聚焦計數單位，建構運算一致性

王馨悅　李玉峰

［摘 要］文章以“小數加減法”教學實踐為例，聚焦計數單位，探究建構運算一致性的教學策略，以期新課標背景下的小學數學教師在具體的教學中幫助學生建立整數運算、分數運算和小數運算三者之間的聯系，使學生深刻理解運算的本質。

［關鍵詞］小數加減法；計數單位；運算一致性

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2024）02-0062-04

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）中明確提出“感悟數的運算及運算之間的關系，體會數的運算本質上的一致性，形成運算能力和推理意識”。這一要求旨在讓教師將教材中碎片化知識整合起來，建立整數、小數和分數在加、減、乘、除運算中的聯系，從而增進學生對數的運算本質的理解，并體會數的運算一致性。因此，教師在教學“數的運算”內容時，應當追本溯源，講明算理，體現運算本質的一致性。本文以“小數加減法”一課為例，嘗試分析在教學中如何聚焦計數單位，建構運算一致性。

一、數的運算一致性的內涵

史寧中教授提出：“計數單位是一種特殊的計量單位，是個數和順序的計量單位，把它作為數學化（一致性）的抓手。”因此，數的認識都是基于“多少個計數單位”的表達，數的運算也都是基于計數單位展開的，也就是說整數、分數和小數的四則運算都是基于計數單位的運算。以加減運算為例，雖然整數、分數和小數的加減法算法看起來有所不同，但實際上它們的運算原理是相同的，如圖1所示。

鞏子坤等人通過分析構建了一個關于數的概念和運算一致性的框架，包括一個核心概念——計數單位，一些基本規律——運算律和等式的基本性質，以及一些基本運算——計數單位的運算。因此，在教學“數的運算”時，教師應著重關注“計數單位”這個核心概念，使學生能夠通過總結歸納算法的過程來理解運算原理，并建立起整體運算體系的結構，從而體會到數的運算一致性。

二、基于數的運算一致性的課例分析

在具體的教學中，教師該如何利用計數單位幫助學生建立起整數運算、分數運算和小數運算三者之間的聯系，從而體會數的運算一致性呢？下面以“小數加減法”教學實踐為例進行分析。

（一）深挖起點，感受運算一致性

師：L市新開了一家書店，讓我們一起去參觀一下。根據圖中提供的價格（如圖2），你能提出哪些數學問題？

生1：買一本兒童繪本和一本成語故事，一共多少錢？

生2：買一本兒童繪本和一幅L市地圖，一共多少錢？

生3：一本名人傳記比一本兒童繪本貴多少錢？

師：同學們提出了這么多有價值的問題。請根據提出的問題列出算式。

生4：2.14+7.36。

生5：2.14+1.3。

生6：14.2-2.14。

師：在前測中，我發現算對第一個算式“2.14+7.36”的同學最多。現在請一名做對的同學把豎式（如圖3）寫到黑板上，并講一講自己的想法。

生7：計算整數加減法的時候相同的數位要對齊，所以我把相同數位對齊后，按照整數加減法的方法進行計算，最后點上小數點。

師：看來相同位數的小數加減法難不倒大家。對于第二個算式，同學們出錯率較高，我們來看一看他們是怎么做的。（出示圖4）

生8：①是把2.14的“1”和1.3的“3”對齊了。

生9：②是把“3”和“4”對齊了。

生10：③是把“3”寫在了十分位和百分位之間。

師：看來很多同學都在糾結“3”到底是在十分位上還是百分位上，那“3”到底該和誰對齊呢？我們一起來探究一下。

奧蘇伯爾認為，有意義的學習都是建立在原有學習基礎之上的。因此，在教學前，教師應確定好教學起點，并積極探尋學生原有知識結構中能同化新知識的固著點。在教學中，教師應以相同位數的加法作為起點，引導學生回顧整數加減法的計算方法，明確算理，以便厘清新舊知識之間的聯系。通過對學生進行小數加減法運算的分析，發現學生在計算過程中存在兩個問題：一是有的學生在計算時數位對齊方法有誤；二是有的學生只知道小數點對齊的算法，而不知道背后的算理。可見學生在一定程度上受到了整數加減法的影響。

（二）理解算理，感知運算一致性

出示學習任務（如圖5）：

方法一：先轉化為元、角、分，再相加（如圖6）。

生1：我采取了給小數加“元、角、分”的方法，2.14表示2元1角4分，1.3表示1元3角，合起來就是3元4角4分，用小數表示就是3.44元。我認為“3”應該和2.14中的“1”對齊。

師：為什么要這么列豎式？

生1：計數單位相同的數才能相加。

方法二：用計數器（如圖7）。

生2：我先用計數器表示2.14，再表示1.3，得到了3.44，所以“3”應該和2.14中的“1”對齊。

師：為什么要把十分位上的“3”和“1”相加？

生2：因為它們的計數單位相同，都表示幾個0.1。

方法三：利用小數的意義。

生3：我用方格圖來表示數字，每個完整的正方形代表數字“1”。我將正方形平均分為10份，其中的1份表示0.1；將正方形平均分為100份，其中的1份表示0.01。我涂色表示2.14和1.3（如圖8）。從圖中可以看出，在2.14中，“1”表示1個0.1；在1.3中，“3”表示3個0.1。由于它們都表示幾個0.1，所以我認為“3”應該與2.14中的“1”對齊。

師：在計算小數加減法時，先把小數點對齊，為的是相同數位對齊，再按照整數加減法的法則進行計算，最后給得數加上小數點。

《課程標準》提出：要通過豐富的教學方式，讓學生在實踐、探究、體驗、反思、合作、交流過程中感悟基本思想，積累基本活動經驗。教師應該將課堂交給學生，讓他們親身體驗和探究算理，并引導他們使用多種方法來理解算理。上述三種探究方法基于計數單位的視角幫助學生有條理地體現出小數加減法運算的算理。這種一致性的教學有助于學生理解運算的本質特征，即相同的計數單位相加減，使算理和算法得到有效內化，同時培養了學生的數學語言表達能力和合作探究能力。

（三）梳理回顧，感悟運算一致性

師：請用豎式計算 “34.9+19.59”。

生1（出示圖9）：先把34.9和19.59的小數點對齊，然后按照整數的加法法則進行計算，最后加上小數點，得到54.49。

師：如果去掉小數點，變成整數了，又該怎么對齊呢？

生2（出示圖10）：末位對齊。

師：末位對齊和小數點對齊看似不同，實際上都是——

生3：相同數位對齊。

師：相同數位對齊，也就是為了——

生4：相同計數單位相加減。

師：為什么可以直接相加呀？

生6：因為它們計數單位是相同的。

師：請觀察整數加減法、分數加減法和小數加減法，它們的算理有什么相同之處？

生7：都是相同計數單位相加減。

《課程標準》在第二學段的“教學提示”中指出，通過小數加減法運算、同分母分數加減運算，與整數運算進行比較，引導學生初步了解運算的一致性，培養運算能力。教師可以通過比較整數加減法、分數加減法和小數加減法的算法和算理，幫助學生遷移所學知識，并構建數的運算體系的認知結構。通過核心概念“計數單位”，學生可以深刻體驗數的運算一致性，這為以后學習異分母分數的加減法打下了堅實的基礎，有助于發展學生的運算能力和推理意識。

三、基于數的運算一致性的教學策略

（一）梳理教材，挖掘運算一致性

目前的小學數學教材將加減運算分為整數加減法、分數加減法和小數加減法三個部分，這種螺旋上升的結構由淺入深，層層遞進，在一定程度上符合學生的認知特點。然而，這種結構容易使學生誤以為整數加減法、分數加減法和小數加減法有各自獨立的算理和算法，導致數的運算一致性被割裂。因此，根據《課程標準》的要求，有必要對教材進行縱向梳理，聚焦計數單位，深度挖掘教材知識之間的內在聯系。

教師應了解小數加減法在教材中的位置，將與之相關的知識整合在一起，例如整數加減法和分數加減法，并探索三者在算法和算理上的關聯，形成結構性的知識體系。

（二）遷移構建，通過整數類比小數

趙莉、吳正憲和史寧中提出了一個很好的觀點，即可以用“整數的認識與運算”統領整個“數與運算”主題。學生對整數運算熟悉，在教學相同位數的加減法時，可以引入整數加減法運算，通過在前測中加入整數加減法和一位小數加減法的題目，喚起學生對整數加減法的已有知識經驗——將末位對齊即將相同數位對齊，從而引發學生的認知沖突：小數加減法應該如何對齊？通過探究算理，學生得出小數加減法的算法——先讓小數點對齊，再按照整數加減法的運算法則進行計算。這樣可以建立新舊知識之間的聯系，實現有效的知識遷移，有助于提高學生的學習效果和理解能力。

（三）基于計數單位表達數的運算一致性

《課程標準》首次引入了“計數單位”的概念，它是關于個數和順序的計量單位，也是數與運算領域的核心概念。不論是整數加減法中的“末位對齊”、小數加減法中的“小數點對齊”，還是分數加減法中的“先通分再加減”，本質上都是“相同計數單位相加減”。同樣，乘除運算也可以歸納為“計數單位”的概念。只有將“計數單位”作為抓手，才能揭示運算的本質。因此，在教學中，教師應該聚焦于“計數單位”這一核心概念，并以此為基礎引導學生體會數的運算一致性。

（四）重視過程，推進算理理解

在計算教學中，理解算理和掌握算法是兩個重要的任務。算法是指探究“怎么算”，而算理是指探究“為什么要這樣算”，這兩者同等重要。在實際教學中，教師應注重推進學生對算理的理解，基于計數單位的視角，突破位數不同的小數加減法運算的難點。只有理解了算理，學生才能真正感受到數學的邏輯，感受到數的運算一致性。

《課程標準》提出要注重整數、分數和小數運算的一致性，促進學生運算能力和推理意識的發展。為了落實這一要求，教師應該對教材內容和學情進行整體分析，并在教學中以“計數單位”這個核心概念為抓手，把握數的運算的本質，建立知識間的內在聯系，讓學生充分感悟數的運算一致性，并從點狀認知發展成結構認知，從而落實核心素養的培養。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2] 史寧中.數學課程標準修訂與核心素養[J].教育研究與評論，2022（5）：18-27.

[3] 鞏子坤，史寧中，張丹.義務教育數學課程標準修訂的新視角：數的概念與運算的一致性[J].課程 · 教材 · 教法，2022（6）：45-51，56.

[4] 趙莉，吳正憲，史寧中.小學數學教學數的認識與運算一致性的研究與實踐：以“數與運算”總復習為例[J].課程 · 教材 · 教法，2022（8）：122-129.