初中數(shù)學(xué)跨學(xué)科項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的教學(xué)實(shí)踐與思考
——以“土圭遇數(shù),九畿見學(xué)”為例*

周青松

(江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)獨(dú)墅湖學(xué)校 215021)

李明樹

(江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)東沙湖實(shí)驗(yàn)中學(xué) 215021)

王曉峰

(江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)教師發(fā)展中心 215021)

1 跨學(xué)科項(xiàng)目學(xué)習(xí)的重要性與必要性

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022)年版》在“課程內(nèi)容”中提到:以跨學(xué)科項(xiàng)目學(xué)習(xí)開展“綜合與實(shí)踐領(lǐng)域的教學(xué)活動(dòng),以解決實(shí)際問(wèn)題為重點(diǎn),以跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)為主,以真實(shí)問(wèn)題為載體,適當(dāng)采取主題活動(dòng)或項(xiàng)目學(xué)習(xí)的方式呈現(xiàn),整合數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的知識(shí),完成跨學(xué)科實(shí)踐活動(dòng),感悟數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)聯(lián),發(fā)展學(xué)習(xí)能力,實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)”[1].跨學(xué)科項(xiàng)目學(xué)習(xí)是指學(xué)生對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上學(xué)科的知識(shí)體系和認(rèn)知方法在理解基礎(chǔ)上的整合,從而創(chuàng)造出新的理解的學(xué)習(xí)過(guò)程[2].筆者理解為:數(shù)學(xué)跨學(xué)科項(xiàng)目式學(xué)習(xí),是以數(shù)學(xué)為核心知識(shí)載體,融合物理、地理、信息等其他學(xué)科知識(shí),解決真實(shí)情境或生活中的實(shí)際問(wèn)題的學(xué)習(xí)活動(dòng).土圭是一種古老的測(cè)量日影長(zhǎng)短的工具,作為跨學(xué)科研究項(xiàng)目,以數(shù)學(xué)核心知識(shí)為載體,融合地理、信息學(xué)科知識(shí),探尋土圭的數(shù)學(xué)原理,建立函數(shù)模型,動(dòng)態(tài)直觀展示影長(zhǎng)隨太陽(yáng)高度角正切值的變化規(guī)律,創(chuàng)造性地解決問(wèn)題,建立影長(zhǎng)與二十四節(jié)氣劃分的聯(lián)系,形成公開成果,提升學(xué)生跨學(xué)科學(xué)習(xí)能力.

2 項(xiàng)目設(shè)計(jì)思路

2.1 項(xiàng)目學(xué)習(xí)背景

通過(guò)觀察記錄土圭正午時(shí)影子的長(zhǎng)短變化來(lái)確定季節(jié)的變化,后期根據(jù)圭表日影長(zhǎng)度確定“二十四節(jié)氣”,進(jìn)而思考:土圭的數(shù)學(xué)原理是什么?影長(zhǎng)與二十四節(jié)氣劃分又具有怎樣的聯(lián)系?通過(guò)對(duì)土圭的探究,進(jìn)一步感悟時(shí)間的意義和度量時(shí)間的必要性.

2.2 項(xiàng)目學(xué)習(xí)目標(biāo)

(1)通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)搜索、文獻(xiàn)資料查詢、請(qǐng)教老師等,認(rèn)識(shí)土圭,了解土圭的歷史文化背景.

(2)融合跨學(xué)科知識(shí)對(duì)土圭的數(shù)學(xué)原理進(jìn)行分析,發(fā)展直觀想象能力,提升從實(shí)際情境中抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.

(3)經(jīng)歷土圭數(shù)學(xué)原理的探究過(guò)程,了解影長(zhǎng)、物高、太陽(yáng)高度角的變化關(guān)系,建立函數(shù)模型、求解模型、應(yīng)用模型,發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

(4)經(jīng)歷制作現(xiàn)代土圭與實(shí)踐測(cè)影的過(guò)程,發(fā)展實(shí)踐能力、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力.

2.3 項(xiàng)目學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)

本項(xiàng)目以數(shù)學(xué)作為核心知識(shí)載體,以問(wèn)題作為任務(wù)驅(qū)動(dòng),項(xiàng)目中涉及跨學(xué)科知識(shí),數(shù)學(xué)和地理老師根據(jù)任務(wù)需要合作完成指導(dǎo),解決學(xué)生在探究過(guò)程中遇到的問(wèn)題與困惑．項(xiàng)目實(shí)施分為課內(nèi)、課外兩部分:課內(nèi)主要是信息收集與整理,融合數(shù)學(xué)、地理、信息學(xué)科知識(shí),探究土圭數(shù)學(xué)原理,猜想節(jié)氣劃分與影長(zhǎng)的關(guān)系;課外主要是提出研究問(wèn)題、設(shè)計(jì)方案、實(shí)踐測(cè)影、獲取數(shù)據(jù)、驗(yàn)證比對(duì)、交流反思等問(wèn)題,具體過(guò)程如圖1所示.

圖1 項(xiàng)目學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)圖

2.4 項(xiàng)目任務(wù)結(jié)構(gòu)

項(xiàng)目式學(xué)習(xí)堅(jiān)持以問(wèn)題為導(dǎo)向,引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題,在分析和解決問(wèn)題的過(guò)程中,發(fā)現(xiàn)并提出新的問(wèn)題,不斷修正完善,以問(wèn)題來(lái)驅(qū)動(dòng)思考.在項(xiàng)目實(shí)施中,學(xué)生完成原理探究、實(shí)踐測(cè)影、交流反思、設(shè)計(jì)完善作品、總結(jié)提升等學(xué)習(xí)任務(wù),具體設(shè)計(jì)如圖2所示.

圖2 任務(wù)結(jié)構(gòu)圖

2.5 項(xiàng)目學(xué)習(xí)過(guò)程

本項(xiàng)目學(xué)習(xí)過(guò)程設(shè)計(jì)如表1所示.

表1 項(xiàng)目式學(xué)習(xí)過(guò)程設(shè)計(jì)

3 項(xiàng)目的組織實(shí)施片段

項(xiàng)目實(shí)施的核心任務(wù)是任務(wù)3“學(xué)科融合,探尋土圭之法”,以下是研究過(guò)程、課堂展示的實(shí)踐.

3.1 活動(dòng)1:平行投影

問(wèn)題1 什么是平行投影?

問(wèn)題2 在平行光的照射下,不同物體物高與影長(zhǎng)是否成比例?

操作:學(xué)生分成不同小組,在不同的時(shí)間測(cè)量不同學(xué)生的身高,利用卷尺測(cè)量并記錄影長(zhǎng)填入表格,如圖3所示．

圖3 第三組實(shí)踐測(cè)影記錄表

總結(jié):實(shí)驗(yàn)結(jié)果是不同物體物高與影長(zhǎng)不成比例．

問(wèn)題3 影長(zhǎng)隨時(shí)間的變化而變化,在平行光的照射下,同一時(shí)間,不同物體的物高與影長(zhǎng)是否成比例?

操作:學(xué)生分成不同小組,同一時(shí)間,測(cè)量不同學(xué)生的身高,利用卷尺測(cè)量并記錄影長(zhǎng),填入表格(略)．

總結(jié):實(shí)驗(yàn)結(jié)果是不同物體物高與影長(zhǎng)成比例．

問(wèn)題4 在平行光的照射下,你能用相似三角形的知識(shí)說(shuō)明不同物體物高與影長(zhǎng)成比例嗎?

總結(jié):同一時(shí)間、同一地點(diǎn),不同物高與影長(zhǎng)成比例．

反思與評(píng)價(jià)通過(guò)實(shí)踐操作收集實(shí)測(cè)數(shù)據(jù),引發(fā)思考,探究影響不同物體物高與影長(zhǎng)成比例的因素．經(jīng)大膽猜測(cè)、細(xì)心實(shí)證得出結(jié)論,為學(xué)生提供真實(shí)思考、質(zhì)疑、探究、合作、交流的機(jī)會(huì)．

3.2 活動(dòng)2:數(shù)學(xué)建模

將土圭實(shí)物抽象成數(shù)學(xué)模型Rt△ABC,如 圖4所示,設(shè)AB=h,BC=y,∠ACB=θ,結(jié)合所學(xué)的知識(shí)探究影長(zhǎng)的變化情況．

圖4

問(wèn)題5 影長(zhǎng)與物高間有何數(shù)量關(guān)系?

生2:影長(zhǎng)y是關(guān)于∠ACB正切值的反比例函數(shù)．

師:太棒了!

追問(wèn):大家說(shuō)說(shuō)這里用到了什么知識(shí)?

生3:函數(shù)知識(shí),銳角三角函數(shù)、反比例函數(shù).

問(wèn)題6 ∠ACB是太陽(yáng)光線與圭面形成的夾角,如何求解?

生4:會(huì)不會(huì)是地理學(xué)科中的太陽(yáng)高度角?

師:我們可以求助地理老師．

反思與評(píng)價(jià)將土圭實(shí)物工具抽象成數(shù)學(xué)模型直角三角形,以數(shù)學(xué)知識(shí)為核心,融合地理學(xué)科知識(shí),建立了影長(zhǎng)與太陽(yáng)高度角正切值的函數(shù)關(guān)系．項(xiàng)目實(shí)施過(guò)程中,應(yīng)注重對(duì)學(xué)生的啟發(fā)引導(dǎo),動(dòng)手操作與動(dòng)腦思考有機(jī)結(jié)合,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)和勇于探究的精神．

3.3 活動(dòng)3:學(xué)科融合

項(xiàng)目小組與地理老師交流,得知太陽(yáng)高度角(地理學(xué)術(shù)語(yǔ))是指地球上的某個(gè)地點(diǎn)太陽(yáng)光入射方向和地平面的夾角.從更專業(yè)的角度上講,太陽(yáng)高度角是指某地太陽(yáng)光線與通過(guò)該地和地心相連的地表切面的夾角,進(jìn)而∠ACB可以近似看成太陽(yáng)高度角．

反思與評(píng)價(jià)融合地理學(xué)科知識(shí),解決太陽(yáng)高度的問(wèn)題,進(jìn)一步探究影長(zhǎng)與太陽(yáng)高度角正切值的關(guān)系．鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試,勇于創(chuàng)新,提升融合多學(xué)科知識(shí)解決問(wèn)題的能力．

3.4 活動(dòng)4:解決問(wèn)題

根據(jù)上述公式,借助網(wǎng)絡(luò)畫板工具,結(jié)合蘇州工業(yè)園區(qū)獨(dú)墅湖的緯度,便可近似求出在當(dāng)年正午時(shí)刻春分、夏至、秋分、冬至四個(gè)特殊節(jié)氣的近似影長(zhǎng)．類比此法也可以近似求出在當(dāng)年二十四個(gè)節(jié)氣的近似影長(zhǎng),如圖5所示.

圖5

反思與評(píng)價(jià)在實(shí)踐中應(yīng)用并檢驗(yàn)公式,引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.借助網(wǎng)絡(luò)畫板工具,動(dòng)態(tài)直觀地展示了影長(zhǎng)的變化情況,并結(jié)合獨(dú)墅湖的緯度計(jì)算出在四個(gè)節(jié)氣的影長(zhǎng),培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力.

3.5 活動(dòng)5:項(xiàng)目小結(jié)

引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)、方法、工具層面總結(jié)項(xiàng)目實(shí)施過(guò)程中的收獲,如圖6.

圖6

反思與評(píng)價(jià)學(xué)生在項(xiàng)目實(shí)施過(guò)程中積累了豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),有數(shù)學(xué)內(nèi)部的知識(shí)基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)外部的學(xué)科融合,還有實(shí)物工具、網(wǎng)絡(luò)畫板工具的輔助,讓學(xué)生感受到成功的樂(lè)趣．教師要引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)成功經(jīng)驗(yàn),保持一個(gè)樂(lè)學(xué)、愿學(xué)、會(huì)學(xué)的積極狀態(tài).

4 項(xiàng)目反思與建議

4.1 基于真實(shí)情境,讓問(wèn)題真實(shí)存在

跨學(xué)科項(xiàng)目主題學(xué)習(xí)中,基于真實(shí)情境提出驅(qū)動(dòng)問(wèn)題,以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)思考,這是項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的靈魂．土圭實(shí)物工具的呈現(xiàn),引發(fā)學(xué)生思考:工具如何使用?尤其在了解了土圭歷史文化起源后,激起強(qiáng)烈求知欲望.土圭工具包含現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境,很好地激發(fā)了學(xué)生的好奇心與探究欲望,符合學(xué)生的當(dāng)前認(rèn)知與心理發(fā)展水平,進(jìn)而引發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的提出與思考.

4.2 融合跨學(xué)科知識(shí),讓學(xué)習(xí)真實(shí)體驗(yàn)

數(shù)學(xué)跨學(xué)科項(xiàng)目學(xué)習(xí),是以數(shù)學(xué)為核心知識(shí)載體,融合物理、地理、信息等其他學(xué)科知識(shí),解決真實(shí)情境或生活中的實(shí)際問(wèn)題的學(xué)習(xí)活動(dòng).土圭實(shí)物抽象成數(shù)學(xué)模型直角三角形,用數(shù)學(xué)的知識(shí)和方法建立了銳角三角函數(shù)模型、反比例函數(shù)模型,在分析求解模型過(guò)程中,融入地理學(xué)科太陽(yáng)高度角的知識(shí),發(fā)現(xiàn)了影長(zhǎng)與太陽(yáng)高度角正切值之間的反比關(guān)系.學(xué)生在探究中大膽提出問(wèn)題,借助網(wǎng)絡(luò)畫板動(dòng)態(tài)直觀驗(yàn)證,打破傳統(tǒng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的壁壘,實(shí)現(xiàn)了融合地理、信息學(xué)科的跨界學(xué)習(xí),讓學(xué)習(xí)在合作中真實(shí)發(fā)生,提升了跨學(xué)科學(xué)習(xí)的素養(yǎng)．

4.3 立足實(shí)踐設(shè)計(jì),讓創(chuàng)新真實(shí)發(fā)生

PBL(項(xiàng)目式學(xué)習(xí))是一種為未來(lái)而教、系統(tǒng)的教學(xué)方法,通過(guò)干預(yù)和拓展學(xué)生探究過(guò)程,針對(duì)復(fù)雜、真實(shí)的問(wèn)題,精心設(shè)計(jì)產(chǎn)品(作品)和學(xué)習(xí)任務(wù),讓學(xué)生從中學(xué)習(xí)重要的知識(shí)和技能,在實(shí)踐操作中驗(yàn)證學(xué)習(xí)效果.項(xiàng)目實(shí)施中探究了土圭的數(shù)學(xué)原理,建立了影長(zhǎng)與二十四節(jié)氣之間的聯(lián)系．結(jié)合實(shí)踐測(cè)影長(zhǎng)的體驗(yàn),項(xiàng)目小組對(duì)土圭進(jìn)行改良設(shè)計(jì),添加的指南針用于確定方向,電子表用于計(jì)時(shí),厘米刻度尺方便直接讀取數(shù)據(jù)．為方便攜帶和美觀,還融入折疊式、黃金分割的理念.重新設(shè)計(jì)的土圭呈現(xiàn)便捷化、現(xiàn)代化、智能化、藝術(shù)化特點(diǎn),在活動(dòng)中實(shí)現(xiàn)了做中學(xué)、用中學(xué)、創(chuàng)中學(xué),培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力和工程思維.

學(xué)生經(jīng)歷了選擇項(xiàng)目、成立小組、制訂計(jì)劃、研究方案、實(shí)施項(xiàng)目、交流總結(jié)、評(píng)價(jià)項(xiàng)目等數(shù)學(xué)跨學(xué)科項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的過(guò)程,夯實(shí)了“四基”“四能”,提升了學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性,打破了學(xué)科學(xué)習(xí)的壁壘,在跨界學(xué)科融合中體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣,理解學(xué)科知識(shí)、融通學(xué)科方法、感知學(xué)科魅力,有助于獲得成就感,愛上數(shù)學(xué),愛上學(xué)習(xí)．