綴述高中數(shù)學(xué)教科書中的“楊輝三角”*

付云菲 代 欽

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)科學(xué)技術(shù)史研究院 010010)

1 前言

中國古代數(shù)學(xué)取得了令人矚目的輝煌成就．中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書承載著中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化傳承和育人的重要功能,現(xiàn)行六個版本的高中數(shù)學(xué)教科書在編寫二項式定理內(nèi)容時均以不同形式介紹了“開方作法本源”(圖1①(1)①“開方作法本源”圖出自明代《永樂大典》中抄錄的楊輝《詳解九章算法》．人教B版、北師大版、蘇教版、湘教版、滬教版高中數(shù)學(xué)教科書也稱“楊輝三角”為“賈憲三角”.),并采納華羅庚的建議[1]將其稱為“楊輝三角”．實際上,該算表為賈憲②(2)②賈憲(約11世紀(jì))為北宋數(shù)學(xué)家,生平籍貫不詳．賈憲總結(jié)《九章算術(shù)》以來的開方程序,提出立成釋鎖法,創(chuàng)造“開方作法本源”圖．所著,楊輝明確指出“開方作法本源出《釋鎖》算書,賈憲用此術(shù)．”[2]故稱其為“賈憲三角”更為合理．滬教版[3]和鄂教版[4]教科書僅出示賈憲三角中的數(shù)碼,并未體現(xiàn)“開方作法本源”圖原貌．人教版[5-6]、北師大版[7]、蘇教版[8]和湘教版[9]均引用賈憲三角原圖．

圖1 開方作法本源

高中數(shù)學(xué)教科書多出示賈憲三角讓學(xué)生探究二項式系數(shù)和組合數(shù)的性質(zhì),教科書的編排更多側(cè)重于賈憲三角數(shù)碼形式上的排列、數(shù)列性質(zhì)的推導(dǎo)及其在當(dāng)時領(lǐng)先于世界的斐然成就,對賈憲三角中的名詞術(shù)語和歌訣或不予理會③(3)③如北師大版、湘教版教科書．,只專注于數(shù)碼的排列,或只簡單地介紹④(4)④人教A版教科書簡單介紹了“平方”“立方”“三乘方”及歌訣的作用,并未說明歌訣的含義．,未提供數(shù)學(xué)思想方法上的有益信息,甚至出現(xiàn)訛誤⑤(5)⑤蘇教版教科書對歌訣作出的字面解釋最為詳盡,但對“以廉乘商方”的解釋有誤,后文將詳細(xì)說明．另外,湘教版教科書對楊輝對賈憲三角中數(shù)碼排列的解釋出現(xiàn)誤讀,后文將具體闡述．,體現(xiàn)在對歌訣及數(shù)碼排列方式的誤讀．以致學(xué)生對圖中出現(xiàn)的名詞術(shù)語和歌訣不明其意,更不了解其背后蘊(yùn)含的深刻的中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)智慧．同時,也讓教師處于為人師卻不能解其惑的尷尬境地．基于此,了解賈憲三角的結(jié)構(gòu)和功能,考察賈憲三角數(shù)碼構(gòu)造的歷史方法,解析其中名詞術(shù)語及歌訣的深刻內(nèi)涵成為亟待解決的問題．下面就賈憲三角中的名詞術(shù)語、數(shù)碼和歌訣三個方面加以闡釋,以期為數(shù)學(xué)教科書中相關(guān)問題的編纂和高中數(shù)學(xué)教師的課堂教學(xué)提供數(shù)學(xué)史方面的資源支持．

2 賈憲三角釋義

賈憲三角由排列成三角形的數(shù)碼、中國古代數(shù)學(xué)的名詞術(shù)語和橫線下方的五句歌訣構(gòu)成．“開方作法本源”所講相當(dāng)于(a+b)n(當(dāng)n=0,1,…,6時)的展開系數(shù)表及構(gòu)造法[10]217．出自《釋鎖》⑥(6)⑥賈憲有數(shù)學(xué)著作3部,即《黃帝九章算經(jīng)細(xì)草》9卷、《算法敩古集》2卷和《釋鎖》,都早已失傳．算書,賈憲借助該算表進(jìn)行開方的方法被形象地比喻為開鎖,可見此算表對中國古代開方術(shù)而言如同鑰匙般能夠使計算變得簡便．

2.1 名詞術(shù)語釋義

賈憲三角中自上而下共出現(xiàn)“左積”“右隅”“本積”“商除”“平方”“立方”“三乘”“四乘”“五乘”九個名詞術(shù)語．這里的“積”“隅”包括歌訣中出現(xiàn)的“廉”,都是古代數(shù)學(xué)開方①(7)①開方是從已知正方形中不斷割去正方形及曲尺圖形的運算[11]281．專用術(shù)語,源自其幾何解釋．“積”取乘積之意．“隅”在《說文解字》中釋為山角[12],在數(shù)學(xué)中則是多角形或多面體之角頂之意[13]．“廉”指堂屋的側(cè)邊[14]．以開平方為例,在(a+b)2的幾何圖示中(圖2(1)),a2是一個大正方形,稱為“積”,也被稱為“方”(圖2(2)[15])．b2是右下角的小正方形,稱為“隅”,而2ab位于圖形的兩側(cè),稱為“廉”．在賈憲三角中,“積”表示(a+b)n中an的系數(shù),“隅”表示bn的系數(shù),“廉”表示中間項an-rbr(1≤r

圖2

“左積”即左側(cè)斜行的“一”,包括最上方的“一”(又被稱為“本積”)．“右隅”即右側(cè)斜行的“一”.“左積”“右隅”說明了算表的排列方式和結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)．開方運算“有實而無法,商約而除之”②(8)②意為開方運算只有被除數(shù)而沒有除數(shù),只能估商而除[15]451．．“商除”指的是通過先估商,再用商乘除數(shù)與被除數(shù)相減的開方方法③(9)③“以法與實商議而得商,用商乘法以減實,稱為商除”[15]109．．在現(xiàn)代數(shù)學(xué)看來,“本積”和“商除”分別對應(yīng)著(a+b)0和(a+b)1的展開系數(shù),可使算表更完備．“平方”“立方”對應(yīng)的數(shù)據(jù)是開平方根和開立方根的系數(shù)．相應(yīng)地,“三乘”“四乘”“五乘”對應(yīng)著求四次冪、五次冪、六次冪根時多項式的展開系數(shù)．在我國古代數(shù)學(xué)中,“自乘”代表平方,如《周髀算經(jīng)》所述“勾、股各自乘,并之為弦實”[16]．“再乘”代表立方,程大位《算法統(tǒng)宗》卷六中的“開立方歌”明確指出“自乘為平方,再乘為立方”[15]499,所以“三乘”是開四次方,“四乘”是開五次方,依此類推．

2.2 數(shù)碼釋義

賈憲三角的核心是由28個數(shù)碼構(gòu)成的三角形,賈憲的構(gòu)造方法與現(xiàn)代教科書中的構(gòu)造方法有較大區(qū)別．湘教版高中數(shù)學(xué)教科書指出“楊輝在書中說明:表中每一行兩端都是數(shù)字1,而其余位置上的每個數(shù)都等于它‘肩上’兩個數(shù)的和”[9]199．這句話是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模Z憲三角的現(xiàn)代構(gòu)造法確實如此,但楊輝在《詳解九章算法》中說明賈憲的增乘方求廉法是自下而上,自右而左的．“以隅算一,自下增入前位,至首位而止……復(fù)以隅算如前升增,遞低一位求之”[2]450(圖3)．

圖3 “開方作法本源”計算順序

下面具體說明賈憲三角的構(gòu)造方法．首先在右斜行寫六個一作為“隅”,第二斜行的五個數(shù)是通過依次累加“隅”得到的,第二斜行的六是由1+1+ 1+1+1+1=6算出,五是由1+1+1+1+1=5算出,依次類推第二斜行計算完畢．接下來,不算右側(cè)的六,將第二斜行的其他“廉”與“隅”相加,得5+4+3+2+1=15,作為第三斜行的首位,依次算出4+3+2+1=10, 3+2+1=6,2+1=3,第三斜行計算完畢．繼續(xù)不算右側(cè)的十五,算第三斜行的其他“廉”與“隅”相加,得10+6+3+1=20,作為第四斜行的首位,再依次算出6+3+1=10,3+1=4,第四斜行計算完畢．同理,第五斜行的數(shù)由第四斜行除二十外的其他“廉”與“隅”相加,即10+4+1=15,4+ 1=5計算而來.最后,第六斜行由5+1=6得來.至此所有的“廉”計算完畢[10]221-222(表1)．通過這樣的方法可以計算n次乘方的任何“廉”．算完“廉”之后,將“積”補(bǔ)充在算表的左斜行,便完成了“左積”“右隅”“中藏者皆廉”的賈憲三角．

2.3 歌訣釋義

賈憲三角的下方歌訣為:左袤乃積數(shù),右袤乃隅算,中藏者皆廉,以廉乘商方,命實而除之．這里的“左袤”“右袤”是“左邪”“右邪”的誤寫[17]．“邪”古體作“衺”,和“袤”字形相近,“邪”又通“斜”①(11)①見[17].另,孫宏安認(rèn)為,“袤”并未誤寫,長方形土地東西的長叫做廣,南北的長叫做袤,南北引申為上下[18]．．

表1 賈憲釋鎖求廉法

歌訣的前三句說明了賈憲三角的結(jié)構(gòu)特征．“左袤乃積數(shù)”與“左積”呼應(yīng),“右袤乃隅算”②(12)②“隅算”即“隅數(shù)”[13]．與“右隅”呼應(yīng)．“中藏者皆廉”中的多個“廉”有不同的稱謂,如在算表“五乘”中,從第二位起,從左至右依次為上廉、二廉、三廉、四廉、下廉[19]．

歌訣后兩句“以廉乘商方,命實而除之”③(13)③“實”是古代數(shù)學(xué)除法中的被除數(shù),在開方術(shù)中為被開方數(shù)．這里的“除”是“除去、減去”的意思[13]．,蘇教版高中數(shù)學(xué)教科書中給出這兩句話的解釋:“以廉乘商方”說的是用各次廉乘商(一位得數(shù))的相應(yīng)次方;“命實而除之”是說從被開方數(shù)“實”中減去最后所得的廉與商的乘積[8]91-92．教科書中將“商方”釋為“商的相應(yīng)次方”有待商榷．事實上,這兩句歌訣是中國古代數(shù)學(xué)開方術(shù)的關(guān)鍵步驟．錢寶琮認(rèn)為,在“以廉乘商方,命實而除之”的前面還應(yīng)加入“以隅乘商廉”．意思為:以商乘隅加入廉法,以商乘廉加入方法,以商乘方法從“實”中減去,增乘開方法就是這樣驗算的[17]41．梅榮照、李兆華也認(rèn)為,后兩句說明該圖之用法．做開方運算時,如方根是兩位數(shù)或多于兩位數(shù),在求得第一位數(shù)之后,并經(jīng)減根變換,原開方式便變成以圖中各廉為系數(shù)之方程．商得第二位數(shù)后,以商得數(shù)乘隅并入廉,乘廉從實內(nèi)減去．此即“以廉乘商方命實而除之”．文中只提以廉乘商,未提以商乘隅,當(dāng)是省略[15]536．

賈憲的開平方法用算籌布置“實”“方法”“下法”④(14)④“下法”中的“下”表示最下層,“法”有除數(shù)的含義,在開方術(shù)中用來輔助計算．三層,開立方法布置“實”“方法”“廉法”“下法”四層[17]37．這里“方”“廉”“隅”對應(yīng)著開方過程中算籌擺放相鄰的三個位置．下面以x3=1 953 125為例說明賈憲增乘開方法的步驟:

①置積為實,別置一算,名曰下法．

②實上商置第一位得數(shù)(1)．以上商乘下法置廉(1×1 000 000=1 000 000),乘廉為方(1×= 1 000 000),除實(1 953 125-1 000 000= 953 125)訖．

③復(fù)以上商乘下法入廉(1×1 000 000+ 1 000 000=2 000 000),乘廉入方(1×2 000 000+1 000 000=3 000 000)．

④又乘下法入廉(1×1 000 000+2 000 000=3 000 000)．

⑤其方一(300 000)、廉二(20 000)、下(1 000)三退．

⑥再于第一位商數(shù)之次,復(fù)商第二位得數(shù)(2)．以乘下法入廉(2×1 000+30 000=32 000),乘廉入方(32 000×2+3 000 000=364 000)．

⑦命上商,(364 000×2=728 000)除實(953 125-728 000=225 125)訖．復(fù)以次商乘下法入廉(2×1 000+32 000=34 000),乘廉入方(34 000×2+364 000=432 000)．

⑧又乘下法入廉(2×1 000+34 000=36 000)．

⑨其方一(43 200)、廉二(360)、下(1)三退,如前．

⑩上商第三位得數(shù)(5),乘下法入廉(5×1+360=365),乘廉入方(5×365+43 200=45 025),命上商(225 125-45 025×5=0)除實．適盡．得立方一面之?dāng)?shù)．

最后求得1 953 125的立方根為125．對應(yīng)的現(xiàn)代解法如下:

圖4 增乘開方法解題步驟演示

由增乘開方法開立方根的過程可知,“以廉乘商方,命實而除之”是中國古代開方法的關(guān)鍵步驟.中國古代開方術(shù)在不斷的“廉乘商入方”“命上商除實”中實現(xiàn)減根變換的過程．

3 結(jié)語

中華傳統(tǒng)文化博大精深,中國古代的數(shù)學(xué)成就如同一顆明珠在世界文化史中熠熠生輝．但由于中國古代數(shù)學(xué)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)在名詞術(shù)語和計算方法上存在較大的差異,教科書中介紹的中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化大多局限于介紹數(shù)學(xué)家生平、數(shù)學(xué)成就及其世界影響,而對中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中巧妙的算理算法、數(shù)學(xué)思想等核心內(nèi)容介紹不夠明確或全面,以致學(xué)生難以接觸到中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的精髓,多滯留于表面.正如高中數(shù)學(xué)教科書中的賈憲三角,學(xué)生只知其名稱,不知其內(nèi)涵,更不知名詞術(shù)語中隱含的文化底蘊(yùn)和數(shù)形結(jié)合的思想方法,對于其背后蘊(yùn)含的中國古代數(shù)學(xué)智慧的結(jié)晶——增乘開方法更無從談起．

中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化融入中小學(xué)數(shù)學(xué)課程是中國特色數(shù)學(xué)課程發(fā)展的重要途徑,同時也要認(rèn)識到將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課程并非生搬硬套,也絕非形式主義,而是需要更多的數(shù)學(xué)教育工作者將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化“掰開揉碎”,以現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言講述中國古代數(shù)學(xué)的思想方法,在現(xiàn)行教科書中的課程結(jié)構(gòu)中融合中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化,讓學(xué)生體會中國古代數(shù)學(xué)思想方法的魅力,從而激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情,賦予高中數(shù)學(xué)課程更加旺盛的生命力．