平方根新授課的難點辨析及教學突破*

劉東升

(江蘇省南通市教育科學研究院 226000)

1 從一次平方根優課評比的觀課說起

最近參加本地區一次市級優秀課評比活動,短時間密集聽了10節“平方根”新授課．參賽選手都經過了學校、縣區層層選拔．參賽課題“平方根”提前一個月就公布,參賽教師有一個月的磨課、試教過程,所展示出來的教學設計非常精致,課堂呈現非常順暢,“演課”味道偏濃．這里摘錄一位獲得一等獎的參賽教師的板書(圖1)．

圖1 平方根板書

從這位教師的板書中可以看出,該課遵循了數學知識的邏輯,也體現了數學教學的邏輯[2]．比如,開課階段從乘方運算的逆運算出發,引出數的開方運算;進一步學習平方根時,按研究路徑“生成定義→符號表示→歸納性質→解題運用”漸次展開．然而這樣“一順到底”的優課展示總是讓人感到缺少了一點東西,失去了一些味道．正如海淀區數學教研員張鶴老師所指出的“教學僅展示正確的過程是不夠的,也應暴露其中的曲折．”[1]下文主要圍繞平方根新授課的難點辨析及教學突破談談筆者的一些思考．

2 平方根新授課教學難點的辨析

學生進入初中階段之后,先學習有理數的加、減、乘、除、乘方這五種運算,它們的結果分別對應著和、差、積、商、冪,其中加與減、乘與除是互逆運算.接著學習乘方的逆運算——開方運算,從最簡單的開平方出發,這些都是很自然的,對學生來說并不構成理解上的難點．

3 一次“課堂生成”助推了平方根教學難點的突破

教學往事 2018年底,筆者時任縣區教研員,到一所鄉村初中(江蘇省海安市大公初級中學)執教隨堂課(教研員到基層學校上課,一方面是與學校教師共同研討,另一方面方便調研和診評學情)．開課課題正是“平方根”．筆者從乘方的逆運算出發,引出開方運算的定義、平方根的定義之后,筆者安排學生同桌之間互相舉例,鞏固新學內容．接著安排幾個同桌代表,一人出題,另一人回答,以下是教學片斷．

生1:4的平方根是幾?

生1同桌:±2.

生2:25的平方根是幾?

生2同桌:±5.

生3:49的平方根是幾?

生3同桌:±7.

生4(女生):26的平方根是幾?

生4同桌(男生):(滿臉漲得通紅)不會.

師:同桌不會,生4你會做嗎?

生4搖搖頭,也不會．(眾生大笑,生4很尷尬,滿臉也脹得通紅)

師:同學們,為什么笑?我請科代表幫助解釋一下．

科代表:她出的題是錯的!因為26不是哪個數的平方．

師:好的,請大家對照平方根的定義,再看看生4提出的“求26的平方根”是否符合定義?

科代表:好像是可以的,但我們不好求．

生4同桌:19的平方根是幾?

師:很好!現在你們對平方根的理解更加準確了．

教后思考 這是一次“預設之外”(筆者本來準備在學生舉幾組例題理解平方根之后就直接講授平方根的符號表示)的課堂生成,一位被“眾生取笑”的“錯題”引出了平方根的符號表示,讓學生回到定義并類比有理數的減法學習并理解根號的意義,同時又化解了提出一個“錯題”的“生4”的尷尬處境．讓學生在真實的教學場景中學習新知、接納新知,自然而然又印象深刻．

4 人教版與蘇科版教材對比研究

人教版、蘇科版教材在引入平方根時有所不同(見表1)．兩種版本的教材都安排了一段情境引出新知,人教版的情境屬于生活現實,隨后給出算術平方根的定義是自然的,但給出算術平方根的符號表示則比較“生硬”,因為之前情境中的開方求值并不需要符號表示;而蘇科版的新知引出的情境屬于數學現實,出現了“直角三角形中已知兩直角邊為4,5,求斜邊的長”,形成認知沖突——有理數范圍內不可解,為后續引出平方根的符號表示提供了真實情境．

表1 人教版、蘇科版教材平方根的引入方式對比

5 平方根新知引入的教學微設計

問題1圖2、圖3是兩個完全相同的正方形,將它們沿對角線剪開后拼出如圖4所示的大正方形．

圖2

(1)若圖2所示正方形面積為4,則它的邊長是多少?

(2)若圖4所示正方形面積為9,則它的邊長是多少?

(3)若圖2、圖3所示正方形的面積均為8,則圖4所示正方形的邊長是多少?

(4)若圖2、圖3所示正方形的邊長均為2,則圖4所示正方形的邊長是多少?

教學組織與立意闡釋 第(1)—(3)問可以同時出示,教師追問學生是如何求解的．師生對話時要突出這里的算法體現了乘方運算的逆運算．進而教師給出開平方運算的定義,并將其結果命名為“算術平方根”,進一步安排學生圍繞圖示正方形面積進行舉例,鞏固所學開平方運算及算術平方根．如果學生舉出一些開方開不盡的數,則引發課堂上的認知沖突,組織學生辨析,教師為了幫助學生解決疑惑,講授算術平方根的符號表示．如果學生比較“聰明”,舉例中都沒有涉及開方開不盡的情形,則教師出示第(4)問,促成“認知沖突”,引出符號表示．順便指出,以上教學情境的創設,主要促進學生在實驗、觀察與探索未知的過程中獲得“操作性理解”[5],即當學生觀察一個圖形時,可以通過操作圖形來得到解題的靈感,而在以不同的方式更改圖形之后,得到操作性理解.

后續可安排例題或習題,鞏固訓練平方根、算術平方根等概念．(限于篇幅,這里略去相關例、習題內容)

6 寫在后面

教師在開展教學設計之前要精準定位教學目標,想清教學重點、辨明教學難點,隨后再選編或重組學材,設計相應的教學活動,突出教學重點、突破教學難點,達成教學目標．很多情況下,那些上得“一順到底”的“精致”課堂,往往是教師對教學難點“一帶而過”,掩蓋了學生的疑惑點、易錯點．本文以平方根教學難點的辨析為例,試圖“以小見大”,期待看到更多同行關注和研究課時難點這些教學基本問題．