)略查找；對(duì)三角學(xué)的起源，注意收集是什么情況下的什么實(shí)際需求促進(jìn)三角學(xué)的出現(xiàn)，其標(biāo)志是什么；對(duì)三角學(xué)的發(fā)展，明確時(shí)間、事件。

再次，任務(wù)分工不明確。布置小組任務(wù)時(shí)，只告知要收集三角學(xué)與天文學(xué)材料，而未提醒需要做好總結(jié)并且在課堂上需要有一位小組代表在5分鐘內(nèi)分享組內(nèi)成果，如此將導(dǎo)致課堂分享環(huán)節(jié)學(xué)生相互推脫，耗費(fèi)時(shí)間，無法達(dá)到預(yù)期效果。因此布置任務(wù)需要明確分工的同時(shí)，強(qiáng)調(diào)明確任務(wù)，給學(xué)生預(yù)留充足時(shí)間做好各項(xiàng)準(zhǔn)備。可在布置作業(yè)時(shí)列舉實(shí)際分工方案以及注意事項(xiàng)。

最后，教師評(píng)價(jià)模糊。給學(xué)生的評(píng)價(jià)籠統(tǒng)官方，讓學(xué)生不知好在什么地方，不評(píng)價(jià)學(xué)生的努力與收獲，而評(píng)價(jià)聰明智商。比如：這個(gè)學(xué)生分享的內(nèi)容太好了——好在什么地方學(xué)生不知道。又比如，一節(jié)課教師口頭頻頻出現(xiàn)“棒、棒，你真棒”。一味單調(diào)長(zhǎng)時(shí)間地賞識(shí)學(xué)生，會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生“贊美疲勞”，喪失了新鮮感，感覺努力無用，就起不到應(yīng)有的激勵(lì)作用。因此，教師在課堂執(zhí)行過程中也要認(rèn)真傾聽學(xué)生分享內(nèi)容，做出具體明確的評(píng)價(jià)，使學(xué)生感受到自身回答的價(jià)值和老師的重視。

四、 結(jié)論

無論是2004年的人教版還是2019年的人教A版中“閱讀與思考——三角學(xué)與天文學(xué)”均安排在三角函數(shù)的概念之后，作為拓展延伸部分的材料提供學(xué)生學(xué)習(xí)。在常規(guī)教學(xué)中，不會(huì)將“三角學(xué)與天文學(xué)”作為正課內(nèi)容引用，忽略了三角學(xué)數(shù)學(xué)史內(nèi)容的灌輸學(xué)習(xí)，使學(xué)生缺乏此方面的認(rèn)知，只知道三角函數(shù)的突然出現(xiàn)，以及計(jì)算復(fù)雜，不利于提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)三角函數(shù)的興趣與信心。

若將“閱讀與思考——三角學(xué)與天文學(xué)”這個(gè)模塊的內(nèi)容作為三角函數(shù)第一章節(jié)第一課時(shí)的內(nèi)容，順應(yīng)素質(zhì)教育要求的同時(shí)可拓寬學(xué)生視野，使學(xué)生意識(shí)到三角函數(shù)并非天降，而是我們實(shí)際生活的需求促使了它的產(chǎn)生并發(fā)展，三角函數(shù)的存在簡(jiǎn)化了我們的大數(shù)據(jù)計(jì)算。

對(duì)“閱讀與思考——三角學(xué)與天文學(xué)”的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解三角學(xué)歷史的同時(shí)，了解到三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)的形成過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)，深化知識(shí)源于生活的認(rèn)知。

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