結構生長：思維從“分化”走向“融合”
——“認識周長和面積”教學實踐與思考

江蘇如皋市外國語學校 （226500） 丁 洪

周長和面積是測量專題教學的兩個重要內容。事實上，物體表面的周長和面積同時存在，如數學書封面一周邊線的長就是它的周長，數學書封面的大小就是它的面積；封閉平面圖形的周長和面積兼而有之，如長方形一周邊線的長就是它的周長，長方形內部的大小就是它的面積。應該說，對于同一個測量對象而言，周長和面積顯然“和諧共生”，不可分割，但是它們明顯“合而不同”。

考慮“怎么教”之前首先要考慮“教什么”。就周長和面積而言，先教周長，后教面積，是現行大部分教材編排的選擇。從知識本位角度來看，這樣的編排遵循了知識的內在邏輯，它較為理性地從“一維的線”逐步過渡到“二維的面”，專題教學似乎試圖通過時間差，努力實現知識點的個別強化和穩步推進，線性處理的痕跡一覽無余。但是，從學生本位角度來看，這樣的編排有人為割裂之嫌，一方面它忽視了知識的整體建構，使得周長的教學對面積“視而不見”，面積的教學也對周長“避而不談”，學生獲得的只是單個的知識點，而非是對測量對象的結構把握；另一方面它忽視了學生的認知特點，因為小學生空間觀念的建立存在特殊性，根據“混而不錯”的現實路徑，學生完整經歷的是體—面—線—面—體的體驗過程，進一步說，學生對面積大小的感覺要比對周長長短的感覺更為強烈，如果單純學習周長而壓抑對面積的認知，或者是單純凸顯面積不去關聯周長，教師的教會顯得不自由，學生的學會顯得不自在，空間觀念的滲透會顯得不自然。

想要走出現實困境需要付諸行動。教學先從學生熟悉的平面圖形入手，以“外描線段”引出周長，以“內刷表面”引出面積，然后緊扣周長和面積的本質內涵，通過看、數、悟等不同層次的鏈式對比，有序“生長”出相關的概念、判斷和推理的能力，最終在變與不變的思辨中實現智慧學習。

一、聯中比——生長出概念

（一）猜一猜

師（出示積木）：仔細觀察，你看到了哪些熟悉的立體圖形？請說出它的名字和特征。

（學生辨認長方體、正方體、圓柱等立體圖形，并用手勢和語言描述各圖形的特征。）

師（出示圖1）：如果像他們這樣分別描出立體圖形的一個面，你猜描出是什么平面圖形？

圖1

（學生在搶答中快速確認描出的是長方形、正方形、三角形和圓。）

（二）描一描

師：長方形是由幾條線段圍成的？正方形和三角形呢？描一描、數一數。

生1：長方形是由4條線段圍成的。

生2：正方形也是由4條線段圍成的。

生3：三角形是由3條線段圍成的。

師：像這樣，就能描出平面圖形的所有邊線（操作略）。

（三）刷一刷

師：這里有一把小刷子，咱們一起給長方形內部刷上顏色。

師（在長方形內部橫著刷一部分，指著留白的地方）：刷好了嗎？

生4：沒有。

師：為什么？

生5：還有空白，還要刷。

師：再刷一刷子，這樣就——

生6：刷好了。

師（出示正方形和三角形）：這兩個圖形的內部可以怎樣刷色？

（學生回答略）

（四）理一理

師（出示圖2）：長方形所有邊線的長度，就是它的周長。長方形整個表面的大小，就是它的面積。顯然，長方形既有周長，也有面積。那正方形和三角形呢？

圖2

生7：正方形既有周長，也有面積。

生8：三角形既有周長，也有面積。

師（出示其他平面圖形，圖略）：這些平面圖形也有周長和面積嗎？

生9：都有。

師：看來，平面圖形既有自己的周長，也有自己的面積。今天，我們就來認識它們。（板書課題：認識周長和面積）

【思考：概念的建立是理性認識的初級階段。新概念往往表現出基礎性、生長性和發展性的特征。首先，“描一描”調用了“長方形和正方形的直觀認知”和“線段認知”，如果把“描”出的每一根線段看成是局部理解（有具體長度），那么“描出平面圖形的所有邊線”就為平面圖形周長概念的建構做了鋪墊。其次，“刷一刷”調用了“長方形和正方形的直觀認知”和“面的大小感知”，“刷好了嗎？”的追問是激活學生對圖形大小的經驗，而后續更換刷色對象則是遷移和強化認知體驗，使得要求“刷出平面圖形的整個表面”變得像呼吸一樣自然。最后，“編筐編簍重在收口”，一方面直觀地揭示了周長和面積的數學本質，實現了概念從“感性”到“理性”的必要切換；另一方面通過結構化定性“長方形既有周長也有面積”，驅動學生即時練習、遷移內化和形成表象，使學生經歷概念從“特殊”到“一般”的螺旋上升的過程。】

二、看中比——生長出判斷

（一）剝一剝

師（拿出一個長方形塑料板，請學生用手指描一描周長，用手掌刷一刷面積）：接下來，老師要變個魔術——把長方形塑料板的一周邊線全部“剝”下來，請仔細觀察。

師：現在終于“剝”完了它的一周邊線。把它拉直了，其實就是——

生1：一根長長的線段。

師：它里面包含幾根小線段？

生2：4根。

師：這根線段的長度就是這個長方形的——

生3：周長。

（二）辨一辨

師（出示圖3）：大家表現得真好！給大家獎勵一顆五角星。如果要將這顆五角星的周長描下來，這樣描對嗎？

圖3

生4：不對，少描了一條線段。

師：要想表示五角星面積，該怎么樣去刷色？

生5：把它刷滿，就像左邊五角星的樣子。

師：看來，周長就是一周邊線的長度，一條邊都不能缺（板書：一周邊線的長）。面積就是圖形內部的大小，一塊面都不能少（板書：圖形內部的大小）。

（三）比一比

師（出示圖4）：這里有兩個長方形，用一種顏色的水彩筆描出它的周長，用另一種顏色的水彩筆涂出它的面積，請動手試一試。

圖4

（在學生畫完后，教師組織學生重點交流“周長在哪里”和“面積在哪里”。）

師：哪個圖形的面積比較大？哪個圖形的周長比較長？

師：借助所畫作品，與同桌說清楚“周長怎么比？面積怎么比？”。

生6：面積比的是圖形內部的大小，我能直接看出來，左邊長方形的面積比較大。周長比的是一周邊線的長，分別比上邊、下邊、左邊和右邊，一共比4次，我發現左邊長方形的周長比較長。

生7：對于周長，我只要比2 次。先豎著比，發現它們一樣長，再橫著比，發現左邊的長。這樣左邊長方形的周長就長一些。

師：無論是對應地比4 次，還是根據長方形對邊相等的特點巧妙地比2 次，比周長都是在比什么？

生（齊）：一周邊線的長。

【思考：判斷的運用是理性認識的第二階段。一般概念形成之后，必然跟進相應的判斷。具體來說，是否“剝”下了長方形的“一周邊線”是第一次判斷，其間的追問和互動都指向周長的本質內涵，即圖形一周邊線的長，不是一根或幾根，而是所有邊線的總和才能稱為周長；五角星的周長“描得對嗎？”是第二次判斷，通過現場指認、示范修正和描述解釋，周長的概念逐漸完整，從而深入人心；第三次判斷發生在兩個長方形之間的比較，對于“哪個圖形的面積比較大？”“哪個圖形的周長比較長？”都需要講清楚“比哪里？”“怎么比？”，無論是一一對應比4次，還是簡化之后比2次，其實都是基于概念的判斷行為，看似形式不同，其實本質相通。】

三、數中比——生長出推理

師：有一面白色的墻面，需要貼上正方形的瓷磚，先貼上第1塊，這一塊瓷磚有周長和面積嗎？

生（齊）：有。

（師生互動，邊貼邊數第一排瓷磚。）

師（整體出示第二排到第四排瓷磚，并介紹兩塊花瓷磚，在出示第五排瓷磚之前追問）：墻面貼滿了嗎？

師（出示圖5）：這兩塊花瓷磚，你還能一下子看出哪個周長比較長，哪個面積比較大嗎？

圖5

生1（用手比畫）：左邊的花瓷磚橫著長，豎著短；右邊的花瓷磚橫著短，豎著長，看不出來。

師：怎么辦？

師：把小正方形的邊長看成1 個長度單位，數一數并標出周長有幾個小正方形邊長；把小正方形的面積看成1 個面積單位，數一數并標出面積有幾個小正方形面積。組內交流“怎么數”和“怎么比”。

生2：左邊花瓷磚的周長有12 條小正方形邊長這么長，右邊花瓷磚的周長也有12 條小正方形邊長這么長，它們的周長相等。

生3：左邊花瓷磚的面積有8 個小正方形這么大，右邊花瓷磚的面積有9 個小正方形這么大。右邊花瓷磚的面積大。

師（出示圖6）：我們是先確定數的單位，再數出單位的個數，然后順利比出結果。

圖6

【思考：推理的介入是理性認識的第三階段。具體來說，第一階段是看著不好比，其實質是部分判斷之間雖然有聯系，但是對于整體“一周邊線”而言，并不能將這些單個的判斷有機整合而形成新的判斷，換句話說，“推理”在這里難以進行；第二階段是數著比，其實質是借助小正方形瓷磚的邊長為1個長度單位，分別數出“周長有12 條小正方形邊長這么長”，借助小正方形的面積為1 個面積單位，分別數出“面積有8 個小正方形這么大”和“面積有9個小正方形這么大”。這樣，無論是周長，還是面積，因為有了聯結的工具，即“相同單位”，所以可以產生新的判斷，最終順利推理出“它們的周長相等”和“右邊花瓷磚的面積大一些”的結論。最后，借助動態演示和過程梳理，使得推理的要點和路徑得以可視化、結構化和一般化。】

四、悟中比——生長出智慧

（一）初次變

師（出示圖7）：大正方形瓷磚由9 塊小正方形組成。接下來，我要變魔術了，你說變，它就變！

圖7

生（齊）：變！變！變！

師（出示圖8）：與原來大正方形瓷磚相比，你能一下子判斷下面瓷磚的面積和周長哪個變了嗎？

圖8

生1：面積肯定變了，因為都少了一些小正方形。

師：有道理。那么，周長到底變了沒有？請沿著現在的瓷磚一周邊線數一數和比一比。

生2：左邊瓷磚的周長有12 條小正方形邊長這么長。與原來相比，周長不變。

生3：中間瓷磚的周長有12 條小正方形邊長這么長。與原來相比，周長也不變。

生4：右邊瓷磚的周長有14 條小正方形邊長這么長。與原來相比，周長變了。

師：看來，瓷磚面積都發生變化，但是瓷磚一周邊線的長度，有的不變，有的變了。

（二）再次變

師：老師又要變魔術了，先將大正方形瓷磚平均分成兩塊小長方形，然后拼接；或者，將大正方形瓷磚平均分成兩塊小三角形，然后拼接。你說變，它就變！

生（齊）：變！變！變！

師（出示圖9-1、圖9-2）：與原來大正方形瓷磚相比，你能判斷現在瓷磚的面積和周長哪個沒有變嗎？

圖9-1

圖9-2

生5：面積沒有變，因為沒有多一塊，也沒有少一塊。

師：描一描現在瓷磚的一周邊線，與大正方形瓷磚相比，哪一部分一樣長，哪一部分變化了？

（學生先獨立思考，再組內交流，最后匯報。）

生6：我來說圖9-1 的瓷磚。它橫著的4 條邊線與正方形的4 條邊線一樣長，豎著的2 條邊線是多出來的，所以周長變了。

生7：我來說圖9-2 的瓷磚。它橫著的2 條邊線與正方形橫著的2 條邊線一樣長，斜著的兩條邊線比正方形豎著的邊線要長，所以周長變了。

師：先確定一樣長的部分，再確定變化的部分，最后合起來推理得到結論。為你們點贊！

（三）終極變

師（出示圖10）：老師將大正方形瓷磚分割后變成——

圖10

生（齊）：七巧板。

師：七巧板可以拼接成有趣的圖案，你看到了什么？

生（齊）：小魚、小鵝和小羊。

師：你猜，拼成的圖案和原來正方形相比，面積變了嗎？周長呢？這個問題留給同學們課后思考。

【思考：智慧的演繹是理性認識的綜合階段。只有在認知的最近發展區和稍復雜的境遇下，智慧才能找到迸發的土壤和契機。具體來說，圖形第一次的變化較為“溫和”，解決面積的變化問題時，有的學生根據“圖形內部的大小在減少”，運用概念直接判斷，有的學生借助“單位思想”逐步量化，間接地解決問題；解決周長的變化問題時，學生選擇了“單位思想”，量化后再比較。這對于三年級的學生來說是可行的，畢竟智慧生長離不開方法的基礎遷移。圖形第二次的變化較為“劇烈”，原因不在面積（因為可以借助直觀演示，運用概念直接判斷），關鍵是周長的變化問題，在問題“與大正方形瓷磚相比，哪一部分一樣長，哪一部分變化了？”的引導下，學生將“一周邊線”解構成兩個部分，先各個擊破，然后再有機重構和推理。因為階段結構認知和理解水平的局限，有時學生智慧的生長仍然需要教師的適時點撥。圖形第三次的變化較為“深遠”，與前面變化不同的是，七巧板的分割內容和拼接情況更為復雜，這里不需要學生即時回答，而是留下“未完待續”的活動，巧妙地將學習從課堂引向課外，鼓勵學生動手操作、對比思考和感悟規律。顯然，這樣處理，智慧生長的空間已經從“有限精彩”走向了“無限可能”。】