含隨機分布裂紋材料的拉壓模量

摘"" 要：拉壓性能是材料機械性能中的一項重要指標。對于脆性材料來說，其拉伸性能與壓縮性能存在著顯著的差異，其中包括：當脆性材料內部分布有微細觀裂紋時，其宏觀壓縮彈性模量會顯著地大于拉伸彈性模量。這是因為，材料在受到拉伸時，其內部的微裂紋總是張開的，裂紋面上沒有承載能力；而材料在受到壓縮時，其內部的微裂紋大部分都是閉合的，這些閉合裂紋面上能夠同時承載不同程度的壓應力和剪應力。為了驗證這一點，設計了一套計算方法，考慮一個遠端受拉伸或壓縮載荷的無限大薄板，其內部含有大量的具有某種隨機分布的微裂紋。在薄板中取一體積元，體積元由很多個局部代表性單元組成，每一個代表性單元都包含一條微裂紋。利用彈性力學中的復變函數法，求出每一個局部代表性單元的正應力和正應變，再應用統計和平均化方法，求出體積元的正應力和正應變，進而求出體積元的拉壓模量。計算結果表明，脆性材料的拉壓模量的表現符合預期。

關 鍵 詞：脆性材料； 拉壓模量； 隨機分布； 彈性力學

中圖分類號：O343.1；O341""" 文獻標志碼：A

Tensile and compressive modulus of materials with randomly distributed cracks

Abstract： Tensile and compressive performance is an important indicator of material mechanical properties. For brittle materials， there are significant differences between their tensile and compressive properties， including： when there are micro-cracks distributed inside the brittle material， its macroscopic compressive elastic modulus will be significantly greater than the tensile elastic modulus. This is because when the material is subjected to tension， the internal micro-cracks always open， and there is no load-bearing capacity on the crack surface; When the material is compressed， most of the internal micro-cracks are closed， and these closed crack surfaces can simultaneously bear different degrees of compressive and shear stress. To verify this， a calculation method can be designed to consider an infinitely large thin plate subjected to tensile or compressive loads at the far end， which contains a large number of micro-cracks with some random distribution inside. Then， a volume element is taken from the thin plate， which is composed of many locally representative elements， and each representative element contains a micro-crack. By using the complex function method in elasticity， the normal stress and strain of each locally representative element can be calculated. Then， statistical and averaging methods can be applied to calculate the normal stress and strain of the volume element， and finally the tensile and compressive modulus of the volume element. The calculation results indicate that the performance of the tensile and compressive modulus of brittle materials is in line with expectations.

Key words： brittle materials; tensile and compressive modulus; random distribution; elasticity

對于內部含微觀缺陷的材料和結構，研究其力學性能和響應需要損傷力學的方法，損傷力學的方向主要有宏觀和細觀2條分支。幾十年來，許多學者做了各種嘗試和貢獻［18］。其中，采用平均化方法和基于統計理論，將宏細觀相結合的方式具有更好的發展趨勢和前景。

對于脆性材料，從受力開始到破壞的過程中，其內部會出現大量的微裂紋，它們會影響材料的機械性能，包括拉壓模量。影響拉壓模量的因素有很多，不同分布方向的裂紋造成各種局部復雜的應力狀態，使得有些裂紋張開，有些閉合；而閉合裂紋面中有些發生裂紋面滑動，有些不發生滑動［910］。對此，可以利用彈性理論，采用統計的方法分析內部含有各種隨機分布裂紋的材料的拉壓模量。

1 "薄板遠端承受拉壓時內部的體積元

考慮一個如圖1所示的無限大薄板，在其遠端施加拉伸或壓縮均布載荷q，且q沿著y軸方向。薄板內部含有大量的隨機分布的微裂紋，在其中任取一個體積元ΔV，分析ΔV處的沿y軸方向的宏觀應力應變和拉壓模量。

設想體積元ΔV內的眾多微裂紋中的任意一條都可以被一個局部代表性單元包含，這些局部代表性單元互不包含也互不相交，但都含于ΔV內。設其中一個代表性單元如圖2所示，單元長為2l，寬為2h，單元邊界分別平行于x和y軸，其內的裂紋位于單元中心，長為2L，方向與x軸夾角為θ。如果遠端應力q是拉應力，則裂紋必為張開狀態；如果q是壓應力，則裂紋處于雙軸壓縮和剪切的狀態，此時可設薄板遠端沿著裂紋面方向的正應力為q′1，剪應力為q′3，遠端垂直于裂紋面方向的正應力為q′2，裂紋面受壓，所以其上有壓應力，設其為q′N，受壓裂紋面的可能狀態共有 3種［11］：

1）如果|q′2|lt;|μq′1|，則裂紋面張開，此時q′N=0，這里μ為材料的泊松比；

2）如果|q′2|≥|μq′1|，則裂紋面閉合，此時q′N=q′2－μq′1。若|q′3|lt;|μsq′N|，則裂紋面間雖承受剪切驅動力q′3但不滑動，μs為脆性材料的摩擦系數；

3）在|q′2|≥|μq′1|的情況下，若|q′3|gt;|μsq′N|，裂紋面在剪切力q′3的作用下會發生摩擦滑動，裂紋面間承受的剪應力為μsq′N。

要想求出體積元ΔV的應力應變，先要求得其內局部代表性單元對應的應力應變，這里要用到彈性力學理論中的復變函數法［12］，其中薄板內各點的位移可根據公式

求出，而各點的應力可按照下式得到

其中：式（1）和（2）中的φ1（z）和ψ1（z）是與點的位置和裂紋尺寸有關的復變函數；式（1）中的E為材料的楊氏模量。

計算圖2的單元邊界上各點的位移和應力，先要進行坐標變換，由原先的坐標系變換為裂紋主軸坐標系，在裂紋主軸坐標系下，函數φ1（z），ψ1（z）分別對應裂紋面在各種可能狀態下的不同形式［13］。假如裂紋面之間是閉合滑動狀態，裂紋面上的正應力q′N=q′2－μq′1對應的復變函數為

而裂紋面上的剪應力μsq′N對應的復變函數為

可知，體積元ΔV中每一個局部單元的正應力σy和正應變 εy都是L和θ的函數，即

σy=σy（L，θ），εy=εy（L，θ）

而體積元ΔV的宏觀應力與應變與其內的微裂紋的分布方式有關

其中f（L，θ）為裂紋分布的概率密度。由式（3），可得圖1中體積元ΔV的宏觀拉伸或壓縮模量

2 相關的計算和結果分析

假設圖1中的薄板含有方向完全隨機分布的微裂紋，且所有裂紋長度均為2a，式（3）則變成

按照前面所設計的步驟和方法，可計算這個具體的問題。設平面問題的薄板內單位面積的微裂紋數是N，根據圖2可知

N=1/4hl，再設微裂紋密度參數為α=Na2［14］，圖2中單元的尺寸比h/l可取為1。算例中所選的薄板材料為砂巖，其各項材料常數為［15］：E=66GPa，μ=0.26，μs=0.75。計算中令a線性增加，而α隨之增加，根據計算結果可描繪出薄板的/E與參數α的關系曲線，并可做進一步的分析，如圖3所示。其中，曲線1和曲線2分別是薄板遠端受拉伸和壓縮載荷下的關系曲線。圖中顯示，材料的有效壓縮模量顯著地高于拉伸模量。

3 "結" 論

應用彈性理論的復變函數法，分析了受拉壓薄板內微裂紋處的局部正應力和正應變，再應用統計學的平均化方法，研究了含各種分布裂紋薄板的宏觀應力、應變和拉壓模量。按照所設計的方法，計算并分析了薄板內微裂紋完全隨機分布情況的結果。該方法還可以應用于更加復雜載荷作用下的材料和結構的各項力學性能分析。

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