巧構三角形　妙解幾何題

張仁豐

作為特殊的三角形，等腰（邊）三角形的性質和判定有廣泛的應用。有些幾何題中不存在等腰（邊）三角形，教師可以引導學生根據已知條件和圖形特征添加輔助線，巧妙構造等腰（邊）三角形，從而使問題化難為易，幫助學生迅速找到解題途徑，提高數學思維。

一、用“等腰三角形+平行線”構造新等腰三角形

例1? [△ABC]是等腰三角形，D、E分別是腰AB及AC延長線上的一點，且BD=CE，連接DE交底BC于G。求證：GD=GE。

方法1：如圖1，過E作EF//AB交BC延長線于點F，根據等腰三角形的性質得∠B=∠ACB，由平行線的性質得∠F=∠B①；又∠ACB=∠FCE，可得∠F=∠FCE，所以CE=EF，又已知BD=CE，根據等量代換得BD=EF②；又∠BGD=∠FGE③；由③①②判定[△DGB]≌[△EGF]（AAS），根據全等三角形的性質即可證得結論。

方法2：如圖2，過D點作DH//AC交BC于點H，由平行線的性質得∠ACB=∠DHB，由等腰三角形的性質得∠B=∠ACB，所以∠B=∠BHD，根據等角對等邊得DH=BD，又BD=CE，所以DH=CE①；由DH//AC得∠DHG=∠ECG②；又∠DGH=∠EGC③；由③②①判定？DGH≌？EGC（AAS），根據全等三角形的性質即可證得結論。

以上兩種方法，通過添加平行線構造新的等腰三角形，實現邊與邊、角與角之間的轉化，達到解決問題的目的。本例主要考查了等腰三角形的性質及全等三角形的判定與性質的綜合運用。利用全等三角形進行判定時要關注三角形之間的公共邊和公共角。

二、用“角平分線+垂線”構造等腰三角形

在如圖3所示的[△ABC]中，AD平分∠BAC，AD⊥BC，由“ASA”得[△ABD]≌[△ACD]，從而得AB=AC，BD=CD，即一邊上的高與這邊所對的角平分線重合，可知這個三角形是等腰三角形。

我們由此聯想，當一個三角形中出現垂直于角平分線的線段時，通常可以延長此線段，使之與角的另一邊相交，從而構造等腰三角形來解題。例2就是這樣的典型題目。

例2? 如圖4，[△ABC]中，AB=AC，∠BAC=90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延長線于點D，求證：BF=2CD。

我們分析：分別延長BA、CD交于點E，已知∠BAC=90°，得出∠EAC=∠FAB=90°①；由CD⊥BD可知∠BDC=∠BDE=90°②，∠EBD+∠E=90°，∠ECA+∠E=90°，根據同角的余角相等得到∠EBD=∠ECA③；又已知AB=AC④；由①④③推出[△BAF]≌[△CAE]（ASA），根據全等三角形的性質得BF=CE；已知BF平分∠ABC，得出∠CBD=∠EBD⑤；又BD為公共邊⑥；由②⑤⑥推出[△BDC]≌[△BDE]（ASA），得到CD=ED，即CE=2CD，根據等量代換得到BF=CE=2CD。

本例主要考查全等三角形的判定與性質的綜合運用。延長BA交CD的延長線于點E，構造等腰[△EBC]是解題的關鍵。

三、用“平行線+角平分線”構造等腰三角形

例3? 如圖5，在四邊形ABCD中，AD//BC，AE平分∠BAD交DC于點E，且點E恰好為DC的中點，求證：BE⊥AE，BE平分∠ABC。

我們分析：延長AE、BC交于點M，由已知AD//BC得∠DAE=∠M①，∠D=∠ECM②；由點E為DC的中點得DE=CE③；由①②③推出[△ADE]≌[△MCE]（AAS），根據全等三角形的性質得出AE=EM；由已知AE平分∠BAD得∠BAE=∠DAE，又∠DAE=∠M，得出∠M=∠BAE，推出AB=BM；根據等腰三角形的“三線合一”性質，得出BE⊥AE，BE平分∠ABC。

本例考查全等三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、角平分線的判定和性質等。添加輔助線是解題的關鍵，教師講解時可這樣歸納：圖形中有平行線和角平分線，構造等腰三角形可使問題簡單化。

四、用“倍角”關系構造等腰三角形

例4? 如圖6，在[△ABC]中，∠B=2∠A，AB=2BC。試說明[△ABC]是直角三角形。

當三角形中有一個角是另一個角的2倍時，我們可以通過轉化“倍角”尋找等腰三角形。我們分析：作∠ABC的平分線BD交AC于點D，過點D作DE⊥AB于點E，由BD平分∠ABC得∠ABC=2∠ABD=2∠CBD；已知∠ABC=2∠A，所以∠ABD=∠CBD=∠A①；根據等角對等邊可得AD=BD，再根據等腰三角形“三線合一”的性質可得AE=BE，所以AB=2BE，已知AB=2BC，可得BE=BC②；而BD為[△DBE]和[△DBC]的公共邊③；由②①③推出[△BCD]≌[△BED]（SAS），根據全等三角形對應角相等，可得∠C=∠BED=90°，即證得結論。

本例考查了等腰三角形“三線合一”的性質、全等三角形的判定與性質、角平分線的定義等。添加輔助線構造全等三角形和等腰三角形是解題的關鍵。

五、用60°角或120°角構造等邊三角形

例5? 如圖7，∠BAD=120°，BD=DC，AB+AD=AC，求證：AC平分∠BAD。

作答時，延長BA到E，使AE=AD，連接ED。由AE=AD可知[△DAE]為等腰三角形；已知∠BAD=120°，求出∠DAE=60°，得到[△DAE]為等邊三角形，又得到∠E=60°，ED=AD①；由AB+AD=AC，AD=AE得出AB+AE=AC，即BE=AC②；又BD=DC③；由①②③推出[△BDE]≌[△CDA]（SSS），根據全等三角形的性質可得∠E=∠CAD=60°，根據平角的定義得到∠BAE=180°，再求出∠BAC=180°-∠DAE-∠CAD=60°，即∠BAC=∠CAD=60°，即證得結論。

本例考查了等邊三角形的定義、等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、角平分線的判定。在有關三角形的問題中，120°是常見角，我們可以利用120°的外角找到60°的角，再添加輔助線來構造等邊三角形，使問題化難為易。

以上幾例，我們通過構造等腰（邊）三角形并利用等腰（邊）三角形的性質，挖掘出隱含在圖形中的數量關系，明晰了問題解決的思路，使解答過程彰顯想象力和創造力。

責任編輯? 劉佳