基于任務驅動 培育推理素養
——以2023年南京市八年級第二學期期末數學試卷第26題為例*

王華中

(江蘇省南京市南京外國語學校仙林分校溧水學校 211200)

焦志敏

(江蘇省南京市金陵中學溧水分校 211200)

1 原題呈現

2023年,南京市八年級下冊聯合體期末調研試卷中有這樣一道幾何探究題:如圖1,將四邊形ABCD繞點A旋轉,使得點B的對應點B′恰好落在射線BD上,旋轉后的四邊形為AB′C′D′,連接BC′交AD于點E．

圖1

(1)如圖1,設四邊形ABCD為正方形,則下列關于四邊形ABDC′的形狀的結論:

①平行四邊形;②矩形;③菱形．其中正確結論的序號是．

(2)如圖2,設四邊形ABCD為矩形．

①求證AE=DE;

②若AB=6,BC=8,B′C′交AD于點F,則EF的長為;

(3)如圖3,若BC′與AD互相平分,求證AB∥CD．

2 學情分析

最終統計數據顯示,本題得分率不到0.23．滿分10分,其中第一問2分是送分題,也就是說后面兩問平均得分不到0.3分.之所以后兩問得分率低,筆者認為主要有以下幾個方面的原因:

一是后面兩問綜合了旋轉、等腰三角形、平行四邊形的判定和性質、勾股定理等相關知識,綜合性較強,確實有較大難度,學生分析問題和解決問題能力不夠;二是在有限的時間內,學生沒有把這三個問題貫通,從而不能抓住問題的本質;三是第一問過于特殊化、簡單化,未能很好地啟迪后兩問的解法．在考完后與學生的交流中發現,學生的錯誤解法主要是受第一問的影響,集中在證明C′,D,C三點共線,從而導致問題不能解決．

在試卷評講中如何評講這一題?如果就題論題,僅僅分析這三個問題的答案,而不能從圖形本質上將這幾個問題融匯貫通,那么這樣的講評課無疑是失敗的,學生也僅僅是知其然而不知其所以然．帶著這樣的想法,筆者設計了本題的解題教學,現將本節課的教學主要環節及相關分析呈現如下．

3 教學目標

(1)知道并會運用旋轉、等腰三角形的性質解決問題;

(2)能熟練運用平行四邊形的性質、判定方法和勾股定理解決問題;

(3)經歷“一般—特殊—一般”的過程,通過“觀察、猜想、驗證、歸納”掌握圖形變化的本質屬性,提升分析問題、解決問題的能力以及邏輯推理素養．

4 教學過程

任務1:一般化——突出旋轉

如圖4,將四邊形ABCD繞點A旋轉,使得點B的對應點B′恰好落在射線BD上,旋轉后的四邊形為AB′C′D′.

圖4

問題1 你能從圖形中得到哪些正確結論?

預設:根據圖形旋轉的性質,學生能得到∠BAB′=∠DAD′,AB=AB′及∠ABB′=∠AB′B等相關結論.

教學說明復習旋轉、等腰三角形等相關知識,抓住圖形旋轉的本質屬性,為后面的探究奠定基礎,積累經驗．

任務2:特殊化1——撩開面紗

問題2 如圖5,若四邊形ABCD為矩形,其余條件不變,連接AC′,DC′.你又能從圖形中得到哪些正確結論?

圖5

預設:根據問題1的經驗,學生能得到AB=AB′,∠ABB′=∠AB′B等相關結論．如果有學生直接提出了四邊形ABDC′是平行四邊形,則可直接提出追問2．

追問1BD與AC′有何數量關系?

預設:連接AC,由矩形的性質得BD=AC,由旋轉的性質得AC=AC′,從而得到BD與AC′相等．本問題的設計主要是基于學生的學情降低探究難度,積累活動經驗,為后面證明平行四邊形提供思路和方向．

追問2 求證:四邊形ABDC′是平行四邊形.

預設:經過問題導引,層層深入,學生已經知道BD=AC′,教師引導學生想到只須證明BD與AC′平行即可．根據旋轉的性質,得AB=AB′,從而得∠ABB′=∠AB′B．由矩形的性質,可得∠CAB=∠ABB′,再由旋轉的性質,可得∠CAB=∠C′AB′．由上述三組等式,可推導出∠AB′B=∠C′AB′,從而得到BD∥AC′．如果有學生提出證明AB與C′D相等,教師不要立即否定其想法,可以讓學生說說解決思路,師生共同辨析,從而歸納這種做法的不足之處．

教學說明與原題相比,摒棄了將四邊形特殊化為正方形的情況,是因為過度特殊化會將問題過于簡單化,方法更加多樣化,以致掩蓋了問題的本質．將四邊形特殊化為矩形,通過問題導引,為平行四邊形的證明積累解題經驗,同時通過對比前后圖形的一般性和特殊性,幫助學生初步感受到四邊形ABDC′是平行四邊形的關鍵因素是BD與AC′平行且相等,為后面的探究積累活動經驗,指明研究的方向．

任務3:特殊化2——層層深入

問題3 如圖6,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,其余條件不變,求證:四邊形ABDC′是平行四邊形．

圖6

預設:學生獨立思考,由等腰梯形的性質想到連接AC,可得AC=BD,進而得到BD=AC′,只須證明BD與AC′平行即可．再由旋轉和等腰梯形的性質,只需證出∠B′AC′=∠BB′A即可．

教學說明進一步將四邊形特殊化為等腰梯形,運用前面的經驗解決問題,提高學生分析問題、解決問題的能力.再次對比前后圖形的一般性和特殊性,進一步讓學生感受到四邊形ABDC′是平行四邊形的關鍵因素是BD與AC′平行且相等,為后面探究圖形變化的本質屬性指明方向．

任務4:反過來——追本溯源

問題4 如圖7,若BC′與AD互相平分,交點為E,求證AB∥CD．

圖7

預設:連接AC,由BC′與AD互相平分可得四邊形ABDC′是平行四邊形．通過旋轉的性質,可得BD=AC′=AC,AB=AB′及∠CAB=∠C′AB′．由AB=AB′可得∠ABB′=∠AB′B．由四邊形ABDC′是平行四邊形可得∠C′AB′=∠AB′B,由三組等式,可推導出∠ABB′=∠CAB,從而得到OA=OB．再由BD=AC可得OC=OD,由∠DOC=∠BOA,從而得到∠BAC=∠DCA,進而得到AB∥CD．

教學說明將題目條件反過來進行研究,思維層次明顯更進一步．引導學生初步思考:四邊形ABCD滿足什么條件時,四邊形ABDC′是平行四邊形?為后面任務五的探究積累經驗、指明方向．

任務5:一般化——撥云見日

問題5 關于四邊形ABDC′的形狀,你能提出什么值得研究的問題?

預設:通過前面幾個任務的解決,學生已經明確了本題的研究思路和方向,可提出如下這一問題.

如圖8,在上述變化中,當四邊形ABCD滿足什么條件時,四邊形ABDC′一定是平行四邊形?

圖8

追問:如何解答這個問題?

預設:連接AC,由旋轉的性質得AC=AC′,從而若原四邊形ABCD滿足條件①BD=AC,則目標四邊形ABDC′滿足BD=AC′．再由旋轉的性質得∠CAC′=∠BAB′,則∠BAC=∠B′AC′;由AB=AB′,則∠ABD=∠AB′B．若原四邊形ABCD滿足條件②∠BAC=∠DBA,則∠B′AC′=∠AB′B,即目標四邊形ABDC′滿足BD∥AC′．同時滿足上述兩個條件,則四邊形ABDC′是平行四邊形．

教學說明設置開放性問題,讓學生提出問題比直接解決問題更能鍛煉學生的思維．這不僅是知識的獲得,更重要的是研究方法的獲得,還有數學能力的增強以及學生對數學的積極情感,這也是數學邏輯推理素養培育的途徑之一．

5 教學思考

5.1 任務驅動,探尋問題本質,培育邏輯推理素養

《義務教育數學課程標準(2022年版)》提出:“要關注數學的本質,關注通性通法,綜合考查‘四基’‘四能’與核心素養．”[1]數學課程標準提出的新要求,使“通性通法”已經成為當下數學教學中的一個熱詞．本題的解法中“旋轉的性質”即為本道題的“通性”;“兩條平行線被第三條線所截,內錯角相等,兩直線平行”基本模型即為本道題的“通法”．

回顧本節課的教學過程,五個教學任務逐一展開,使得問題探究層層深入,呈現低起點、小坡度、高落點的特征．這樣的安排能充分調動學生學習的積極性和主動性,使之進行自主探索和自我建構．

在完成任務的同時,通過師生之間互動學習,培養學生的創新意識、創新能力以及自主學習的習慣,在探尋問題本質的同時,使學生學會如何去發現問題、思考問題,找到解決問題的通性通法．這有助于學生逐步養成重論據、合乎邏輯的思維習慣,形成實事求是的科學態度與理性精神,有助于學生邏輯推理素養的培育．

5.2 變式教學,通過問題導引,教會學生解題

變式探究模式是指在解答問題之后,引導學生對問題進行變式得到新問題,再探討解答新問題的教學方式．這種模式的核心是一題多變,“變”需要對問題進行數學抽象,同時需要對變化的問題作出判斷,考察條件變化之后是否能夠得到一些新的結論,能否通過特殊結果推斷一般結論;進而理解命題的結構與聯系,探索并表述論證過程;感悟數學的嚴謹性,初步形成邏輯表達與交流的習慣．

本道題從“一般四邊形”的旋轉性質出發,將“一般四邊形”特殊化為矩形和等腰梯形后,發現旋轉后產生的新四邊形ABDC′都是平行四邊形,于是聯想到原四邊形ABCD和新四邊形ABDC′有一定聯系．通過五個任務層層深入,利用變式教學,實現一題一課,不僅授學生以“魚”,更授學生以“漁”,以期讓學生達到“魚漁雙收”的目標．

數學教學的核心是培養學生的思維,而解題教學對學生思維的形成和優化起著至關重要的作用[2]．在本題的教學中,探索“發現原四邊形ABCD滿足什么條件時,四邊形ABDC′一定是平行四邊形”,這是對題目本質的理解,也應該是命題者設計這道題目的真正用意．

因此教學時,教師要立足于整體觀,對數學知識、思想和學習方法進行探究,設計出能夠體現學習必要性、知識整體性、思維連貫性、思想一致性、方法普適性、邏輯系統性的系列問題探究活動[3]．從最基本的問題開始,讓學生經歷觀察、猜想、推理、歸納的過程．設計問題時,要通過變式教學拾級而上,基于學生的學情,達到“教會學生”的最終目的．