大單元視角下數運算一致性的新實踐
——以分數乘法教學為例

●王靈勇

一、探源：整體關聯，吃透本質

2022版數學課程標準提出了“數運算的一致性”[1]重要理念。 數運算的一致性是指：無論整數、小數還是分數運算，本質上具備統一性，四則運算的意義、運算律、算理是一致的，都可以還原為計數單位的運算，算法上也具有內在的聯系性。

（一）整體理解加與減的關聯性

加法是運算的基礎與核心，減法是加法的逆運算，如8+8=16，16-8-8=0；17+3=20，20-3-17=0。 整數、分數、小數加減運算，都是通過轉化進行相同計數單位上的數字相加減。 加法是將若干個相同的部分或若干個不同的部分合成一個整體；減法是把一個整體分成若干個相同的部分或若干個不同的部分，如圖1。

圖1

（二）整體理解加與乘的關聯性

整數、分數、小數的乘法算理是相通的，都是計數單位與計數單位相乘，計數單位上的數字與計數單位上的數字相乘。乘法是加法的簡便運算，加法是將若干個相同的部分合成一個整體，乘法也是表示將若干個相同部分合為一個整體，如，3+3+3+3+3=15,5×3=15。 其結構關系如圖2。

圖2

（三）整體理解乘與除的關系

整數、分數、小數除法運算的算理是相通的，都是計數單位與計數單位相除，計數單位上的數字與計數單位上的數字相除。 乘除法教學應注重引導學生基于核心概念“計數單位”理解算法背后的算理，體會算理一致，乘法是將計數單位個數進行累加，除法是將計數單位個數進行均分，除法是乘法的逆運算，如5×3=15，15÷5=3。其結構關系如圖3。

圖3

（四）整體理解加減乘除四則運算的關系

整數、分數、小數的四則運算，本質上是一個整體，具有緊密的內在關聯性。 加減乘除四則運算的算理都是基于運算定律和等式的基本性質，加減乘除四則運算的算法都需要立足于計數單位。要讓學生真正感悟到加減乘除運算算理的一致性，教師對計數單位這一核心概念要特別引起重視。其結構關系如圖4。

圖4

二、尋根：測查學情，分析短板

計數單位是運算教學的核心概念，教師在開展運算教學時，不能將每節課孤立開，要充分研究運算間的內在聯系。 教師研得充分，才能教得有結構，學生也才能學得有結構。 以北師大版五（下）數學教材“分數乘法”單元為例，學生在分數乘法的學習中，往往只記住法則，不理解算理。教師要以大單元的視角審視分數乘法的教學，將碎片化的知識建立起整體、系統、邏輯化的知識結構。 本文從一致性的視角，根據學情、教材，將分數乘法與整數乘法、小數乘法串聯成知識群進行教學。在此基礎上，對單元教學內容進行重新構架并設計相應的學習任務與教學活動。這樣的教學使分數乘法的學習形成一個相互貫通的整體結構，為實現一致性的教學提供抓手，有助于學生理解數運算的一致性，提高運算能力和推理能力。

筆者通過對五年級學生的調研檢測，發現學生對分數乘法意義理解片面，算理表征不明晰。 分數乘法算理具有一致性，學生思維進階歷程劃分為不同的水平層次。 以整數乘分數為例，學生對“整數乘分數”的掌握分成以下不同水平：水平0，不能解決任何有關整數乘分數的問題；水平1，能用圖示、舉實例的方法理解分數乘法的一種意義；水平2，能正確理解分數乘法的兩種意義。 通過對“你能舉例說明6×的含義嗎”的測試很能說明問題，具體情況如圖5。

圖5

通過測試發現，大多數學生對于整數乘分數的意義的理解停留在求相同分數的和這個最基礎的水平。 處于水平2的學生能理解整數乘分數的兩種意義，人數甚少。 因此，對理解分數乘整數求一個整數的幾分之幾的意義是認知難點。

三、扎根：探尋策略，優化路徑

（一）注重數運算一致性的全局性理解

縱觀北師大版教材，整數、分數、小數的運算，教材編排體系缺乏內在的一致性。如“分數乘法”，教材分為四個板塊：分數乘整數（一）；分數乘整數（二）；分數乘分數；倒數。 學習分數乘整數，教材采用的是整數乘法的意義，如圖6。

圖6

到了分數乘分數的教學時算理前后并不一致，教材注重從乘法意義的角度來理解，，從分母乘分母得到新分母，分子乘分子得到新分子的運算中、看不出計數單位個數的累加過程。

整數、分數、小數雖然形式不同，但都共享十進位值制，運算的本質都是先拆分，然后進行計數單位個數的運算，有內在的一致性。分數單位的多變性其運算更復雜，因此，運算一致性理解的關鍵與難點都在分數。 分數乘法的核心目標是掌握分數乘整數和分數乘分數的計算方法，體會運算算理的一致性，基于此，筆者對原有的分數乘法教材體系作了適當調整。

第一課時“分數×整數”的教學，重點要幫助學生建立分數乘整數與整數乘法之間的聯系。 算理和整數乘法相通，算法來自同分母分數的加法。學生通過遷移算法來解釋算理， 初步感知乘法運算的一致性，分子乘整數其實就是在計算計數單位的個數，分母不變的道理是計數單位沒發生變化。

對于“分數×整數”運算的另一種意義（求一個整數的幾分之幾），只有約1.39%的學生想到。 對于這個教學難點的突破，需要引導學生借助“倍”的經驗，將6的表示為6的倍，以“倍”作為統領幫助學生感悟分數乘法的意義，其實就是整數乘法意義的擴展，這也是另外意義上的一致性。

將原“分數×分數”這一課時拆分成“分數單位×分數單位”和“分數×分數”兩個課時，同時將原教材“約分”的教學內容后移，這樣更加凸顯新計數單位的產生以及對新計數單位個數累加過程的理解，接著增加一節計數單位的梳理課。 通過教學順序的調整進一步引領學生探究分數乘法與整數、小數乘法算理一致性的過程：它們都是計數單位乘計數單位的個數。 單位分數相乘，實質上就是計數單位和計數單位相乘得到了一個新計數單位，這為后續的任意分數的乘法奠定了基礎。 非單位分數相乘運算是基于計數單位的運算， 如是計數單位相乘，產生了新的分數單位，c×d計數單位上的數字相乘，是新的分數單位的個數。 從而將分數乘法與整數、小數乘法算理的一致性打通。

（二）踐行數運算一致性的結構化路徑

通過重新架構，“分數乘法”一致性教學的新授內容主要分為分數乘整數、分數單位乘分數單位、分數乘分數3個課時。 以下為分數乘法第一課時“理解分數與整數相乘的意義及算法”的主要學習路徑重構：

在分數乘整數教學中與整數乘法相勾連，設計任務群驅動學習，通過知識遷移理解含義。

圖7

圖8

重構后的學習路徑更能體現分數乘法算理的一致性。 各任務拾級而上，層層推進，每一個活動都緊緊圍繞運算分數單位的個數實現一致性。