抽象函數問題的常規解法例析

1賦值法

所謂賦值法，就是指給方程或者函數表達式中的某些字母或者結構賦予一定的特殊值，以達到便于求解問題的目的.對于抽象函數問題，可以通過給題目中的變量賦予一定的特殊值，進而得出一些特殊的函數值，最終實現化繁為簡的目的.

運用賦值法求解抽象函數問題，常用的解題思路為： ① 根據具體題意進行分析并確定賦值等式；② 結合題意進行賦值，令其中的變量等于某一個常數，如 x=0，1 等； ③ 依據賦值得出的 f(x) 的值進行求解即可.

例1已知函數 f(x) 是奇函數，且定義域為 f(1)=2，f(x+1)=f(x+6) ，那么 f(10)+

分析首先根據 f(x) 是奇函數得到 f(0)= ，然后對 f(x+1)= f(x+6) 進行賦值，令 x=-2，x=-1，x=4 ，分別代入上式計算，得到 f(-1)=f(4) ， f(0)=f(5) ，f(5)=f(10) ，進而計算得到 f(10)+f(4)=-2

解析 已知函數 f(x) 是奇函數，且定義域為 ，

所以 f(0)=0，f(-1)=-f(1)=-2

令 x=-2 ，代人 f(x+1)=f(x+6) ，可得f(-1)=f(4) 令 x=-1 ，代人 f(x+1)=f(x+6) ，可得f(0)=f(5) ;令 x=4 ，代人 f(x+1)=f(x+6) ，可得：f(5)=f(10) ，所以 f(10)+f(4)=f(5)+f(-1)=f(0)+ f(-1)=-2

綜上可知 f(10)+f(4)=-2 業

2 數形結合法

所謂數形結合法，就是指將題目中的研究對象的數和形建立聯系使問題變得更加直觀形象，從而幫助解題.以抽象函數的性質和局部圖象推測抽象函數在更大定義域內的圖象，并結合函數的定義域、奇偶性、周期性等知識對函數圖象進行分析，進而求解問題.

運用數形結合法求解抽象函數問題，常用的解題思路為： ① 根據具體題目題意進行分析，分析出函數的奇偶性、單調性、對稱性、特殊點等性質；② 根據所得的函數的奇偶性、單調性等特征將函數的圖象表示出來； ③ 利用函數圖象進行求解即可.

例2已知函數 f(x) 是定義域為 的奇函數，g(x) 是定義域為 的偶函數，當 x<0 時，有f^′(x)g(x)+f(x)g^′(x)>0 ，且 g(-3)=0 ，那么不等式 f(x)g(x)<0 的解集為

分析首先令 f(x)g(x)=h(x) ，求導得到h^′(x)=f^′(x)g(x)+f(x)g^′(x) ，然后根據f(x) 是奇函數 .g(x) 是偶函數得到函數 h(x) 為定義在 上的奇函數，再利用 h^′(x) 得到函數h(x) 的大致圖象，結合圖象進行求解.

解析 令 h(x)=f(x)g(x) ，所以 h^′(x)=f^′(x)g(x)+f(x)g^′(x) =

因為 f(x) 是定義域為 的奇函數， g(x) 是定義域為 R 的偶函數，

所以 f(-x)=-f(x)，g(x)=g(-x) ，所以 h(-x)=f(-x)g(-x) （2=-f(x)g(-x)=-h(x) 0

所以 h(x) 是定義域為 的奇函數，對任意的x<0，h^′(x)>0 都恒成立，并且 g(-3)=0 ，所以h(x) 在 (-∞，0) 上是增函數，并且 h(-3)=0 ，因此，得到函數 h(x) 的圖象，如圖1所示.

根據圖象可得，當 h(x)<0 時的解集為 (-∞ ， -3)∪(0，3) 0

綜上可知， f(x)g(x)<0 的解集為 (-∞，-3) U (0，3).

3模型法

所謂模型法，就是指利用相關符號和函數關系將評價目標和內容規定下來，并且將相互之間的變化關系利用數學公式表達出來.求解抽象函數問題時，運用模型函數，例如抽象函數 f(x+y)= f(x)+f(y) 可以由正比例函數 y=kx 0 (k≠0 ）抽象得到等，仿照其性質找出求解的思路，確定解題的方向，進而求解問題.

運用模型法求解抽象函數問題，常用的解題思路為： ① 根據具體題意建立模型； ② 根據模型進行分析進而求解.

例3 已知函數 f(x) 的定義域為 ，且 ，故 f(2006)=.

分析 首先根據 f(x) 得到 然后通過比較 1+tanx，猜測f(x）是周期函數，周期等于8，結合 ，推斷得出 f(2006)=

解析 已知 f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x) ，

等價

與 相類似，

因為 y=tanx 的周期等于

所以猜想 f(x) 是周期函數，且周期等于 4×2=8

又因為 f(x+4)=f[(x+2)+2]

所以 f(x+8)=f[(x+4)+4]

（2

所以

4結語

賦值法、數形結合法和模型法都是求解抽象函數問題時常用的方法，賦值法需要學生能夠根據賦值以后的式子進行分析，數形結合法需要學生根據已知的函數奇偶性等特點表示出函數的圖象，再根據函數的圖象進而求解，而模型法需要學生掌握抽象函數對應的其他函數模型，才能正確求解.

參考文獻：

[1]郝世富.求解抽象函數問題常用的方法和技巧[J].中學生理科應試：高中，2011(7)：18-20.

[2]陳海燕.求解抽象函數問題常用的五種策略[J].高中數理化，2022(7)：62-66.