指向數學抽象素養水平進階的教學設計
——以“直線與平面垂直”一課為例*

呂建林

(江蘇省南京市第一中學 210001)

1 基本情況

1.1 授課對象

學生來自國家級示范高中,學習基礎好,有一定的數學抽象、空間想象、邏輯推理能力．

1.2 教材分析

所用教材為蘇教版《普通高中教科書·數學(必修2)》,“直線與平面垂直”是第13章“立體幾何初步”第2.3節“直線與平面的位置關系”第2小節的內容,它是研究直線與平面垂直、平面與平面垂直等位置關系,求解空間角和距離問題的重要基礎,也是本章的重點和難點．

1.3 學習目標

課標要求 通過直觀感知,了解空間中直線與平面的垂直關系,歸納出直線與平面垂直的判定定理和直線與平面垂直的性質定理．能運用已獲得證明的結論證明空間基本圖形位置關系的簡單命題．

學習目標 (1)通過觀察和分析過空間一點與已知直線垂直的直線的特點,能得出直線和平面垂直的定義,提高直觀感知、數學抽象能力;

(2)通過運用工具操作確認,能發現并歸納出直線和平面垂直的判定定理,了解如何用向量方法論證該定理,發展邏輯推理素養;

(3)會運用線面垂直的定義和判定定理證明相關命題,提升推理論證能力;

(4)能從實際情境中發現和提出與線面垂直相關的問題,得出線面垂直的性質定理等結論,發展數學抽象、直觀想象、數學建模素養．

2 教學過程

2.1 把握知識聯系,助力概念抽象

問題1經過空間一點A和一條已知直線a垂直的直線有幾條?

問題2請同學們嘗試用筆代替直線,操作感受并判斷經過空間一點A與已知直線a垂直的這些直線有什么共同特點?

定義 如果直線a和平面α內的任意一條直線都垂直,那么稱直線a與平面α垂直,記作a⊥α．

設計意圖日常生活中直線與平面垂直的位置關系隨處可見,學生的學習難點是與線線垂直相聯系．為此,筆者從“線動成面”的視角,讓學生發現過空間一點與已知直線垂直的無數條線形成一個平面,學生從中直觀認識到直線與平面垂直的位置關系,由于該點可以是平面內任意一點,容易發現平面內的任意一條直線都與該直線垂直．這樣的設計,基于學生認知基礎,直擊定義核心,便于理解建構,有助于提高學生數學抽象和直觀想象能力．

2.2 巧設學習任務,促進素養進階

活動1請同學們做一個實驗,將一支鉛筆(形狀為正六棱柱)豎立在桌面上,判斷鉛筆所在直線與桌面所在平面的位置關系,并作出解釋．

直線與平面垂直的判定定理 如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直．

問題3如何證明該定理?

例題已知:三棱錐S-ABC中,SA⊥平面ABC,∠ABC=90°,SA=AB,M為SB的中點,求證:AM⊥平面SBC(圖1)．

圖1

設計意圖學生的知識基礎和思維能力存在差異,有必要設計面向不同素養水平學生的探究活動．活動1的實驗給予學生寬廣的探究空間,有的學生使用三角板上的直角抵靠在線面交界處進行檢驗;有的從直線上一點出發引出一條線段,看線段的另一端點與線面交點的距離是否等于定長;有的直接從鉛筆側棱與底面六邊形的兩邊是否垂直得出結論．豐富的視角帶來了思維的碰撞,不同程度地提升了學生的探究意識和素養水平．

活動2天下武功,唯快不破．電影《武狀元蘇乞兒》里(圖2),趙無極使用了一種絕世武功,叫做“移形換位”．他迅速從僧格林沁的身后平移到身前,卻沒有看到任何動作,身形之快,令人驚嘆．請從上述電影場景中抽象出一個與線面垂直有關的命題并嘗試論證．

圖2

結論1 如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個平面．

結論2 (直線與平面垂直的性質定理)垂直于同一個平面的兩條直線平行．

設計意圖豐富有趣的生活情境,有利于激發學生的探究興趣,能更好地檢驗學生發現數學問題、提出新命題、主動運用數學知識解決問題的能力．學生從電影片段中觀察到人物的位置變化,聯系立體幾何知識,從中抽象出兩條直線與平面垂直的位置關系．學生如果從“與平面垂直的一條直線平移后仍然保持與該平面垂直”的視角出發,可以發現結論1;如果從“前后兩條直線都垂直于平面”的視角出發,可以發現結論2．這樣的場景設計,給了學生開放的探究空間、多樣的選擇,給了學生研究的動力,幫助學生主動建構新的定理和結論．

2.3 設置實踐作業,留出生長空間

課后作業 略．

課外探究 如果把學校圍墻外的一棟樓房看成一個長方體,請你在校內檢測該樓房的一條側棱是否與地面垂直．請制定一個檢測方案,并嘗試論證你的檢測結果．

學后反思 (1)畫出本主題學習的概念圖;(2)結合本主題提出一個新的問題或研究方向．

設計意圖學習不僅發生在課堂,也應延伸到課外．評價任務既可以是鞏固當天學習內容的書面作業,還可以是一些可選擇的、可動手操作的實踐作業．實踐作業不僅能豐富作業的層次,也能引導學生進一步探究．本節課留置的課外探究問題,學生不難想到用一根鉛垂線去檢驗,但是僅從單一角度觀察鉛垂線與大樓側棱重合,并不能得出側棱垂直于地面．進而啟發學生抽象出“如果一個平面經過另一個平面的一條垂線,那么這兩個平面互相垂直”“若兩個相交平面都和地面垂直,則這兩個平面的交線也垂直于地面”等命題．這個探索將空間點、線、面垂直關系的研究拓展到了兩個平面互相垂直,為學生打開了新的研究方向．學后反思的設計進一步指導學生完善本單元知識結構,學生可以主動類比空間平行關系開展垂直關系的探究,培養了學生基于課堂學習、課后探究開展反思學習、遷移學習的能力．

3 回顧與反思

3.1 教學設計的立意

核心素養的培育應該融入學習和評價任務,貫穿于學習的全過程．本節課的設計,重視結合學生的數學抽象素養發展水平,設計符合學生認知特點、具有開放性的學習活動．從課題引入、定義生成,到判定定理、相關性質的探究,以及結合真實情境的評價任務設計,都體現了對數學抽象素養的進階要求．在充分尊重學生的知識經驗的基礎上,通過合適的任務,發揮其主觀能動性,讓他們主動發現問題、解決問題,開展空間想象和推理建構,有計劃、有層次地提升學生數學抽象、直觀想象、邏輯推理等素養．

3.2 教學反思

(1)基于認知經驗,設計貼近學生數學抽象水平的學習任務.傳統教學設計,通常是從旗桿與地面等場景的直觀感知出發給出定義,簡單直接．考慮到本節課授課對象是國家級示范高中的學生,基于學生的學習能力和已有三維空間中線線垂直關系的知識基礎,設置了一個達到抽象水平二的學習任務．讓學生從關聯的情境出發,抽象出直線與平面垂直的定義,既有利于學生理解定義中“與平面內任意一條直線垂直”這一核心要素,也有利于構建直線與直線垂直、直線與平面垂直之間的聯系．

(2)基于生活經驗,設計提升數學抽象素養的探究活動.教學設計的難點在于,教師要將知識合理地貫穿到適當的學習情境中去,避免生硬灌輸,要讓學生自然發現、主動探究、合理歸納、嚴謹論證、靈活應用．本節課在性質定理探討中設置了一個抽象水平三的探究任務,讓學生從電影場景中抽象出數學命題并自主探究論證．在知識的交匯點上設計探究活動,讓學生從生動的、開放的問題情境中發現新的數學命題,得出多個結論．學生積極參與、自主建構,取得了較好的教學效果．

(3)基于探究經驗,設計富于挑戰的素養評價任務.核心素養水平的考查離不開真實情境下的綜合性問題解決．課外探究設計的是檢測樓房側棱是否與地面垂直的問題,它既是一次探究活動,也是一項評價任務,對學生綜合能力的要求較高．不僅考查學生在真實場景中運用本節所學知識和方法解決實際問題的能力,而且能促使學生深入研究,在解決問題的過程中發現新問題,自主抽象出平面與平面垂直等新課題,進行探索論證．培養學生合作探究的意識、動手實踐的能力,養成優秀的學習品質．