中國古代數學融入小學數學課堂的路徑初探

孫偉

［摘 要］文章基于HPM理論和實踐，探索將中國古代數學融入小學數學課堂的實施路徑。通過“圓的面積”這一教學內容，總結出整理史料、篩選史料、應用史料的路徑，實現了古代數學與現代課堂的有機融合，取得了較好的教學效果。

［關鍵詞］HPM；中國古代數學；小學數學課堂；路徑

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2024）02-0069-03

小學數學教育應當充分發揮中華優秀傳統文化在學科育人方面的作用。中國古代數學是中華優秀傳統文化的重要組成部分，如何將其融入數學課堂是一個值得探討的問題。

一、中國古代數學融入小學數學課堂的路徑

數學史與數學教育之間的關系研究，即“HPM”，是數學教育研究的一個領域，主要關注如何將數學史融入數學教學中，以發揮數學史的教育作用，提高學生的數學核心素養，實現數學教育的育人價值。這種理念與弘揚中華優秀傳統文化的要求是一致的。因此，從HPM視角實施小學數學教學能夠展現中華優秀傳統文化的獨特教育價值。

HPM的研究經歷了從關注數學史與數學教育的關系，到關注如何將數學史融入數學課堂，再到關注如何培養學生的文化自信和民族自豪感的發展過程。在這個過程中，HPM不斷拓展其研究領域，創新其研究方法，它可以為本次實踐探索提供思路和策略。本文以青島版教材六年級上冊“圓的面積”教學為例，從HPM視角初步探索將中國古代數學融入數學課堂的路徑。

（一）整理史料

史料是研究的基礎，必須真實可靠。教師可以從可靠的文獻資料中整理史料，比如發表的論文和出版的書籍等。HPM認為個體知識的發生遵循人類知識的發生規律，因此教師可以按照知識發生的順序整理史料。整理針對某一問題的史料時，應盡可能詳細，要找各地區的史料，要關注每個時期這一問題的歷史背景和文化環境，還要關注每個時期這一問題的研究方法，邊整理、邊對比、邊歸類。以下是筆者按照知識發生的順序整理的“圓的面積”的史料。

1.無意識幾何階段

古代人類對太陽、月亮等的崇拜和好奇，促使他們抽象出日月的共同特點——圓。在夏朝，人們制造了帶有兩個圓形車輪的馬車，制作了圓口圓底的彩陶罐，這些實踐活動和文化遺跡表明，在無意識幾何階段，人們對圓形的認識是通過對自然界的觀察和實踐活動的抽象得出的。

2.經驗幾何階段

《周髀算經》中有“周三徑一”的說法。這個結論可能是人類經過大量的實踐或者實驗得出的近似結果。

古埃及的《萊因德紙草書》 中也有鋪谷粒求圓面積的方法。

古印度人采用直觀的方式研究圓的面積，其中一種方法是將圓切成許多相等的小瓣，轉化為一個近似長方形來求面積。

由此可見，在經驗幾何階段，人們開始運用觀察法、測量法和實驗法來建立圓形和直線圖形之間的聯系。通過實際觀察和實驗，他們不斷積累經驗，逐漸總結了圓的周長和面積的計算方法，然而，這些方法的結果往往是近似的。

3.論證幾何階段

《九章算術》中提到的“半周半徑相乘，得積步”是一個精確的圓面積計算公式。在劉徽之前，人們在求證這個圓的面積公式時，通常使用圓內接正十二邊形來代替圓，然而，劉徽認為這種證明方法并不嚴謹，因為內接正多邊形和圓形之間還存在弓形部分。他認為“割之彌細，所失彌少”。接著，他得出了“以一面乘半徑，觚而裁之，每輒自倍，故以半周乘半徑而為圓冪”的結論。

劉徽的貢獻在于首次引入了極限和無窮小的概念，將其運用于數學證明中。這是思維方式的一次重大突破，代表了數學思維的質的飛躍。

阿基米德提出并證明了“圓的面積等于一條直角邊為圓半徑、另一條直角邊為圓周長的直角三角形的面積”。開普勒提出分割法。

由此可見，在論證幾何階段，人類逐漸認識到，依靠經驗得出的結論有時是正確的，有時是錯誤的。為了尋求更準確的計算方法，人們開始嘗試提出公式并證明。論證過程中的共同點是構建一個與圓面積相等的直線圖形。

通過整理史料，筆者發現圓的面積的探究過程是一個從實驗研究到演繹推理研究的過程，是一個從近似計算到精確計算的過程，是一個從“以直代曲”到“無限逼近”的過程。其中的重要節點有：得不到準確面積時，就“以直代曲”求近似面積；改進直線圖形，使其“逼近”圓形，推出圓的面積公式；用極限思維和無窮切割法證明公式。

綜上所述，按知識發生的順序整理史料，有助于教師整體把握知識的發展進程，找到知識發生的重要節點；邊整理、邊對比、邊歸類，有助于教師發現其中的規律和特點，從而更好地理解其數學本質；盡可能詳細地整理史料，能為小學數學課堂教學提供更多生動有趣的素材和資源，培養學生的數學核心素養，激發學生的學習興趣。

（二）篩選史料

汪曉勤教授認為，選擇史料時，需要根據教學目標和學生實際情況進行篩選，以確保史料能夠輔助教學，提升教學效果。因此，教師可以考慮將“割圓術”融入數學課堂。

首先，從教學目標來看，“割圓術”這一段史料蘊含了“以直代曲”和“無限逼近”的思想方法，這兩種思想方法在數學學習和現實生活中都有著廣泛的應用。通過學習“割圓術”，學生可以了解到如何用簡單的直線圖形來逼近曲線圖形，這種思想方法的掌握對于學生未來的數學學習和實際應用都有很大的幫助。同時，“割圓術”也體現了中華民族的優秀傳統文化 ，將其融入數學課堂可以增強學生的文化自信和民族自豪感。

其次，從學生實際情況來看，“割圓術”這一段史料符合學生的實際情況和學習需要。學生在之前的學習中已經積累了“出入相補”的知識，理解了“等積變形”的數學思想，這些知識點與“割圓術”所蘊含的思想方法密切相關。同時，學生在學習“圓的周長”這一課時中，也已經初步體會了“以直代曲”的思想方法，這也為進一步學習“割圓術”打下了基礎。因此，將“割圓術”融入課堂教學可以幫助學生將之前所學的知識點進行聯系和深化，解決學生在學習“圓的面積”時遇到的困難和問題。

總之，合理選擇史料并將其融入數學課堂是提高教學質量和促進學生發展的關鍵要素，值得教師不斷探索和實踐。

（三）應用史料

現代學生與古代數學家在知識經驗、思維方式及學習方法等方面存在差異。對此，教師將史料融入數學課堂時需要結合教材和當前學情。以下是具體融入過程。

首先，梳理知識發展的重要節點及其對應的史料、教材和學情（見表1）。

然后，將史料與教材進行有效整合，并據此設計教學。通過上述梳理，發現史料和教材都突出了知識發展過程中的關鍵節點。根據學生的實際狀況，筆者認為教材中的數學知識排列并未完全符合學生的心理認知順序，這使得分割圓的必要性難以自然展現。引入“割圓術”卻能夠解決這一難題，可以采用“重構式”的方法將這一史料有機地融入數學課堂。圖1是“圓的面積”這一課時的教學設計思路。

二、評估路徑的可行性和有效性

筆者利用課堂實踐的評估結果檢驗這一路徑的可行性和有效性。汪曉勤教授提出的數學史融入數學教學的六個價值理論為評估提供了理論框架。

（一）呈現知識之諧，展示方法之妙

將“圓出于方”的史料以順應式的方式融入教學中，通過提出“你能設法求出圓的準確面積或近似面積嗎？”這一問題，將“近似面積”這一概念引入課堂。這一表達方式符合學生的認知起點，能夠有效地促使學生自主萌發將圓轉化成直線圖形的想法。

進一步以重構式的方式將“割圓術”這一史料融入教學中，引導學生不斷改進直線圖形，使其逐漸接近圓。在思考和探索的過程中，學生感受到“割圓”這一思想和方法的奇妙與智慧。

讓學生求圓內接正十二邊形的面積，引導學生自然而然地像切西瓜一樣將圓形進行分割，使用三角形面積或者長方形面積來代替圓的面積，并對圓的面積公式提出猜想。

數學史的融入，讓學生更好地理解圓的面積計算的發展歷程和內在邏輯，提高他們的數學素養，同時解決了圓的面積公式的推導這一學習難點，學生能夠體會到“以直代曲”“無窮小分割”等方法的美妙之處。

（二）營造探究之樂，提供能力之柱

筆者將《九章算術》中記載的計算方法“半周半徑相乘，得積步”融入教學，并提出問題“是近似公式還是精確公式？”，促使學生開展了激烈的討論。學生意識到，正多邊形的邊數越多，分割拼成的平行四邊形的底越“直”，長度越接近半周長，拼成的平行四邊形的高越接近半徑。學生感受到了“把圓轉化為其他圖形”的奇妙之處。學生打破了原有思維的局限，接觸了極限思維，成功突破了難點，驗證了圓的面積公式。數學史的融入培養了學生的批判精神和創新精神。

（三）揭示文化之魅，彰顯德育之效

在作業環節中，筆者將“割圓術”的史料改編為一個富有啟發性的故事。通過閱讀和思考這個故事，學生感受到數學家的質疑精神、探索精神和創新精神，感受到數學家具有耐心細致、勇于面對困難的優秀品質，感受到中國古代數學的魅力。這無形之中激發了學生的民族自豪感和文化自信。

綜上所述，通過整理史料、篩選史料、應用史料的路徑，可以把中國古代數學較好地融入課堂教學中。筆者期待未來能夠進一步深入研究，為教育事業提供更多的啟示和幫助，為教育領域帶來更多的進步和突破。