數據驅動下的聲學器件音質優化*

許 磊, 張維聲, 朱 寶, 郭 旭

(大連理工大學 工程力學系, 遼寧 大連 116024)

0 引 言

近幾十年來,結構設備和電子器件的聲學性能逐漸成為工程設計中的一個研究熱點．隨著聲學器件的性能需求的提升,相關設計問題也不斷面臨新的挑戰．

為了滿足聲學設計要求,拓撲優化[1-3]已被廣泛地應用于聲學優化設計中．2007年,Yoon等[4]提出了一種混合有限元公式,并結合變密度法(SIMP)有效地解決了材料在結構域與聲學域之間的平穩過渡,實現了參考域內的聲壓水平最小化設計．Du等[5]考慮了結構與周圍聲學介質間發生耦合作用,通過對無阻尼振動雙材料彈性結構進行拓撲設計,實現了結構振動傳遞到聲介質的聲能最小化．Lee等[6]采用正態導數積分方程求解了薄體結構的聲學問題,并使用遺傳算法對薄體結構的孔洞設計進行了拓撲優化．Hu等[7]提出了一種基于混合有限元公式和替代材料模型的浮動投影拓撲優化方法,能夠有效地降低聲學優化問題中由極高的質量和剛度比引起的人工局部振動模式．

盡管現階段在聲學拓撲優化設計方面已開展了諸多研究,但大多關注的是單一頻率下的聲壓/聲能最小化設計[8-10],而對頻帶內音質的提升關注較少．在電子聲學器件中,音質指的是在某一頻帶內,聲音能夠以一定的幅值強度平穩輸出．音質優化一般將關注頻帶離散成一定數量的頻點,并對所有頻點的聲學響應進行協同優化．事實上,當頻帶內離散的頻點數量足夠多時,聲頻響曲線的表現精度會更高．然而伴隨著高精度的聲曲線輸出,大規模頻點響應的反復優化使得問題的可求解性大幅降低．

針對上述問題,本文提出了一種基于人工神經網絡的聲-結構耦合系統的顯式拓撲優化框架．在該框架下,采用MMC[11]顯式描述結構域與聲學域的邊界,并以人工神經網絡模型代替求解耗時的有限元計算模型對聲-結構系統的聲頻響進行預測,從而實現音質優化問題的快速求解．

1 聲-結構系統優化模型

在本文中,音質優化的目標是通過改變設計域的拓撲結構來找到最優的聲學結構(如圖1所示),從而提高某一頻帶內聲壓頻響的幅值,改善頻帶內聲頻響的均勻性．引入2014年由Guo等[11]提出的MMC法,以聲學指標I最小化為目標函數,優化列式可以表述為

圖1 聲學優化問題示意圖Fig. 1 Schematic diagram of the acoustic optimization problem

(1)

其中,di(i=1,2,…,N)為第i個組件的設計變量向量,N為組件總數;Ud為d的可行集;I為由聲壓表示的目標函數;K為總體剛度矩陣;F為全局載荷向量;U為包括機械場和聲場的結構響應;Da為給定的設計域;γ為在0和1之間的體積分數．

式(1)中,忽略體積力,聲-結構耦合系統控制方程KU=F的離散形式為

(2)

其中,ω=2πf為角頻率;ρa為聲學材料密度;Kuu和Muu分別為結構剛度矩陣和結構質量矩陣;Kpp和Mpp分別為聲學剛度矩陣和聲學質量矩陣;Kup為耦合矩陣;u和p分別為結構位移向量和聲壓向量;fu和fp分別為結構載荷向量和聲力向量．式(2)的詳細推導過程和公式表達可參見文獻[12-13]．

對于聲壓級最大化問題,目標函數可以表示為

I1=-‖pi‖2, ?i∈[fl,fu],

(3)

其中,pi表示頻帶[fl,fu]內頻點i的聲壓頻響．而對于音質優化,需要對聲壓幅值和均勻性同時進行優化,目標函數可以表示為

(4)

(5)

其中,Nf是離散頻率點的總數,p是一個懲罰因子,在本文中,p=6．

2 方 法 介 紹

2.1 MMC方法介紹

在MMC拓撲優化框架中,結構構型可以由一系列組件通過移動、變形、旋轉等行為搭建而成,這些組件可以由拓撲描述函數顯式表達．在本文中,一個2維結構組件的拓撲描述函數[14]可以表示如下:

(6)

其中

(7)

(8)

在這里,向量d=(x0,y0,L,t1,t2,t3,θ)表示組件的設計變量．其中,(x0,y0)表示組件中心點的坐標,L表示組件的半長,t1,t2,t3分別為組件兩端和中間的半寬,θ表示坐標系x′O′y′相對于坐標系xOy的傾斜角,m為一個較大的偶數,在本文中,m=6．向量d所描述的組件如圖2所示．

圖2 一個二維結構組件Fig. 2 A 2D structural component

對于每個組件,第i個組件占據材料域Ωi和邊界?Ωi的拓撲描述函數如下:

(9)

其中,x為設計域Da中的任意一點并且Ωi?Da,φi(i=1,2,…,N)為第i個組件的拓撲描述函數．由此,設計域內所有結構組件的拓撲描述函數可以寫為

(10)

2.2 靈敏度計算

為了求解優化公式,采用伴隨法求出目標函數/約束函數對設計變量的靈敏度．式(4)中音質問題的目標函數I2關于設計變量x的導數為

(11)

其中

(12)

(13)

在本文中,由于目標函數I是由神經網絡模型預測獲得的,因此可以直接通過有限差分法來計算目標函數I對設計變量x的導數,這對復雜問題的靈敏度計算十分有效．

2.3 BP神經網絡模型原理

近些年來,數據驅動方法得到了快速發展,并在力學領域的求解計算方面開展了諸多應用[15-17]．本文通過構建基于BP神經網絡的聲-結構耦合系統頻響預估模型,可以快速準確地預測聲頻響．典型的BP神經網絡分為3個層次:輸入層、隱藏層、輸出層．每一層包含一組神經元,神經元和連接它們的各種權重組成了神經網絡．通過輸入一定數量的數據集,并對其進行訓練,神經網絡可以快速準確地預測一系列輸入所對應的輸出．

在本文中,以結構組件的幾何參數和激勵頻率作為輸入變量,以聲壓頻響作為輸出變量,構建用于預測聲-結構耦合模型聲頻響的BP神經網絡模型．BP神經網絡模型詳細的構建過程如下:

1) 采集數據．使用Latin超立方采樣(Latin hypercube sampling,LHS)均勻產生組件幾何參數d和激勵頻率f,并與仿真計算得到的目標函數I一起作為數據樣本．

2) 預處理數據．為了避免奇異樣本的出現,對原始數據進行歸一化處理,使得數據映射在[-1,1]之間．

3) 建立BP神經網絡．BP神經網絡包含1個輸入層、10個隱藏層、1個輸入層．輸入層包含15個神經元,每個隱藏層包含200個神經元,輸出層包含1個神經元．

4) 設置訓練參數、測試性能及計算誤差．設置包括學習率、一次性選取樣本數、訓練周期等相關參數．對建立的模型性能進行檢測,通過計算均相對誤差(mean relative error,MRE)對模型的預測結果進行評估．

圖3為使用BP神經網絡模型進行音質優化的流程圖．

圖3 利用BP神經網絡進行音質優化流程Fig. 3 The flow chart for the sound quality optimization with the BP neural network

3 數 值 算 例

3.1 有限元模型

如圖4所示:聲-結構耦合模型左側為結構域, 材料為塑料, 尺寸為0.2×10, 上下為固定邊界, 載荷F=1 N;右側為聲學域并充滿空氣,尺寸為20×10,上下為聲場硬邊界,右邊界為聲場輻射邊界,左邊界為聲-結構耦合邊界．聲學設計域尺寸為2.5×10,與耦合邊界相距5,點A為聲輻射邊界中點．在本文中,為了解決聲壓級最大化和音質優化兩個不同的問題,模型的尺寸單位分別采用mm和cm．整個結構離散化采用202×100的均勻網格．

圖4 一個簡化的二維聲-結構耦合模型Fig. 4 A simple 2D acoustic-structural coupled model

我們為了簡化計算,隨機產生14個幾何參數生成2條結構組件,然后通過對稱操作在設計域上方生成2個鏡像組件,組件的內部材料為鋁．材料屬性如表1所示．

表1 3種材料的參數

針對聲壓級最大化和音質優化兩個問題,24萬組單頻(頻率為7 000 Hz)聲學響應數據樣本和18萬組多頻(頻帶范圍為3 000～4 000 Hz)聲學響應數據樣本分別被收集并用于訓練BP神經網絡,計算所得MRE均在1%以下．

3.2 聲壓級最大化問題

圖5 組件初始布置和最終優化設計

圖7顯示了純空氣設計與最優設計的聲壓級場分布．圖8為純空氣設計與最優設計的聲壓級曲線,可以發現7 000 Hz下點A處的聲壓級由102.89 dB提升至107.43 dB,優化效果顯著．

(a) 純空氣設計 (b) 最優設計(a) The pure air design (b) The optimized design

圖8 純空氣設計和最優設計的聲壓級曲線([6 000 Hz, 10 000 Hz])Fig. 8 SPL curves of pure air design and the optimized design ([6 000 Hz, 10 000 Hz])

3.3 音質優化問題

接下來是音質優化．在3 300～3 700 Hz頻帶范圍內均勻選取41個頻點,目標函數為I2,系數η=0.01．圖9顯示了最終優化構型,可以發現組件在設計域內形成了3個聲通道,中間的聲通道成左寬右窄狀,上下兩端各有一個不規則的狹窄聲通道．其中,上下兩端的聲通道有利于聲波向目標點A處聚集,能夠在一定程度上提升聲壓級值;而中間的聲通道形狀比較復雜,對聲波起到一定的反射和抑制作用,這一復雜的聲腔結構能夠有效地提高目標頻帶內聲壓級值的均勻性,有利于改善音質．圖10為目標函數和體積約束的歷史迭代過程,可以發現目標函數快速下降并在第46步后收斂．對最優構型進行有限元掃頻計算,圖11為純空氣設計和最優設計的聲壓級曲線,可以發現在3 300～3 700 Hz頻帶內,純空氣結構的聲壓級曲線出現了明顯的波峰與波谷,聲壓級大小在32.99 dB至77.88 dB范圍內(差值為44.89 dB)．而最優結構的聲壓級在68.93 dB至75.42 dB范圍內(差值為6.49 dB),聲壓級頻響曲線更加平穩,音質得到了顯著提升．另外,本算例中,200迭代步只花費了446 s,相比完全基于有限元與解析敏度的優化計算(41個頻點,200迭代步花費7 300 s),求解速度約為之前的16.3倍．對于三維聲學器件模型,使用上述優化方法同樣可以快速得到最優拓撲構型,并能夠有效改善音質．三維算例的具體流程與二維情況相同,這里不再贅述．

圖9 最終優化構型Fig. 9 The final optimized design

圖11 純空氣設計和最優設計的聲壓級曲線([3 000 Hz, 4 000 Hz])Fig. 11 SPL curves of the pure air design and the optimized design ([3 000 Hz, 4 000 Hz])

4 結 論

本文針對音質優化問題,利用人工神經網絡建立了聲-結構系統的聲頻響預測模型,解決了由于結構設計參數、激勵頻率與聲頻響之間的非線性關系造成理論建模困難的問題．結合MMC顯式拓撲優化方法的少量幾何參數,極大地降低了神經網絡模型的輸入維度．利用LHS得到均勻分布的幾何設計變量和激勵頻率,與有限元計算的聲頻響作為數據樣本,通過訓練得到了神經網絡模型．數值算例驗證了神經網絡預測結構聲頻響的準確性,預測值和優化過程的真實值之間的吻合性很好．利用訓練好的神經網絡對聲學結構進行音質優化,所得最優結構可以有效地將目標頻帶內的聲壓級范圍差從44.89 dB縮小至6.49 dB,聲學器件音質改善明顯．另外,在該方法下,目標函數可以快速收斂,相較于基于有限元與解析靈敏度的優化計算,求解速度約為之前的16.3倍,計算效率得到了大幅提升．