一維六方準晶非周期平面內中心開口裂紋的平面熱彈性問題*

趙雪芬, 盧紹楠, 馬園園, 張保文

(1. 寧夏大學 信息工程學院, 銀川 750021;2. 寧夏大學新華學院, 銀川 750021;3. 寧夏大學 數學統計學院, 銀川 750021)

0 引 言

1984年,研究人員發現準晶體同時具有非晶體學旋轉對稱性和準周期平移對稱性[1]．準晶體中聲子場和相位子場共存, 其中聲子場相當于傳統晶體的彈性場, 相位子場位移可以理解為對基本晶格的另外一種擾動．相位子相應的元激發,表現出擴散行為[2]．由于材料的脆性,準晶對裂紋、孔洞、夾雜等其他缺陷很敏感[3]．這些缺陷的存在顯著影響了準晶的物理和力學性能．為此,許多學者對準晶斷裂問題進行了大量的研究．Li等[4]研究了一維六方準晶無限空間中半無限Dugdale裂紋尖端的塑性變形,估算了裂紋前緣塑性區的范圍,并給出了擴展裂紋外的法向應力和裂紋表面位移．Yu和Guo[5]考慮了一維六方準晶帶中Ⅲ型共線裂紋的奇異彈性場問題,通過第一類和第三類完全橢圓積分,導出了聲子場和相位子場在裂紋尖端的應力強度因子．在考慮壓電效應的作用下,盧紹楠等[6]基于復變函數方法研究了含界面共線裂紋的一維六方壓電準晶雙材料的斷裂行為,求出了問題的精確解．

實驗發現,傳統方法制備的準晶僅在高溫下穩定[7-8]．為了提高材料的使用壽命,關于準晶熱力學性能已廣泛展開了實驗和理論方面的研究[9-12]．基于廣義不連續位移法,Fan等[13]研究了熱效應下一維六方準晶非周期平面裂紋問題．利用廣義勢理論方法,Li等[14]考慮了在一對均勻熱流作用下無限大一維六方準晶中幣形裂紋的反平面斷裂問題,得到了溫度、位移和應力的解析表達式．Zhang等[15]借助于Hankel積分變換技術,分析了一維六方準晶涂層在熱機械載荷作用下界面裂紋的三維問題,導出了界面位移和溫度不連續的基本解．Guo等[16]研究了含有導熱橢圓孔的二維十次準晶的熱彈性問題,考慮了橢圓孔的導熱性,利用復變函數方法求得了應力的精確解．上述文獻均假設缺陷處于閉合狀態,其中文獻[13-15]中裂紋是絕熱的(熱非滲透),文獻[16]中缺陷是完全熱導通的(熱滲透)．

工程實際中,當材料加載外載荷時,裂紋內部并不是完全閉合狀態．張開的裂紋內部會充滿具有導熱性的介質(比如空氣等)．基于此,本文考慮裂紋內部介質熱傳導率,利用Fourier積分變換和疊加原理,研究了一維六方準晶非周期平面內含有中心開口裂紋的平面熱彈性問題,得到了聲子場和相位子場應力的解析解．數值算例分析熱傳導率、外載荷、熱流密度和耦合效應對熱應力強度因子和應變能密度因子的影響規律．本文得到的結論可作為設計和評估準晶高溫材料的理論基礎．

1 基本方程及問題描述

一維六方準晶中,若準周期方向取z軸,則周期平面為xOy面．假設缺陷沿y軸穿透材料,這時在垂直于周期方向平面內的彈性問題可視為非周期平面彈性問題．一維六方準晶體非周期平面彈性問題的平衡方程、變形幾何方程、廣義Hooke定律分別為[17-18]

?jσij=0, ?jHij=0,

(1a)

(1b)

(1c)

這里,i,j=x,z,C11,C13,C33和K1,K2分別表示聲子場和相位子場彈性常數,R1,R2,R3為聲子場-相位子場耦合系數,σij,Hij分別為聲子場和相位子場應力分量,εij,ωij表示聲子場和相位子場應變分量,ui,wi代表聲子場和相位子場位移分量,β1,β3是熱模量常數,θ表示溫度變化．

將式(1b)和(1c)代入式(1a),可得偏微分方程組:

(2)

根據Fourier熱傳導理論可知

(3)

(4)

為了考慮開口裂紋內部介質熱物理特性的影響,選擇耦合邊值條件[19-20]:

(5)

其中,ε為考慮到實際情況的一個調節因子,是q0的無窮小量,λc是裂紋內部介質熱傳導率,Δu是裂紋張開位移．當λc=0,表示裂紋內部是絕熱的(熱非滲透);當λc→∞,表示裂紋內部是完全熱導通的(熱滲透);λc=0.024 W/(m·K)表示0 ℃時裂紋內部充滿空氣的熱傳導率．

如圖1所示,考慮一維六方準晶體非周期平面內含一條中心開口裂紋,裂紋位于x軸上,長度為2c．q0,σ0和h0分別代表無窮遠處的熱流密度、聲子場載荷和相位子場載荷．

圖1 均勻的熱流密度q0和外載荷σ0,h0作用下的中心開口裂紋Fig. 1 A central opening crack under uniform heat flux density q0 and stress σ0,h0

假設裂紋內部充滿介質,裂紋的邊值條件如下:

(6a)

(6b)

(6c)

其中,上標“+”和“-”分別代表z>0和z<0平面的物理量．

在裂紋外連續邊界條件可表示為

(7a)

(7b)

(7c)

(7d)

2 溫度場的全平面解

由于問題的對稱性,僅討論x>0部分．由式(4),利用Fourier積分變換,θ可表示為

(8)

其中A±(ξ)是未知的,δ±=±1．再由式(3),得

(9a)

(9b)

由于qz(x,z)在x軸上連續,可知

根據邊界條件(6a)和(7d),有

(10a)

(10b)

式(10a)和(10b)為對偶積分方程組,其解為[21]

(11)

這里,J1(·)是第一類Bessel函數．將式(11)代入式(8)、(9),得到溫度場的積分表達式為

(12a)

(12b)

(12c)

利用Bessel函數的積分結果[22],可得到溫度場全平面的精確解:

(13a)

(13b)

(13c)

其中

3 熱應力的全平面解

(14a)

(14b)

(14c)

對式(2)進行Fourier積分變換,得到

(15a)

(15b)

(15c)

aj=n2/n,bj=-n1/n,

(16a)

(16b)

(16c)

其中,A*±(ξ),B*±(ξ)和C*±(ξ)是未知的．將式(16)代入式(2),可得

(17)

其中

從而,應力的通解可表示為

(18a)

(18b)

(18c)

(18d)

(18e)

為得到式(18)的封閉解,可將問題等效為兩個問題的疊加: 第一個問題僅研究力作用,第二個問題僅討論熱載荷．首先,僅考慮力作用時的自由邊界條件為

(19a)

(19b)

結合式(18c)、(18e)和(19b),可以得到

(20a)

(20b)

其中

由式(6c)和(19a),可得

(21a)

(21b)

其中

κ1=-(C13-C33γ1a1-R2γ1b1)η1-(C13-C33γ2a2-R2γ2b2)η2-(C13-C33γ3a3-R2γ3b3)η3,

κ′1=-(R1-R2γ1a1-K1γ1b1)η1-(R1-R2γ2a2-K1γ2b2)η2-(R1-R2γ3a3-K1γ3b3)η3．

式(21a)和(21b)是對偶積分方程,其解為[21]

(22)

僅考慮熱載荷q0時,邊界條件可表示為

(23a)

(23b)

由式(18b)、(18d)和(23a),可得

(24)

由式(6b)和(23b),可得

(25a)

(25b)

為了求解上述對偶積分方程,引入函數

即

(26)

由式(25a)和(26),可得

(27a)

(27b)

(27c)

其中

M4=(C33R1-C13R2)(γ2a2-γ3a3)+(C13K1-R1R2)(γ3b3-γ2b2)+

M5=(C33R1-C13R2)(γ1a1-γ3a3)+(C13K1-R1R2)(γ3b3-γ1b1)+

M6=(C33R1-C13R2)(γ2a2-γ1a1)+(C13K1-R1R2)(γ1b1-γ2b2)+

將式(27)代入式(26),可得

(28)

其中

κ21=(C44a2+C44γ2+R3b2)[M2(γ3b3-γ1b1)+M3(γ1a1-γ3a3)]+

(C44a3+C44γ3+R3b3)[M2(γ1b1-γ2b2)+M3(γ2a2-γ1a1)]-

(C44N2+C44λN1+R3N3)M1-

(C44a1+C44γ1+R3b1)[M2(γ3b3-γ2b2)+M3(γ2a2-γ3a3)],

κ22=M5(C44a2+C44γ2+R3b2)+M6(C44a3+C44γ3+R3b3)-M4(C44a1+C44γ1+R3b1)．

由式(11),式(28)可改寫為

(29)

其中

式(29)是一個帶Cauchy核的第一類奇異積分方程,其解為

(30)

代入式(26),有

綜上,可得熱力荷載作用下應力場的全平面精確解:

(31a)

(31b)

(31c)

(31d)

(31e)

其中

對于z=0,x>c,有

(32a)

(32b)

(32c)

(32d)

(32e)

這里

qc2=λλzσ0[γ1(a3b2-a2b3)+γ2(a1b3-a3b1)+γ3(a2b1-a1b2)]+

λcκ1[(a2b3+γ2b3)-(a3b2+γ3b2)]．

4 熱應力強度因子

定義裂紋尖端熱應力強度因子為[23]

(33a)

(33b)

將式(32)代入式(33),可得

(34a)

(34b)

令裂紋尖端應變能密度因子S為[24]

(35)

其中,r表示距離裂紋尖端的位移,dW/dV表示一維六方準晶材料單位體積的應變能,

當λc=0時,式(34)和(35)退化為

(36a)

(36b)

(37)

5 數 值 結 果

表1 一維六方壓電準晶體彈性常數[15]

此外,取ε=0.02[20],λc=0.024 W/(m·K),q0=20 W/m2,σ0=80 MPa,c=0.1 mm．

圖2 隨λc/λz和σ0的變化趨勢Fig. 2 Variations of qc/q0, with λc/λz and σ0

圖3 和隨λc/λz的變化趨勢圖4 和隨σ0的變化趨勢Fig. 3 Variations of qc/q0, with λc/λzFig. 4 Variations of qc/q0, with σ0

圖5 隨q0變化Fig. 5 Variations of with q0

圖6 隨q0變化Fig. 6 Variations of with q0

圖7給出了σ0變化時,S/Sm隨q0的變化趨勢．可以看出:隨著σ0的增大S/Sm逐漸減小,當q0增大時,S/Sm緩慢增加．由文獻[26]可知,S/Sm越大材料的性能越好,可承受較大的外力．因此σ0越小準晶材料越不容易斷裂,而q0較大時準晶材料不容易斷裂,這也驗證了準晶的耐高溫性．

圖7 q0不同時,S/Sm隨σ0變化Fig. 7 Variations of S/Sm with σ0 for different q0 values

圖8和圖9給出了qz/q0的變化趨勢．從圖中可以看出:qz/q0在裂紋尖端變化較為劇烈,在第一象限內隨著x的增加,qz/q0先增大后減小;隨著z的增大,qz/q0的變化趨勢逐漸平緩．

6 結 論

考慮裂紋內部介質具有熱傳導性,本文研究了一維六方準晶非周期平面內含中心開口裂紋的平面熱彈性問題．利用Fourier積分變換技術,求得全平面熱應力、熱應力強度因子及應變能密度因子在裂紋尖端的封閉解．研究表明:

1) 隨著裂紋內部介質熱傳導率增大,熱流密度逐漸增大,熱應力強度因子逐漸減?。?/p>

2) 聲子場-相位子場多場耦合效應對裂紋擴展的影響較顯著,當聲子場載荷較小或施加的熱流密度較大時裂紋不易擴展．

3) 熱流密度增加時相位子場熱應力強度因子增大．在裂紋區域,隨著z的增大,熱流密度逐漸增大; 在第一象限內隨著x的增加,熱流密度先增大后減?。?/p>

致謝本文作者衷心感謝寧夏大學新華學院科學研究基金重點項目(23XHKY01)對本文的資助．