強(qiáng)化“三個(gè)二次”關(guān)聯(lián)，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)
——二次函數(shù)、一元二次方程、不等式課堂實(shí)錄

●羅志英

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入問題

以教材中的問題作為引入：園藝師打算在綠地上用柵欄圍一個(gè)矩形區(qū)域種植花卉。 若柵欄的長(zhǎng)度是24m，圍成的矩形區(qū)域的面積要大于20m2，則這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少m？

教師：請(qǐng)同學(xué)們閱讀以上文字并嘗試解決這個(gè)問題。

生：設(shè)這個(gè)矩形的一條邊長(zhǎng)為xm，則另一條邊長(zhǎng)為（12-x）m。

由題意得：（12-x）x＞20，其中x∈{x|0＜x＜12}。

整理得：x2-12x+20＜0，x∈{x|0＜x＜12}①

求得不等式①的解集，就得到了問題的答案。

師：同學(xué)們，我們一起觀察這個(gè)不等式，可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)不等式只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次。 像這樣的不等式就是一元二次不等式。 （在PPT 上呈現(xiàn)教材中給出的概念）把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二的不等式，稱為一元二次不等式。 一般形式：ax2+bx+c＞0 或ax2+bx+c＜0（其中a，b，c均為常數(shù)，a≠0）。

設(shè)計(jì)意圖:數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活。 在錯(cuò)綜復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)背景中，要學(xué)會(huì)抽象出最為本質(zhì)的關(guān)系，并運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)。這個(gè)問題的解決需要學(xué)生有數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，其中運(yùn)算的解決是這節(jié)課的重點(diǎn)之一，有利于形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、聯(lián)系舊知，探究新知

師：對(duì)于上述不等式的解法我們尚未悉知，但是我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)過一元一次不等式的解法。 同時(shí)探尋過一元一次不等式、一次函數(shù)、一元一次方程的內(nèi)在聯(lián)系。 同學(xué)們可以呈現(xiàn)一下嗎？

生：初中是從一次函數(shù)的觀點(diǎn)看一元一次方程、一元一次不等式。 一次函數(shù)記為y=kx+b（k≠0），y=0時(shí)得到一元一次方程kx+b=0；y＞0 或y＜0 時(shí)得到一元一次不等式kx+b＞0 或kx+b＜0；從圖象上看，方程的解是一次函數(shù)圖象與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，kx+b＞0的解集是x 軸上方圖象對(duì)應(yīng)的x 的取值；kx+b＜0 的解集是x 軸下方圖象對(duì)應(yīng)的x 的取值。

設(shè)計(jì)意圖：知識(shí)的建構(gòu)要達(dá)成，不僅需要給予新的“腳手架”，還需要他們?cè)谠械摹澳_手架”上找到支撐。“三個(gè)二次”就應(yīng)該是在“三個(gè)一次”上的生長(zhǎng)。 當(dāng)熟悉的感覺撲面而來，畏難情緒會(huì)降低。

圖1

師：回答得非常清楚，我們是否可以嘗試用該想法求得一元二次不等式的解集？

生：類似的，可以先畫出二次函數(shù)的圖象。 然后觀察圖象與x 軸的關(guān)系，根據(jù)所求不等式的符號(hào)，選擇位于上方或者下方部分作為二次不等式的解集。

圖2

師（追問）：能否舉例說明？

生：以一個(gè)具體的二次函數(shù)為例，比如y=x2-12x+20，可以得到一元二次方程x2-12x+20=0 的兩個(gè)根是x=2 和x=10。 一元二次不等式x2-12x+20＞0的解集就是位于x 軸上方圖象對(duì)應(yīng)的x 的取值，即x＜2 或x＞10。

師：為了便于描述，我們?cè)賮斫y(tǒng)一一個(gè)概念，即二次函數(shù)的零點(diǎn)，對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c，把使ax2+bx+c=0 的實(shí)數(shù)x 叫做二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的零點(diǎn)。（a≠0）零點(diǎn)即是函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根。快速處理函數(shù)y＝x2-3x+2 的零點(diǎn)是多少？

生（幾乎是全體）：1 和2。

設(shè)計(jì)意圖：教材是我們學(xué)習(xí)的主要材料，值得認(rèn)真理解分析。教材在這個(gè)地方設(shè)計(jì)了零點(diǎn)的概念。這個(gè)和以往的教材略有不同。

師：類似的，能否從降次觀點(diǎn)看一元二次不等式， 進(jìn)而得出一元二次不等式的求解方法呢？ 如果不好敘述， 仍然以一元二次不等式x2-12x+20＜0 為例分析。

生： 可以把一元二次不等式x2-12x+20＜0 左邊因式分解得到 （x-2）（x-10）＜0， 分類討論得到，解集取兩者的并集。

師：X 同學(xué)通過因式分解，將二次降為一次，用符號(hào)法則將問題轉(zhuǎn)化為一次不等式組的求解，這就是同學(xué)們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)并掌握了的知識(shí)。 老師也希望同學(xué)們能在未來的學(xué)習(xí)中逐步體會(huì)并應(yīng)用這種想法。

師：或許我們還有別的思考方向。如果這個(gè)方向不容易琢磨，老師或許可以略作提示。 比如，一元二次方程x2-12x+20=0，易知x≠0，同除以x，得到x-

設(shè)計(jì)意圖：教材上只涉及了思考一，即用二次函數(shù)的圖象解決二次不等式的求解。 目的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)類比推理，感知“三個(gè)一次”與“三個(gè)二次”是有共同點(diǎn)的。學(xué)習(xí)不是傳輸與接受的過程。筆者希望能夠思考的每一個(gè)點(diǎn)，都讓學(xué)生去感受，哪怕是不完美、不完整的探索與思考。事實(shí)上，方案二的降次想法、方案三的函數(shù)方程想法也都是對(duì)化歸想法的鋪墊和滲透。

師：同學(xué)們的想法很好，這樣的變化就比較豐富了。 同時(shí)需要注意在解二次不等式的時(shí)候，符號(hào)（特別是負(fù)號(hào)）對(duì)問題的影響。 通過這些比對(duì)，你們想用哪種方式求解一元二次不等式？

生：第一種。

師：那么我們一起，試從二次函數(shù)的角度解二次不等式并歸納求解基本步驟。 以PPT 上這個(gè)例來分析。

三、運(yùn)用例題，同化新知

例1 求不等式x2-5x+6＞0 的解集。

生：對(duì)于方程x2-5x+6=0，因?yàn)椤鳎?，所以它有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根。 解得：x1=2，x2=3。

師：先觀察不等式的形式，整理成最高次項(xiàng)系數(shù)為正，然后解對(duì)應(yīng)的一元二次方程。

生：畫出二次函數(shù)y=x2-5x+6 的圖象。

師：有具體的二次函數(shù)畫出圖象是比較容易的。

生：結(jié)合圖象得不等式x2-5x+6＞0 的解集為{x|x＜2，或x＞3}。

師：剛才X 同學(xué)的解答過程詳細(xì)完整，我們具體梳理一下基本步驟：（1）整理（整理成最高次項(xiàng)系數(shù)為正的形式）；（2）求根（求出二次方程的根）；（3）畫圖（畫出二次函數(shù)的大致圖象）；（4）結(jié)論（用集合語言寫出不等式的解集）。 接下來，我們?cè)賴L試兩個(gè)練習(xí)（兩分鐘）。

例2 求不等式9x2-6x+1＞0 的解集。

例3 求不等式-x2+2x-3＞0 的解集。

生2：整理不等式，求得方程的Δ＜0，畫出圖象，發(fā)現(xiàn)沒有滿足條件的取值，于是原不等式的解集為φ。

設(shè)計(jì)意圖：通過具體問題，得到二次不等式解法基本步驟，過程自然、流暢。 三個(gè)例題代表了三個(gè)典型的方向，有利于完成后面的總結(jié)，解決數(shù)學(xué)運(yùn)算問題。

師：結(jié)合剛才的練習(xí)，請(qǐng)同學(xué)們交流討論，再次思考、理解、總結(jié)“三個(gè)二次”之間的關(guān)系，完成表格，只須考慮a＞0 的情況即可。

生1：Δ＞0 時(shí)，方程ax2+bx+c=0 有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2（x1＜x2），不等式ax2+bx+c＞0 的解集為{x|x＜x1，或x＞x2}，不等式ax2+bx+c＜0 的解集為{x|x1＜x＜x2}。

生2：Δ=0 時(shí)，方程ax2+bx+c=0 有兩個(gè)相等實(shí)根，不等式ax2+bx+c＞0 的解集為不等式ax2+bx+c＜0 的解集為φ。

生3：Δ＜0 時(shí)，方程ax2+bx+c=0 無實(shí)數(shù)根，不等式ax2+bx+c＞0 的解集為R，不等式ax2+bx+c＜0 的解集為φ。

師：通過總結(jié)，進(jìn)一步熟悉了三個(gè)二次的關(guān)系，也有利于熟悉二次不等式的解法， 請(qǐng)同學(xué)們迅速完成教材P53.1 內(nèi)容（三分鐘），訂正答案。

設(shè)計(jì)意圖：比較簡(jiǎn)單，讓學(xué)生獨(dú)立完成，從而落實(shí)“四基”、發(fā)展“四能”。

師：接下來，我們?cè)俅慰偨Y(jié)“三個(gè)二次”的關(guān)系，重點(diǎn)在關(guān)注彼此的聯(lián)系。 (1)三個(gè)“二次”中，二次函數(shù)是主體；(2)方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)、兩函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)是統(tǒng)一的；(3)不等式的問題可以和方程（等式）的問題統(tǒng)一解決。

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論，搭建梯子，給予探究過程中關(guān)鍵步驟、關(guān)鍵問題的導(dǎo)引，使學(xué)生通過梯子一步一步攀升，進(jìn)而解決問題，從而在探究的過程中培養(yǎng)學(xué)生的高階思維、科學(xué)精神和意志品質(zhì)。

師：及時(shí)處理例2 若不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4＜0 的解集為R，求實(shí)數(shù)a 的取值。

生：1.當(dāng)a-2=0 時(shí)，即a=2 時(shí)，原不等式恒成立，解集為R。

綜上所述，a 的取值范圍為-2＜a≤2。

師：X 同學(xué)解決問題的思路清晰，非常棒。 分類討論是數(shù)學(xué)的重要方法之一。

設(shè)計(jì)意圖：分類討論思想是數(shù)學(xué)的重要思想方法，這個(gè)例題旨在培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S。

四、梳理總結(jié)，促進(jìn)內(nèi)化

師：我們一起來總結(jié)一下。 這節(jié)課，你學(xué)到的具體知識(shí)——

生：兩個(gè)概念，第一是一元二次不等式、函數(shù)的零點(diǎn)；第二是一元二次不等式的解法，梳理了“三個(gè)二次”之間的內(nèi)在聯(lián)系。

師：很好，那么在具體知識(shí)之外你想到了什么？數(shù)學(xué)和哲學(xué)一樣，需要有對(duì)未知領(lǐng)域的沉思。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生進(jìn)行交流與分享，談收獲與困惑，更利于釋惑明理。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) (2017 年版2020 修訂)》強(qiáng)調(diào)在教學(xué)的過程中既要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，更要重視其學(xué)習(xí)的過程。 在本課堂教學(xué)中，筆者通過各種不同形式的探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生思考、交流、探究、歸納二次不等式的解法以及“三個(gè)二次”的聯(lián)系，探究過程中學(xué)生能體會(huì)從特殊到一般的的歸納、從未知到已知的化歸。