不要忽略數學教科書中的“一帶而過”

劉耀斌 戚洪祥

(鹽城師范學院 江蘇省鹽城市教育科學研究院 224002)

數學教科書是根據數學課程標準編寫的、供教學使用的正式課本,是教師教授和學生學習的基本依據.但在教科書編寫過程中,或是為了給教師留有教學空間和給學生留有學習空間,或因受學生當前認知水平所限而又不得不提及,或因受篇幅限制而又很容易查閱其他資料等各種原因,會出現對有些知識內容的“一帶而過”現象.那么,教師和學生應該如何對待教科書中的“一帶而過”呢?筆者以為,教師在鉆研教科書時不可忽略教科書中的“一帶而過”,同樣要讀懂它的來龍去脈,根據實際情況,或要求學生查閱資料自己鉆研,或有選擇地講給學生聽,或向學生說清楚原委,應盡量發揮它的教學價值.本文將從學生對教科書中“一帶而過”的接受程度,分為三種類型并闡述其教學處理方法.

1 教師不講,學生自己能夠弄懂的“一帶而過”

教科書編寫有時受篇幅所限,不能把知識的歷史背景等全部編入書中,往往是一筆帶過;另一方面,這也是給師生留下思考空間.遇到這樣的情況,教師千萬不能像教科書一樣也是“一帶而過”,應該帶領學生,把相關的知識背景揭示出來,這樣不僅解答了學生的疑問,也拓寬了學生的知識視野.

例1教科書[1]77在將正整數指數冪推廣到有理數指數冪以后,沒有進一步深入研究有理數指數冪的性質,只是以“有了分數指數冪的意義以后,指數冪的概念就從整數指數推廣到有理數指數.對于有理數指數冪,原整數指數冪的運算性質保持不變,即asat=as+t①,(as)t=ast②,(ab)t=atbt③,其中s,t∈Q,a>0,b>0”一帶而過．

這里,教科書沒有給出為什么性質保持不變的推理過程.這可以留給學生完成,教師可以作業形式布置給學生做,學生如果有困難就給予必要的輔導.以驗證性質①為例,學生可以進行以下推理[2].

圖1

圖3

由于任意角α的終邊在第二象限,于是得到

教科書在編寫時為了促進學生主動探究,也會為學生留有思考的空間,讓學生通過自我猜想、探究、操作、發現等活動感悟獲得知識的過程,達到培養學生的思維能力、創造能力等目的.對此,教科書中的有些知識點,常?？此埔粠Ф^,實際是給學生留有思考余地.

2 教師講解,學生能夠聽懂的“一帶而過”

教科書在編寫教學內容時,會遇到一些必須要介紹的繞不過去的知識點,但就這一知識點的來龍去脈來說,又不在課程標準規定的范圍內,對于這樣的知識點往往就“一帶而過”.但教師若真的對此“一帶而過”,就難免會在學生心里留下遺憾.

例3教科書[1]82在“對數的概念”內容中有這樣一段文字:“在科學技術中,常常使用以e為底的對數,這樣的對數稱為自然對數,e=2.718 28…是一個無理數.正數N的自然對數logeN一般簡記為lnN.”

教科書沒有介紹e的來歷,也沒有說明為什么把以e為底的對數稱為自然對數,只是一帶而過.從編寫意圖來看,由于e涉及極限問題,這個概念學生只要知道就可以了.所以在實際教學中,不少教師往往一帶而過,如果有學生追問,他們則回答“以后學高等數學就知道了,暫時可不必追問”.那么,這個問題究竟可不可以跟學生解釋清楚呢?筆者認為,可用如下方式跟學生解釋,不給學生留下遺憾.

為什么稱以e為底的對數為自然對數呢?下面以一個屬于理想狀態的本利問題談起[3]:

設本金為1,而年利率亦為1,那么一年后本利總和為:1+1=2.

從剛剛的計算可以看出,存款的期限愈短,一年后獲得的本利總和愈大.那么,如果能夠做到將存款期縮短到最短,即存入后馬上取出再存,并記為這樣的操作可以瞬時實現,一年后所得的本利的總和可以達到什么程度呢?一個人能不能因此而變成富翁呢?

上述假設在現實的金融世界中是不可能實現的,因為絕沒有一個銀行能采用這樣支付利息的方式.但這種現象恰存在于大自然之中,動、植物的生長是一個連續的過程,新生的部分立即和本體一起生長,是不斷把“利息”隨時加入到“本金”中去“再生息”的過程,大自然的復利正好契合上述要求.所以,e是自然規律的數量刻畫,而取以e為底的對數有很多妙用,符合數學思維簡潔、方便、實用及美觀的要求.這些正是稱以e為底的對數為自然對數的緣由.

例4教科書[4]在“復數的幾何意義”的內容中這樣描述:“我們把建立了直角坐標系來表示的平面叫作復平面.復數的這種幾何表示也稱為阿甘得圖(Argand diagram).”這里,教科書沒有介紹復數的這種幾何表示為什么稱為阿甘得圖.筆者以為,教師千萬不能忽略這里的“一帶而過”,可以引導學生閱讀數學史,使他們了解數學家阿甘得在復數發展中的貢獻.

上述兩則案例在教科書中雖然被一帶而過,但思維活躍的學生一定會期待前因后果,教師可以在興趣課程或拓展課程里以科普方式講解,學生一定很感興趣.值得一說的是,高考固然重要,而把本該使學生能夠知曉的知識空間讓位給題海,本質是數學教育價值的一種喪失.

3 無需講解,但教師必須要理解的“一帶而過”

教科書中的有些知識點,雖然不一定要求學生在當前學段學習,但為了有助于掌握必學內容,常常會以閱讀材料的形式向學生介紹操作性的結論,但限于其認知水平,不能介紹操作的原因,這些也是“一帶而過”.

例6教科書[1]78在將指數式ax中的指數從分數(有理數)推廣到無理數后指出:“一般地,當a>0且x是無理數時,ax也是一個確定的實數.有理數指數冪的運算性質對無理數指數冪同樣適用.”這里的運算性質是指:asat=as+t①,(as)t=ast②,(ab)t=atbt③,其中s,t∈Q,a>0,b>0.這里將指數式ax中的指數從分數(有理數)推廣到無理數及其運算性質的適用性也是“一帶而過”.由于涉及到極限理論和指數函數的連續性,不宜向中學生講解,只要告知結果就可以了,但教師在備課時必須了解它的緣由,在理解上切不可“一帶而過”.

an={1,1.4,1.41,1.414,1.414 2,…}.

4 結語

要想教給學生“一碗水”,教師就應該有“一桶水”,教師只有和學生形成了這種知識量的差別,才能具有傳道授業解惑的本領.事實上,教師知道的不一定要全部講給學生聽,但教師只有知識淵博了,才能登高望遠,才能從整體上、從高觀點視角把握數學教科書的內容,教學中才能深入淺出,才能有效地滲透數學思想方法或歷史文化.所以,對于中學教科書中有些中學生學習能力范圍之外的“一帶而過”,教師研讀教科書時切不可一帶而過.