方法型數學模型教學的實踐與思考
———以蘇科版“二次根式乘除(1)”為例

李 榮

(江蘇省蘇州市陽山實驗初級中學校 215151)

1 引言

模型觀念主要是指對運用數學模型解決實際問題有清晰的認識[1].作為數學核心素養的重要表現之一,它要求學生能從現實生活或具體情境中抽象出數學問題,會用數學符號表示數學問題中的數量關系、變化規律等,會對結果進行討論和修正.《義務教育數學課程標準(2022年版)》中有76處有關“模型”的字眼及相關解釋,可見數學模型的重要性.在部分一線教師的認知中,模型觀念的培養基本局限在應用題中,對于法則、公式和方程解法等課型的教授基本以“幾個例子+法則歸納+反復練習”的形式為主,學生自主探究的機會很少.本課通過對方法型數學模型的教學實踐,使學生對此類課型的自主探究成為可能,有效地發展了初中生的模型觀念.

按照數學模型中對象的特點,數學模型可分為概念型數學模型、方法型數學模型和結構型數學模型[2].方法型數學模型是指數學中的各種公式及運算系統、各類方程及其求解方法等,是由實際對象間量的關系抽象出來的.初中階段多出現在“數與代數”學習領域.方法型數學模型作為數學模型的一種,大致要經歷“實際問題或數學問題—數學模型—模型求解—模型檢驗—模型應用—實際問題或數學問題”等建模過程,形成一個閉環.

學生對方法型數學模型并不陌生,在小學三四年級就已經開始接觸到現實問題中的加法模型、乘法模型,以及一些算理和算法.進入初中,引入了有理數之后,學生學習了有理數的加減乘除乘方等運算和一元一次方程、二元一次方程組、三元一次方程組等的解法;引入實數之后,學習了平方根、算術平方根的概念,二次根式的定義,二次根式的乘除加減混合運算,一元二次方程的解法等.這些都可以歸為方法型數學模型.如何在方法型數學模型的教學中擺脫“幾個例子+法則歸納+反復練習”的老路是每個教師都要認真思考的問題.本節課的學習讓學生感受法則課也可以變得充滿探索性和挑戰性.

2 教學分析

本節課“二次根式的乘除(1)”是江蘇鳳凰科技版《義務教育教科書·數學(八年級下冊)》第12章第2節第一課時的內容,主要介紹二次根式的乘法法則的得出及其應用,屬于運算系統中的乘法運算,是典型的方法型數學模型的課型.

二次根式既與代數式、勾股定理和實數等有緊密聯系,又為后面學習銳角三角函數、一元二次方程和二次函數等內容做鋪墊,其重要性不言而喻.二次根式的運算是本章的重中之重,乘法運算作為二次根式運算之首,為學生學習后面的運算做好準備.本文結合方法型數學模型的建立過程,從數學探究的角度,讓學生以問題為載體,親歷二次根式乘法法則的得出過程,從而讓學生加深對法則類教學的理解和認識.

3 教學過程

3.1 模型回顧

問題1 我們已經學習了二次根式,你可以用二次根式表示2嗎?

效能分析本環節為模型回顧,主要回顧了二次根式的定義和性質,它們也屬于方法型數學模型.數學知識重在理解,教學中我們發現,精準地敘述一個數學概念或者法則對學生來說是一件比較困難的事情,所以在平時的教學中,涉及數學概念、定理或公式等知識的復習回顧,可以讓學生根據自己的理解舉例.本課直接由數學問題引入,這是建立模型的第一步,考查學生對已學知識的遷移能力.

3.2 模型的引入

圖1

效能分析在作圖的過程中,及時引導學生識別數學模型,強調作圖的準確性,讓他們體會數學的嚴謹性.“割補法”求面積是為后面求長方形面積做準備的,“割補法”也是計算圖形面積的一種模型.此處考查了學生的知識遷移能力.這是方法型數學模型的第二步,實現數學問題到數學模型的過渡,通過教師引導和學生探究自然地引入二次根式乘法模型,借助“割補法”讓學生進一步探究乘法算式的結果,為接下來模型的求解做好準備.

3.3 模型的求解

圖2

問題5 你還能舉一些類似的例子來探索二次根式乘法法則嗎?

圖3

效能分析該問題為開放性問題,這也是對數學建模結果開放性的響應.學生還是選擇了自己比較熟悉的二次根式模型,部分學生忽略了前面探究中“兩個二次根式之積與圖形面積相等”的事實,以致出現了失誤,接下來必會影響模型的進一步求解,所以在求解模型的過程中也要能發現問題并解決問題,這也是“四能”的要求.

3.4 模型的完善和驗證

問題7 思考得出的模型是否正確?有沒有需要完善的地方?如何驗證?

3.5 模型的推廣和應用

效能分析數學建模是數學與現實世界聯系的途徑,建立起的模型能否進一步推廣、有沒有實用價值,都是我們需要考慮的問題,所以應用必不可少．對于方法類數學模型,進行適當的練習必不可少．但是要抓典型題目,讓學生觸類旁通,而不是搞題海戰術.

3.6 建模過程的回顧反思

教學說明引導學生從基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗四個方面進行反思,并且給出如圖4所示的思維框架,即是數學模型的建立過程.

圖4

效能分析讓學生再次回顧并分享整節課的思路,自己畫出思維框架,體會方法型數學模型的建立過程,進一步發展學生的模型觀念.通過畫出本節課的思維框架,學生跳出了繁瑣的知識細節,從宏觀上或者縱向地了解本節課的知識架構,長此以往學生就能更準確地把握整個初中數學的知識結構,對于整體理解數學知識、提升數學素養有很大的促進作用.

4 教學思考

4.1 注重方法型數學模型的探究過程

方法型數學模型基本用于解決運算類問題,考查學生的運算能力,有助于學生形成規范化思考問題的品質,養成一絲不茍、嚴謹求實的科學態度,其重要性不言而喻.但方法型數學模型教學中普遍存在的問題是“重應用,輕探究”.筆者在近幾年的教學中也發現了學生的計算能力堪憂,原因就是方法型數學建模課型的教授出現了問題.教師往往把教學重點放在建模的最后一步,即應用模型解決現實問題或數學問題,而很少對模型的求解過程進行深入探究．這就導致學生形成了“只記結果,不問出處”“會算就行”的惰性心理.教師要通過教學設計,讓學生真正了解法則的來龍去脈,讓數學探究充滿課堂.

4.2 注重轉變學生學習方式

數學建模貫穿于整個數學教學.目前學生所理解的數學建模僅停留在解應用題上,對于一些公式類、法則類的課型,他們根本不會探究,也意識不到可以通過數學建模去探究．長期下去,學生的思維就會固化,創新精神也就無從談起．因此,教師要幫助學生轉變方法類數學模型的學習方式,告知他們方法類數學模型建立的基本過程,并且還要通過實例讓學生清楚每個環節的具體操作,通過模型思想的滲透,提高學生建立方法型數學模型解決問題的意識,讓學生自主探索,敢于嘗試,從而提升他們的核心素養．

4.3 注重培養學生的問題意識

問題是數學的心臟．教師在方法型數學模型教學中,應注重培養學生的問題意識.方法型數學模型建立的每個過程都在考查學生發現、提出、分析和解決問題的能力.比如在本課的探究中,如何發現二次根式模型、如何建立二次根式乘法與圖形面積之間的聯系、如何對已得到的模型進行修正,都要求學生具有問題意識．因此,教師在平時的教學中要多放手,讓學生探究,以學生為主體,在學生激烈的思想碰撞中,必能擦出問題的火花．