省時便捷，簡單高效

葉陳琛

內容摘要：學數學，不僅僅只是學知識，更是在于自身思維能力的構建和提升。學數學離不開解題，通過解題錘煉思考、積累經驗、培養核心素養才是根本目標。

關鍵詞：特殊值? 特殊位置? 從特殊到一般的思想

著名數學家希爾伯特曾說：“在討論數學問題時，我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用。”在解題時，我們常常會遇到這樣的情況：就是知道用嚴謹的推理可以求解，但過程相當繁瑣，亦或是用現有知識無法解決。在這種情況下，我們可以考慮另辟蹊徑，比如對某些量賦以特殊值或以特殊位置，把問題變得具象和簡單，降低認知起點，便于學生由淺入深，從而有利于問題的解決。平時教師多關注這種特殊方法的教學，培養學生從特殊到一般的思想方法，提高學生的解題速度的同時，增強學生的解題信心和學習數學的興趣，對學生形成深厚的數學素養起著重要的作用。

一、特殊值為起點，打開解題思路

例題1? （選自2020年隨州中考題23題部分內容）

勾股定理是人類最偉大的十個科學發現之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理。在我國古書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今。

如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程就可以得到如圖2所示的“勾股樹”。在如圖3所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設大正方形M的邊長為定值m，四個小正方形A，B，C，D的邊長分別為a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，

則當∠α變化時，回答下列問題：（結果可用含m的式子表示）

①[a2+b2+c2+d2=]_______；

②b與c的關系為_______，a與d的關系為_______。

解析? 勾股樹是根據勾股定理畫出來的可以無限重復的圖形，主要考查的是勾股定理的運用，第①問較簡單，在學生平時的練習中也常涉及，圖中以直角邊為邊長的兩個小正方形面積之和等于以斜邊為邊長的大正方形的面積，容易得出最終結果為m2；而第②小問比較新穎，探究的是每個小正方形邊長之間獨立的關系，這就跳離了學生的“舒適圈”，由于未知的變量如此之多，讓不少同學無從下手。這時如果聯想到特殊值法，抓住問題中變量的關鍵，賦予特殊值，得到其余變量的具體的值，那么問題就迎刃而解了。

取特殊值? 令∠α=30°，m=2，則最下方三角形的直角邊分別為1和[3]，繼續往下就可以求出a，b，c，d的值，其中，b=c=[32]，a=[32]，d=[12]，則a+d=2=m。

還可以繼續改變m的值以及∠α的度數（比如同是特殊角45°），從而再取兩三對特殊值計算結果，觀察驗證結論。

解后反思? 像這樣從特殊到一般，其實是不完全歸納法的一種演繹。可能有些學生會有疑問，在沒有驗證其余所有的情況下，是否有以偏概全之嫌。我們不妨作進一步探究，由特殊情況的求解過程，可以發現a，b，c，d的取值變化，其實是基于角的大小變化和正方形M的邊長m的變化，由此可以類比得出一般的驗證方法。

利用三角函數，保留字母，也可以表示出最下方三角形的直角邊分別為[mcosα和msinα]

繼而求得，

[b=c=mcosαsinα]

[a=mcos2α]

[d=msin2α]

所以，[a+d=mcos2α+msin2α=m]

此題還有另一種幾何解法，過程比較繁瑣，這里筆者就不再說明。

此題為填空題，采用特殊值法化繁為簡，更容易計算，極為方便、快捷。當類似地碰到問題中存在兩個或多個變量的時候，可以抓住問題中變量的一個特殊值，簡單、快捷地解決相關問題。那為什么學生想不到從特殊值的角度來解決此問題呢？平時我們在數學教學中往往更多地引導學生進行嚴格的邏輯推理計算，小心謹慎地看待問題，學生自然也就產生了思維慣性，不會靈活變通。客觀題的特殊性決定了其解法的特殊性，教學中，我們應更多地關注簡便方法的應用，幫助學生在考場上省時高效地解題，可以省出時間思考其他的問題。

二、特殊位置為臨界，解析動態過程

例題2? ?如圖4所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，O為對角線AC的中點，點P、Q分別從A和B兩點同時出發，在邊AB和BC上勻速運動，并且同時到達終點B、C，連接PO、QO并延長分別與CD、DA交于點M、N。在整個運動過程中，圖中陰影部分面積的大小變化情況是（）。

A. 一直增大

B. 一直減小

C. 先減小后增大

D. 先增大后減小

取特殊位置? 首先根據矩形的性質，容易得出：[S△AOB=S△BOC=S△COD=][S△AOD=14S矩形ABCD]

（1）起點位置，如圖5所示，即點P與點A重合，點Q與點B重合時，

[S陰影部分=S△AOB+S△COD=12S矩形ABCD]

（2）中點位置，如圖6所示，點P到達AB的中點，點Q到達BC的中點時，

[S陰影部分=14S矩形ABCD]

（3）終點位置，如圖7所示，點P到達點B，點Q到達點C時，

[S陰影部分=S△BOC+S△AOD=12S矩形ABCD]

所以，在整個運動過程中，圖中陰影部分面積的大小變化情況是先減小后增大，故選C。

解后反思 動點問題一直是學生學習的困惑點，如果抓住特殊位置，將動點的位置進行特殊處理，化動為靜，往往能找到解題的突破口。本題中，如果直接去求面積比較麻煩，運算量較大，不妨從特殊位置、特殊點著手，求點P與點Q位于起點、中點、終點三個臨界處時相應的面積大小，比較面積的變化，答案自然也就水落石出了。

例題3結合例題2，進一步思考：長方形臺球桌ABCD上，一球從AB邊上某處P擊出，分別撞擊球桌的邊BC、CD、DA各1次后，又回到出發點P處，每次球撞擊桌邊時，撞擊前后的路線與桌邊所成的角相等（如圖8所示，∠α=∠β），若AB=4，BC=6，則此球所走路線的總長度（不計球的大小）為_______。

取特殊位置? 令點P為AB的中點，則不難得出此時存在△PBQ≌△PAS≌△RDS≌△RCQ，用勾股定理即可求出PS=RS=PQ=RQ=[13]，所以總路程為[413]。

解后反思? 這是金華、麗水中考模擬卷中的一道題，測驗中，學生的錯誤率極高。在考場上，考生要在短時間內完成一個復雜條件下的計算，相當不容易，而本題常規的解法一般學生又極難想到，如果此時能從特殊點出發，根據動點的運動軌跡，選取圖形的特殊位置進行計算、推理，從而避開繁瑣的求解過程，就可以快速、正確地得出答案。

總之，數學核心素養的形成，不能依賴機械的模仿或記憶，它應該是日積月累的，是思維與經驗的積累。基于核心素養教學，教師除了教給學生知識，更要教會學生積極面對問題，而且不要只會從“正向”一個方向思考問題，要靈活選取方法，學會簡單、高效地解決問題。通過問題的解決，感悟知識的本質，積累思維和實踐的經驗，形成和發展核心素養。