李代數sl（2，C）到四維單模的斜導子

易 揚 邵俊倩

（綏化學院信息工程學院 黑龍江綏化 152061）

在代數系統里，導子是滿足Leibniz關系的線性映射[1]。近年來眾多學者對導子及其應用作了進一步的探討。導子的推廣在環論、非關聯代數、微分交換代數等領域占有重要地位[2]。早期人們主要研究三角導子、廣義導子、斜導子，Chang和Demir等對廣義斜導子進行了研究[3-5]。許多學者對素環和半素環上的偏斜導子進行了細致深刻的探討。Fosner介紹了素環和半素環上對稱斜3-導子的概念[6]。Chang將廣義斜導子的定義推廣到R的右Martindale 商環Q上[7]。Sandhu 等研究了素環上乘積導子、廣義導子以及斜導子的一些性質[8-11]。易揚給出了斜導子的定義并刻畫了李代數斜導子的結構[12]。本文將文獻[13]中斜導子的定義由伴隨模推廣到了任意有限維模，并研究了李代數到其模的斜導子空間，得出了李代數到四維單模的斜導子空間是零維或四維的。

一、預備知識

設C是代數閉域，所有的向量空間都是在數域C上。設L為復數域C上有限維李代數，V為有限維L-模。本文約定，End(V)表示V上的線性變換全體，Hom(L,V)表示L到V的線性映射全體，AutL表示L的自同構全體。

定義1[14]設L是一個向量空間，其中定義了一個乘法運算(記為[?,?]，并稱之為方括號積)：對任意的x,y∈L, 有[x,y]∈L,而且以下三個條件成立：

(1)[λ1x1+λ2x2,y]=λ1[x1,y]+λ2[x2,y],λ1,λ2∈C,x1,x2,y∈L

(2)[x,x]= 0,?x∈L

(3)[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]= 0,?x,y,z∈L

這時稱L為一個李代數。

回憶李代數到伴隨模的斜導子的定義。

定義2[12]設L為復數域C上有限維李代數，σ∈AutL,D∈End(L)。

若任意x,y∈L都滿足

D([x,y])=[Dx,y]+[σ(x),Dy]

則稱D為L的斜導子，也稱為σ-導子。

下面將李代數到伴隨模的斜導子的定義推廣到任意有限維模。

定義3設L為復數域C上有限維李代數，V為L-模，D∈Hom(L,V),σ∈AutL。若對所有的x,y∈L，滿足

則稱D為李代數L到其模V的斜導子，也稱為σ-模導子。

令Derσ(L,V)為L的所有σ-模導子構成的集合，注意到Derσ(L,V)對于線性變換的加法和數乘構成一個線性空間，將其稱為L的σ-模導子空間。本文主要研究3 維單李代數sl(2,C)到四維單模的σ-模導子空間，其中σ為Aut(sl( 2,C))中任意元素。回憶sl(2,C)具有一組標準基h,e,f且

[h,e]= 2e,[h,f]=-2f,[e,f]=h

對于李代數sl(2,C),對?n∈Z+，存在唯一（在同構意義下）的n+ 1 維不可約模Vn，它具有一組基v0,v1,…,vn稱為標準基及下列作用：

evi=i(n+ 1-i)vi-1

hvi=(n- 2i)vi

fvi=vi+1

其中v-1=vn+1= 0(參見文獻[14]，定理7.2.1)。

二、李代數sl(2,C)到四維單模的斜導子

設A是C上行列式為1的二階矩陣。設

σA:sl(2,C) →sl(2,C),X?A-1XA，

根據文獻[15]中的定理5，可知：Aut(sl(2,C))={σA|A是C上行列式為1的二階矩陣}。

將二階可逆矩陣分為以下幾種情況討論：

下面命題給出李代數sl(2,C)到其單模V3的斜導子空間。命題將分為1 ≤i≤5 和i= 6 兩種情況來討論。設D∈DerσAi(sl(2,C),Vn),1 ≤i≤6且

其中aj,bj,cj∈C,j= 0,1,…,n。

命題1sl(2,C)到單模V3的σAi-模導子空間是零維的，其中1 ≤i≤5。

證明 下面只證單模V3在自同構σA1的情形，其他情況可做類似證明。根據式(1)可得

根據不可約模Vn基的作用，當n= 3時,v4= 0,整理式(3)可得

整理式(4)可得

整理式(5)可得

整理式(6)可得

整理式(7)可得

整理式(8)可得

整理式(9)可得

整理式(10)可得

整理式(11)可得

通過計算，得到解

命題得證。

下面命題給出當i= 6 時，李代數sl(2,C)到其單模V3的斜導子空間。

命題2sl(2,C)到單模V3的σA6-模導子空間是四維的。

證明 根據式(2)，對于單模V3，整理式(1)可得

根據不可約模Vn基的作用，當n= 3時,v4= 0,整理式(12)可得

整理式(13)可得

通過計算，得到解如下

得到sl(2,C)到V3的σA6-模導子空間都是四維的。

綜上，命題1和命題2證明了sl(2,C)到單模V3的σAi-模導子空間是零維或四維的，1 ≤i ≤6。

三、結束語

本文首先將李代數到伴隨模斜導子的定義推廣到任意有限維模，其次構造了李代數sl(2,C)到其單模的斜導子空間，最后證明了李代數sl(2,C)到單模V3的模導子空間是零維或四維的。后續可將模導子空間的算法進行推廣，為后續對李代數到高維模導子空間的研究以及將來進一步分析量子空間中單（雙）旋量子系統的可控性理論打下堅實的理論依據。