含內聚裂紋彈性體的能量釋放率與斷裂能*

安蕊梅, 侯永康, 李云峰, 段樹金

(1. 石家莊鐵道大學 土木工程學院, 石家莊 050043;2. 石家莊鐵道大學 道路與鐵道工程安全保障省部共建教育部重點實驗室, 石家莊 050043;3. 河北地質大學 城市地質與工程學院, 石家莊 050031;4. 山東科技大學 土木工程與建筑學院, 山東 青島 266590;5. 山東華宇工學院 能源與建筑工程學院, 山東 德州 253034)

0 引 言

對于韌性材料、膠結材料等,當構件尺寸較小或裂紋尺寸較大時,其裂尖附近的塑性區或微裂區等非線性區域的大小往往不可忽略[1-2]．自從Barenblatt[3]提出內聚裂紋模型(cohesive zone model,CZM)以來,裂紋尖端內聚區的內聚力與內聚區應變關系的表述就一直是斷裂力學、特別是彈塑性斷裂力學研究所關注的核心問題．由Dugdale[4]的解可以得到塑性區的長度或裂紋尖端張開位移,并為δ斷裂判據提供了理論支撐,但這一解答只有在材料為理想剛塑性的假設下才能得到,因此只適用于低碳鋼或塑料薄板受面內作用的斷裂問題[5-6]．文獻[7]建立了基于黏聚區模型的純Ⅱ型斷裂的ENF試件裂紋擴展模型．

混凝土材料切口附近的非線性表現往往伴隨著斷裂過程區,其尺度大至分米甚至米級．Hillerborg等[8]將條形狀的斷裂過程區用虛擬裂紋來代替,提出了更具實用價值的虛擬裂紋模型(fictitious crack model, FCM),斷裂能GF和拉應變軟化曲線(即內聚區內聚力與內聚裂紋的關系曲線)被定義為材料斷裂的兩個控制參數,并應用于混凝土類材料的斷裂分析．

內聚區模型具有普遍意義,適用于任何工程材料,但不同材料表現為不同的內聚區受力、變形特征,主要是不同的內聚區形狀、尺度和本構關系．由于其解析的難度,目前絕大多數的研究都是采用試驗測試數據結合有限元等數值方法進行迭代求解,內聚區的本構關系被假定為線性軟化、雙線性軟化、指數函數等形式,或者內聚區的內聚強度被假定為恒定(Dugdale模型)、水壓力、指數函數等形式[9-15]．

段樹金、中川建治等[16-17]把裂紋尖端的形狀由橢圓形轉換為尖劈形,提出了虛擬裂紋一般問題的解析方法．這種解消除了裂尖的應力奇異性,在全域都是解析的,從理論上為內聚區模型的發展和應用開辟了新途徑．

為了避開裂紋尖端附近的復雜區域,從能量的觀點出發,Rice[18]提出了J積分作為描述裂紋尖端應力應變場的參量．在線彈性情況下,J積分就是能量釋放率G;對于Dugdale模型等虛擬裂紋模型,由于除線狀的斷裂過程區外,整個體都是彈性的,所以可以給出G=J．

在虛擬裂紋模型中存在兩個裂紋尖端,即物理裂紋尖端和虛擬裂紋尖端,因此需要定義兩個相應的能量釋放率來描述兩個裂尖的擴展[19]．

本文將內聚區簡化為虛擬裂紋,導出一種滿足虛擬裂紋條件的解析函數,給出物理裂紋尖端擴展的能量釋放率Ga、內聚裂紋尖端擴展的能量釋放率Gb的計算公式,討論Ga,Gb,J積分及斷裂能GF之間的關系．

1 內聚區內聚力和張開位移函數

1.1 Westergaard應力函數與裂尖奇異解

彈性力學平面問題的求解歸結為尋求一個滿足雙調和方程

?2?2φ(z,a)=0

(1)

的解φ(z),并滿足彈性體相應的邊界條件．對于含裂紋的彈性體,采用復變函數更為便利,其中z=x+iy,a為物理裂紋長度．由此可以求出全部應力分量和位移分量．

對于圖1所示的邊裂紋平面應力問題,垂直于裂紋面的應力函數為

圖1 Ⅰ型邊裂紋的橢圓張開位移和奇異應力Fig. 1 The elliptic opening displacement and singular stress of a mode-Ⅰ edge crack

(2)

相應的位移函數為

(3)

從式(2)、(3)和圖1可以看出,應力在裂尖呈奇異性,其根本原因在于裂尖處的張開位移為橢圓形．

1.2 滿足虛擬裂紋條件的非奇異解

參照圖2,將帶狀內聚區模型化為一虛擬裂紋;由文獻[15],問題的非奇異解可由對奇異解的加權積分得到,有

圖2 內聚區模型的尖劈形張開位移和非奇異應力分布Fig. 2 The wedge opening displacement and nonsingular stress distribution based on the cohesive zone model

(4)

其中,t替代了a作為積分自變量,b為從裂尖算起沿裂紋擴展方向的長度,ρ(t)為定義在[a,a+b]區間的權函數,其面積標準化為1．為簡便起見,令c=a+b,以下的公式僅給出沿x軸的結果．

積分得到的Φ(z,a,b)仍為解析函數,可以作為彈性力學平面問題的應力函數．以權函數為ρ(t)=1/b(a≤t≤c)為例,對式(2)加權積分, 有

得

(5)

對式(3)積分, 得

(6)

從式(4)、(5)和圖2可以看出,加權積分解消除了裂紋尖端的奇異性,在區間a≤x≤c,有限應力集中(即內聚力)和光滑尖劈形張開位移相并存,二者關系呈非線性,在物理上可以表征內聚裂紋;但除內聚區外的整個體都是彈性的．

2 內聚區模型的能量釋放率Ga和Gb

2.1 內聚區模型的能量釋放率Ga和Gb的定義

由上節結果可知,在裂尖延長線上構成了一過渡區間,即把含裂紋界面劃分為3個區域(見圖2):物理裂紋(真實裂紋)區(xa+b);存在兩個裂紋尖端:物理裂紋尖端和虛擬裂紋尖端．因此需要定義兩個相應的能量釋放率Ga和Gb來描述兩個裂尖的擴展．

由Irwin定義的能量釋放率G,定義物理裂紋擴展(b一定)的能量釋放率Ga和虛擬裂紋擴展(a一定)的能量釋放率Gb,分別為

(7)

(8)

其中,B為板的厚度,W(a,b)為裂紋擴展時釋放的總勢能．

2.2 Ga和Gb的計算

對圖2所示的內聚區模型,系統的勢能可按下列步驟求得:

1) 首先,考慮在無窮遠處作用有垂直于x軸均勻拉應力σ0;同時假設在區間x≤a+b的裂紋表面作用著均勻拉應力σ0,那么這一問題等同于受均勻拉應力作用的無裂紋板．

2) 無窮遠處的拉應力恒定,物理裂紋區間x

(9)

虛擬裂紋區釋放的能量為

(10)

3) 所以,從無裂紋均勻受拉狀態到形成裂紋a+b的狀態,釋放的總能量為

W(a,b)=W1(a,b)+W2(a,b)．

(11)

考慮單位厚度的薄板,Ga和Gb分別為

(12)

(13)

由定義,有

(14)

(15)

本文模型中,由于消除了裂尖的應力奇異性,若a一定,一旦給定了σ0/σs,b值就唯一確定;由于在裂紋尖端(x=c)處,KⅠ=0,所以有

(16)

則

(17)

或者

(18)

顯然,式(18)比式(17)更為便捷．

對于圖2所示問題的應力和張開位移解,b一定,物理裂紋尖端t從零擴展到a,將式(6)代入式(14),可得

(19)

同理,a一定,虛擬裂紋尖端t從a擴展到a+b,將式(6)代入式(18),得

(20)

如果虛擬裂紋長度b=0,由上述公式可得

(21)

(22)

則式(21)中Ga的結果與基于奇異解的能量釋放率G完全一致,具有唯一性;而Gb的值則依賴于虛擬裂紋區的內聚力與張開位移的關系,其值介于(0～1.0)Ga之間,在本文中依賴于假設的權函數．

2.3 Dugdale模型的Gb

特別地,虛擬裂紋區的內聚力為恒定值σs時的應力無奇異條件為

(23)

得物理裂紋尖端張開位移為

(24)

此時有

(25)

或者表示為

(26)

由式(26)可得,當b=0時,Gb=0．

3 Ga,Gb與J積分、GF的關系

3.1 J積分與Gb的關系

Rice定義沿路徑Γ的J積分為

(27)

其中,ω為應變能密度;Ti為沿路徑Γ的作用力矢量;ui為位移矢量;Γ為圍繞裂紋尖端的積分線路．

對于本文定義的尖劈形裂紋,取如圖3所示的積分路徑,此時ω=0,Ti=σy(x,a,b),ui=v(x,a,b),即

圖3 J積分線路ΓFig. 3 The J integral path Γ

(28)

比較式(17)和(28),因在區間(a,c),對x和對b求偏導等同,可得

Jb=Gb．

(29)

對于Dugdale模型,有

Jb=σsδ．

(30)

3.2 Gb與GF的關系

受拉混凝土斷裂能GF定義為單位面積內聚裂紋吸收的能量．在虛擬裂紋模型中,被定義為材料拉應變軟化曲線下的面積,即

(31)

其中,wc為臨界裂尖張開位移,即內聚力σ降為0時虛擬裂紋的最大寬度,而在虛擬裂尖處的內聚力達到材料極限強度σs,此處的w對應于本文模型的2v,wL與虛擬裂紋臨界長度bc一一對應．因此,GF在數值上等于臨界能量釋放率Gc或臨界J積分值Jc,即

GF=Gbc=Jbc．

(32)

文獻[20]的解析模型揭示了虛擬裂紋面上某點處的內聚力σy與該點的張開位移v之間的關系,這一關系正是材料拉應變軟化曲線,軟化曲線包圍的面積正是斷裂能GF,即每單位面積裂縫面完全斷開所吸收的能量．

3.3 討論

本文的解析對象為一半無限大板,且除了內聚區外,材料處于線彈性狀態,因此:

1) 隨著試件尺寸的增大,整體的線彈性條件逐漸得到滿足,測得的Gac和Gbc也趨于真實值．

2) 只有當b/a趨于零(相當于完全線彈性或小范圍屈服),即內聚區不存在或很小時,才可以測得真實的Gac值(相當于線彈性斷裂韌度GIC),此時Gbc將失去意義．

3)Gb隨著b的增加而增大,當b達到一臨界值bc時,內聚區完全形成,其物理裂尖的內聚力降為零,Gbc=GF,裂紋開始失穩擴展,所以Gbc可以作為含內聚區材料的斷裂韌性．

4) 對于類似于混凝土的拉應變軟化材料,裂紋失穩擴展后,試件的承載力會逐漸下降,內聚區不斷前移,可以由Gac來評估試件的剩余強度．

5) 但在實驗測試中,斷裂能GF的尺寸效應還來源于內聚區以外的附加耗能．采用一般測試手段,要測得真實的斷裂能,除了試件尺寸要求外,還對加載試驗機提出了很高的剛度要求．如采用三點彎曲試件由實測P-δ曲線計算斷裂能時,就包含了內聚區以外的能耗,因而高估了GF值．試件尺寸越大,內聚區以外的塑形能也越多[21],使得小試件情況下,GF>Gbc;只有當試件足夠大,且扣除了內聚區以外的附加耗能時,才有GF=Gbc[22]．

6) 文獻[23-24]的研究表明:試件尺寸、初始裂縫相對尺度對測試斷裂能產生顯著影響．本文的理論模型具有普遍意義,有限邊界試件的內聚區模型解可結合邊界配置法得到近似解[25],并由此導出Gb,Jb等的計算值;隨著物理裂紋的擴展,有效韌帶的尺度逐漸減小,邊界條件的變化使得能量釋放率G或J積分值的精度會越來越差,由此可以對材料斷裂參數的尺寸效應進行評估．如果采用通過測試內聚區張開位移獲得拉應變軟化曲線的方法,所得的斷裂能將不受內聚區以外附加耗能的影響[26]．

4 結 論

基于導出的滿足內聚裂紋條件的解析解,討論了物理裂紋尖端擴展的能量釋放率Ga、內聚裂紋尖端擴展的能量釋放率Gb的計算,以及Gb與J積分之間的關系,推導出了Gb更為簡潔的計算公式(18),并證明了Gb=Jb．只要試件足夠大,臨界能量釋放率Gbc(或臨界積分Jbc)就是斷裂能GF,表明Gbc可以作為含內聚區材料的斷裂韌性來判別裂紋的失穩擴展．但試件的實測GF值總是大于Gbc(Jbc)值,主要是源于內聚區以外的附加耗能的影響．

本文提出的方法適用于所有含Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型內聚裂紋的彈性體,對于斷裂力學內聚區模型的研究和應用具有重要參考價值．