從變式到模式:在結(jié)構(gòu)生成中啟迪思維
——以“一次函數(shù)圖象下的三角形面積”教學(xué)為例*

張 靜

(江蘇省蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 215151)

本節(jié)課從一次函數(shù)圖象與直角坐標(biāo)系相交而形成的直角三角形(坐標(biāo)三角形)入手,通過(guò)不斷變式,歸納出通法,構(gòu)建模式(模式是對(duì)某類事物具有共性表現(xiàn)的描述,是一種特定關(guān)系和結(jié)構(gòu),是指認(rèn)識(shí)、表達(dá)、解決一類數(shù)學(xué)問(wèn)題的程式化的方法[1]),形成結(jié)構(gòu),啟迪思維．現(xiàn)將教學(xué)的基本情況、教材分析、教學(xué)過(guò)程以及教學(xué)反思總結(jié)如下．

1 基本情況

1.1 授課對(duì)象

學(xué)生來(lái)自蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)初二年級(jí),基礎(chǔ)較好,有一定的自學(xué)、概括抽象和推理能力．此課前,學(xué)生已經(jīng)完成《一次函數(shù)》整章的學(xué)習(xí),能用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達(dá)式,能在平面直角坐標(biāo)系中求出簡(jiǎn)單幾何圖形的面積．

1.2 教材分析

本節(jié)是蘇科版教材八年級(jí)上冊(cè)“一次函數(shù)”學(xué)習(xí)后指向問(wèn)題解決的專題復(fù)習(xí)課．學(xué)習(xí)內(nèi)容是一次函數(shù)圖象下的三角形面積,是在學(xué)習(xí)了一次函數(shù)概念、圖象、性質(zhì)的基礎(chǔ)上,對(duì)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三角形面積的進(jìn)一步研究,既是前面所學(xué)知識(shí)的深化和應(yīng)用,也為后續(xù)研究反比例函數(shù)及 二次函數(shù)圖象下三角形面積奠定基礎(chǔ)．通過(guò)對(duì)基本圖形的變式來(lái)構(gòu)建模式,形成問(wèn)題解決的思維結(jié)構(gòu)．

教學(xué)目標(biāo) (1)能夠利用多種方法求一次函數(shù)圖象下的三角形面積;(2)通過(guò)對(duì)一次函數(shù)圖象下三角形面積的探尋,形成一般方法,積累一般經(jīng)驗(yàn);(3)經(jīng)歷從變式到模式的過(guò)程,在探尋通法的過(guò)程中形成結(jié)構(gòu),啟迪思維,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

教學(xué)重點(diǎn) 求解一次函數(shù)圖象下三角形面積的一般方法的探尋．

教學(xué)難點(diǎn) 解決問(wèn)題的模式構(gòu)建及問(wèn)題解決的一般方法的歸納．

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 問(wèn)題導(dǎo)向:基本圖形定基調(diào)

圖1

問(wèn)題1結(jié)合圖形,你能得到哪些結(jié)論?

生1:可以求出點(diǎn)A坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)B坐標(biāo)為(-4,0);由此求得OA=2,OB=4,繼而求得△AOB的面積等于4．

師:一次函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸相交而形成的三角形,也叫作坐標(biāo)三角形．在一次函數(shù)圖象相關(guān)的問(wèn)題中,經(jīng)常會(huì)用到這個(gè)基本圖形．

設(shè)計(jì)說(shuō)明坐標(biāo)三角形這一基本圖形的初現(xiàn),為后續(xù)的學(xué)習(xí)及后續(xù)的變式定下基調(diào)．

2.2 初步變式:抽象特征探規(guī)律

學(xué)習(xí)材料2 過(guò)點(diǎn)A作直線,與x軸交于點(diǎn)C．

問(wèn)題2可以形成幾個(gè)三角形,你會(huì)求它們的面積嗎?請(qǐng)用具體的點(diǎn)C來(lái)說(shuō)明．

生2:如圖2,點(diǎn)C坐標(biāo)為(2,0),圖中共有3個(gè)三角形,分別是△AOB,△AOC和△ABC,它們的面積分別是4,2和6．

圖2

生3:如圖3,點(diǎn)C坐 標(biāo)為(-1,0),圖中共有3個(gè)三角形,分別是△AOB,△AOC和△ABC,它們的面積分別是4,1和3．

圖3

生4:如圖4,點(diǎn)C坐標(biāo)為(-6,0),圖中共有 3個(gè)三角形,分別是△AOB,△AOC和△ABC,它們的面積分別是4,6和2．

問(wèn)題3以上3位同學(xué)的解答有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)?

生5:共同點(diǎn)是圖中都有3個(gè)三角形,并且字母完全相同;不同點(diǎn)是點(diǎn)C的位置不同,△AOC和△ABC的面積也有變化．

問(wèn)題4這3個(gè)三角形的面積之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系?

生6:圖2中,點(diǎn)C在原點(diǎn)右側(cè)時(shí),S△ABC=S△AOB+S△AOC;圖3中,點(diǎn)C在B點(diǎn)和原點(diǎn)之間時(shí),S△ABC=S△AOB-S△AOC;圖4中,點(diǎn)C在B點(diǎn)左側(cè)時(shí),S△ABC=S△AOC-S△AOB．

問(wèn)題5若點(diǎn)C的坐標(biāo)是(xC,0),如何用含xC的代數(shù)式表示△ABC的面積?

問(wèn)題6顯然,如上是三個(gè)不同位置關(guān)系下的分類討論,其結(jié)果雖有不同但有關(guān)聯(lián),能不能找到它們的共同特征,探尋出一般的解法?

問(wèn)題7對(duì)于這個(gè)公式,你有什么發(fā)現(xiàn)?

生9:這個(gè)公式就是解決這個(gè)問(wèn)題的一般方法,并且S△ABC隨xC的變化而變化,所以S△ABC是關(guān)于xC的函數(shù)．

問(wèn)題8你能針對(duì)這個(gè)公式提出什么問(wèn)題?

生10:如果已知xC的值,可以求出唯一的S△ABC的值,就像前面三位同學(xué)舉的例子(圖2～4)那樣,將xC的值代入,求代數(shù)式的值即可;如果已知S△ABC的值,比如S△ABC的值為1,代入后得到方程|xC+4|=1,解之得xC=-3或-5,故而C有兩個(gè)位置(-3,0)和(-5,0)．

設(shè)計(jì)說(shuō)明在原有坐標(biāo)的基礎(chǔ)上添加了一條線,形成了不同位置關(guān)系的分類討論(由不同位置關(guān)系得到不同的數(shù)量關(guān)系)．再引導(dǎo)學(xué)生尋找不同分類的共同特征,進(jìn)行抽象,歸納出解決此問(wèn)題的一般方法,探尋出具有普適性的一般規(guī)律,為后面的模式構(gòu)建積累了基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與思維經(jīng)驗(yàn)．

2.3 構(gòu)建模式:問(wèn)題解決育思維

問(wèn)題9我們研究問(wèn)題往往是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜,從特殊到一般,從具體到抽象．由此,你想研究什么樣的問(wèn)題?

圖5

師追問(wèn):你是如何思考的?

生11:PC與y軸平行相當(dāng)于材料2中的點(diǎn)C在x軸上,可直接用三角形面積公式求解．

師評(píng)價(jià):非常好!我們?cè)谇懊娴膶W(xué)習(xí)中積累的經(jīng)驗(yàn),可以遷移到后續(xù)的學(xué)習(xí)中;后面的問(wèn)題許多時(shí)候可以化歸為前面的問(wèn)題來(lái)解決．

問(wèn)題10根據(jù)材料2學(xué)習(xí)中積累的經(jīng)驗(yàn):點(diǎn)C在x軸上不同的位置變化引發(fā)△AOB,△AOC和△ABC面積之間不同的數(shù)量關(guān)系．你覺(jué)得點(diǎn)P還有哪些不同的位置,會(huì)帶來(lái)什么不同的結(jié)果?

圖6

圖7

問(wèn)題11觀察上面三個(gè)變式中三種不同位置關(guān)系的分類討論的計(jì)算結(jié)果,你有什么發(fā)現(xiàn)?

生17:根據(jù)上面的分類討論與整合后的結(jié)論,結(jié)合圖形,我發(fā)現(xiàn)這類一次函數(shù)圖象下的三角形面積,就是過(guò)動(dòng)點(diǎn)作y軸的平行線,被兩條已知直線截得的線段長(zhǎng)度(就是線段PQ)與兩定點(diǎn)(點(diǎn)A和點(diǎn)C)橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值乘積的一半．

師點(diǎn)撥:這里的|xA-xC|叫作水平寬,PQ的長(zhǎng)度叫作鉛直高.你還能做出什么歸納?

設(shè)計(jì)說(shuō)明在繼續(xù)變式中,對(duì)過(guò)程與結(jié)論進(jìn)行自反抽象,逐漸探尋出一般規(guī)律:一次函數(shù)圖象下的三角形面積等于水平寬與鉛直高乘積的一半．在逐漸一般化的過(guò)程中,引導(dǎo)學(xué)生有層次地思考問(wèn)題,適時(shí)地進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,最終歸納出一般結(jié)論,構(gòu)建有助于問(wèn)題解決的模式．

2.4 課堂小結(jié):回顧展望蘊(yùn)智能

問(wèn)題12本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容,如何學(xué)習(xí)的?

問(wèn)題13在學(xué)習(xí)的過(guò)程中,你感悟到哪些數(shù)學(xué)思想方法?

生20:如上的探究是從特殊到一般的過(guò)程,后續(xù)對(duì)公式的應(yīng)用則是從一般到特殊的過(guò)程．

生21:在公式形成的過(guò)程中,我們不斷地發(fā)現(xiàn)不同變式之間的共同特征,這個(gè)是數(shù)學(xué)抽象,也是分類與整合．

生22:解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵所在,就是運(yùn)用好坐標(biāo)軸或者與坐標(biāo)軸平行的直線,是一個(gè)“化斜為直”的過(guò)程,本質(zhì)上是轉(zhuǎn)化與化歸．

設(shè)計(jì)說(shuō)明對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程的回顧,對(duì)學(xué)習(xí)路徑的明晰,對(duì)個(gè)人經(jīng)驗(yàn)的反思,是一種實(shí)踐智慧．對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的歸納與總結(jié)則是一種理性思維．

3 教學(xué)反思

3.1 從變式到模式,在數(shù)學(xué)抽象中啟迪思維

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出:數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象,通過(guò)對(duì)數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象,得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及其關(guān)系[2]．思維是借助語(yǔ)言、表象或動(dòng)作實(shí)現(xiàn)的對(duì)客觀事物概括的和間接的認(rèn)識(shí),是認(rèn)識(shí)的高級(jí)形式．它能揭示事物的本質(zhì)特征和內(nèi)部聯(lián)系[3]．?dāng)?shù)學(xué)的對(duì)象都是抽象思維的產(chǎn)物．所謂抽象思維,一般是指抽取出同類事物的共同的、本質(zhì)的屬性或特征,舍棄其他非本質(zhì)的屬性或特征的思維過(guò)程[4]．學(xué)習(xí)材料2中,依據(jù)點(diǎn)C的不同位置關(guān)系進(jìn)行分類討論,就是基本圖形的變式．根據(jù)結(jié)論中不同的數(shù)量關(guān)系的共同特征得到一般的結(jié)論S△ABC=|xC+4|,就是一種抽象思維．學(xué)習(xí)材料3則是基本圖形更加一般化的變式,對(duì)三角形面積的求解過(guò)程與結(jié)論的抽象,得到符號(hào)化的、具有普適性的模式．學(xué)生在不斷自反抽象中逐漸形成思維的意識(shí)與習(xí)慣,形成思維模式,提升思維能力．

3.2 從變式到模式,在邏輯推理中啟迪思維

如上教學(xué)過(guò)程中所形成的模式,本質(zhì)上是一個(gè)數(shù)學(xué)命題．構(gòu)建數(shù)學(xué)命題依賴的是歸納推理,這是一個(gè)從特殊到一般的思維過(guò)程[5]．材料3的學(xué)習(xí)過(guò)程顯然是對(duì)材料2的類比.類比是在兩種不同的事物之間進(jìn)行對(duì)比,找出若干相同或相似點(diǎn)之后,推測(cè)其他方面也可能存在相同或相似之處的一種思維方式[6]．這樣的類比,很大程度上也是一種遷移——問(wèn)題的遷移、知識(shí)的遷移、方法的遷移、經(jīng)驗(yàn)的遷移、思維的遷移等．另外,還有利于感悟知識(shí)之間內(nèi)在的關(guān)聯(lián),完善知識(shí)體系,形成好的思維結(jié)構(gòu)．材料3中,三角形面積的求解過(guò)程則是演繹推理的表現(xiàn)．從一般情形演繹出一些特殊情況,可以把原本不太明晰的關(guān)系顯現(xiàn)出來(lái),使我們的認(rèn)識(shí)具體化和豐富化;通過(guò)演繹推理還可以將一般性前提中所蘊(yùn)含的性質(zhì)揭露出來(lái);演繹推理將一些原始概念作為推理的出發(fā)點(diǎn),推演出其他的事實(shí),有利于揭示數(shù)學(xué)概念、命題、法則等之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián),最終形成結(jié)構(gòu)．

3.3 從變式到模式,在結(jié)構(gòu)形成中啟迪思維

思維結(jié)構(gòu)是思維活動(dòng)特征的總和或整體[7]．無(wú)論是從數(shù)學(xué)的角度把握事物的本質(zhì)與規(guī)律,還是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述事物的本質(zhì)與規(guī)律,思維基礎(chǔ)都是抽象和推理[8]．本課例設(shè)計(jì)中,從基本圖形的初現(xiàn),到點(diǎn)C在x軸上的變式,再到點(diǎn)P在一次函數(shù)圖象上的變式,通過(guò)抽象與推理逐步生成此類問(wèn)題解決的模式．認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為,所謂模式是指由若干元素或成分按照一定關(guān)系形成的某種刺激結(jié)構(gòu)[9]．所以從變式到模式是一個(gè)集知識(shí)結(jié)構(gòu)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)與思維結(jié)構(gòu)于一體的特殊結(jié)構(gòu)．

4 結(jié)束語(yǔ)

基于問(wèn)題解決的微專題復(fù)習(xí)課,通過(guò)對(duì)基本問(wèn)題的諸多變式,將數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行統(tǒng)整,發(fā)現(xiàn)其中的聯(lián)系,通過(guò)不斷的抽象與推理,發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)聯(lián)與規(guī)律,最終生成模式．

我們應(yīng)當(dāng)通過(guò)具體數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的教學(xué)努力促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展[10]．教學(xué)中,我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生按照邏輯的順序(由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由低維到高維)去把握各個(gè)相關(guān)內(nèi)容,從而更清楚地認(rèn)識(shí)它們之間的內(nèi)在聯(lián)系．用聯(lián)系的觀點(diǎn)進(jìn)行分析、思考,我們才能達(dá)到更大的認(rèn)識(shí)深度;也只有達(dá)到了更大的深度認(rèn)識(shí),我們才能更好地發(fā)現(xiàn)不同對(duì)象之間的聯(lián)系[11]．由此生成好的模式,啟迪思維,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．